近世代数模拟试题1及答案

1、近世代数模拟试题一 . 单项选择题（ 每题 5 分，共 25 分 ）1、在整数加群（Z, +）中，下列那个是单位元（）.A. 0 B. 1 C. 1 D. 1/n， n 是整数2、下列说法不 正确的是（） .A . G只包含一个元g,乘法是gg=g。G对这个乘法来说作成一个群B . G是全体整数的集合，G对普通加法来说作成一个群 ；C . G是全体有理数的集合，G对普通加法来说作成一个群；D. G是全体自然数的集合，G对普通加法来说作成一个群.3. 如果集合M的一个关系是等价关系，则 不一定具备的是（）.A . 反身性B. 对称性C. 传递性D. 封闭性4. 对整数加群Z 来说，下列不 正确的

2、是（） .A. Z 没有生成元.B. 1 是其生成元.C. 1 是其生成元.D. Z 是无限循环群.5. 下列叙述正确的是（） 。A.群G是指一个集合.B.环R是指一个集合.C.群G是指一个非空集合和一个代数运算，满足结合律，并且单位元，逆元存在.D.环R是指一个非空集合和一个代数运算，满足结合律，并且单位元，逆元存在.二 . 计算题 （ 每题 10 分，共 30 分 ）1. 设 G 是由有理数域上全体2 阶满秩方阵对方阵普通乘法作成1213的群，试求中G中下列各个兀素c, d,cd,0101.2. 试求出三次对称群S3(1),(12),(13),(23),(123),(132)的所有子群.3

3、. 若e是环R的惟一左单位元，那么e是R的单位元吗？若是请给予证明.三 . 证明题 （ 第 1 小题 10 分，第 2 小题 15 分，第 3 小题 20 分， 共 45 分 ）.1. 证明 : 在群中只有单位元满足方程2x x.2.设G是正有理数乘群,G是整数加群.证明:：2ngba是群G到G的一个满同态，其中 a, b是整数,而（ab,2） 1 .3设 S 是环 R 的一个子环. 证明 : 如果 R 与 S 都有单位元，但不相等，则S 的单位元必为R 的一个零因子.近世代数模拟试题答案2008 年 11 月cd分)3 分)2 分)2 分)7 分)3 分)一、单项选择题( 每题 5 分，共

4、25 分 )1. A 2. D 3. D30 分 )二 . 计算题 ( 每题 10 分，共1 . 解：(3易知 c 的阶无限， d 的阶为 2.但是的阶有限，是2.2 .解：S3的以下六个子集H1(1), H2(1),(12) , H3(1),(13) ,H4(1),(23) , H5(1),(123),(132) , H6S3对置换乘法都是封闭的，因此都是S3的子集.3 .解：e是R的单位元。事实上，任取a,b R,则因e是R的左单位元，故 (ae a e)b a(eb) ab eb ab ab b b, 即ae a e也是R的左单位元。故有题设得ae a e e, ae a.即 e 是 R

5、 的单位元.三、证明题( 每小题 15 分共 45 分 )1. 证明：设e是G的单位元，则e显然满足所说的方程（3分）另外，设a G且a2 a ,则有1 21a a a a, 即 a e ,（5 分）即只有e满足方程x2 x .（2分）2 .证明： 显然是G到G的一个满射（3分）又由于 当（ab,2）1,（cd,2） 1时有（abcd,2） 1（4 分）n b m dn m bd（22）（2） n m且a cac（6 分）（2n -） （2m d）.a c故 是群G到G的一个同态满射。（2分）3 证明：分别用e和e表示R与S的单位元，且e e ,于是e不是R的单位元。（3分）因此，存在0 a R,使ae a或 ea a（5 分）如果ae