线性代数06339

1、2006年考研线性代数考题讲评 海天学校 何坚勇 教授作 者 简 介何坚勇，清华大学数学科学系教授。从事线性代数教学近三十年。长期从事考研阅卷、试题分析研究工作，在各类考研辅导班主讲线性代数的教学过程中，深入浅出、重点突出，且深谙命题的规律与陷阱，熟悉同学的学习认识规律，在讲题中经常能讲出解题的各种“妙招”，使同学深受其益。经其辅导的学生对其辅导效果赞不绝口，每年的考研线性代数考题，在何老师考前辅导讲课中总可找到对应的例题。尤其令人叫绝的是，2004年数学（三）第（20）大题考题，与何老师考前辅导的例4.2其中的具体数字、参数及求解结果完全相同（只是出题方式不同）。现将2006年全部线性代数考

2、题与何老师考前辅导题对列如下，同时对2006年考题作出讲评，以飨读者。 编者8（考题一）：设、为2维列向量，又若行列式，则 。解：。妙招： （考题二）：设矩阵，矩阵B满足：BA=B+2E，E为二阶单位阵，则B=。解：BA-B=2E，B（A-E）=2E 可逆，求（A-E）的逆。用伴随矩阵法（或初等行变换法）记 何老师所讲述的对应题：1、强化班例1.22：设、均为3维列向量，记矩阵 ，且，那么 。2、冲刺班讲课：例1-2-1：已知，均为三维列向量，且，若,则 。何老师所讲述的对应题：1、强化班例2.4：A、B均为3阶方阵，且AB=2A+B，求。 2、冲刺班讲课例2-1-1：A、B均为3阶方阵，且A

3、B=4A+2B，求。妙招：若可逆,则有公式：（考题三）：若，均为n维列向量，A是m·n矩阵，则（A）若，相关，则必相关。（B）若，相关，则必无关。（C）若，无关，则必相关。（D）若，无关，则必无关。解：选（A）由题意：记，则有， 若，相关 线性相关。点评：1、利用列向量组（行向量组）的秩=矩阵的秩。再利用矩阵秩的有关公式。2、向量组线性相关（无关）其秩<个数（等于向量的个数）。（考题四）：设A为三阶矩阵，将A的第2行加到第1行得B，将B的第1列的-1倍加到第2列得C。记，则（A）C=P-1 AP （B）C=PA P-1 （C）C=PT AP (D) C=PA PT解：选（B），

4、由题意PA=B，记，则B·P1=C何老师所讲述的对应题1、冲刺班例3.2.3：设A为m·n矩阵，r(A)=n，又n维向量组，线性无关,试证：线性无关。2、强化班例3.17：已知n维向量，线性无关。且向量组可由向量组，线性表出：则也线性无关的充分必要条件是r(C)=S。何老师所讲述的对应题：1、 强化班例2.16：已知：A可逆，则B-1等于A-1P1P2 P1A-1P2 P1P2A-1 P2A-1P1 PAP1=C，又 PAP-1=C。点评：有些同学认为“将B的第1列的-1倍加到第2列所对应的初矩阵写成是错误的。考题（五）：已知非齐次方程组 有3个线性无关的解。1、证明方程组

5、系数矩阵A的秩r(A)=2。2、求a、b的值及方程组的通解。解：1、设AX=b有三个线性无关的解，则，必是AX=0的两个线性无关的解。 。又。 。2、增广矩阵 代入求之。求解：得 求解： 得通解为：（k1，k2为任意常数）点评：有不少同学求齐次方程组的基础解系时用：结果错了！2、强化班例2.18：设A为三阶矩阵，将A的第1列与第2列交换后得到B，再把B的第2列加到第3列得到C，求满足AQ=C的可逆矩阵Q。何老师所讲述的对应题：1、强化班例4.2：试就a、b的各种取值情况讨论下述方程组何时有解？何时无解？在有解时，求出组的通解方程：考题（六）：设3阶实对称矩阵A的各行元素之和均为3，向量是线性方

6、程组AX=0的两个解：（）求A的特征值与特征向量（）求正交矩阵Q和对角矩阵，使。（）求A及解：（）由A的各行元素之和均为3，即：。又是A的属于0的线性无关特征向量。是属于3的全部特征向量（）。（k1k2不全为0）是属于0的全部特征向量。（）现但与不正交，用施密特正交化方法将与正交化：令。单位化：。令，有：（）由（）何老师所讲述的对应题：1、强化班例5.7：已知n阶矩阵A=(aij)的行和都等于t(t0)，求A的一个特征值及一个特征向量。2、冲刺班：例5-4-1：设三阶非零矩阵A的行和都等于2，又且AB=0求A的特征值与特征向量。3、冲刺班例6-4-1：已知二次型中，对应矩阵A的各行元素之和为3

7、，且满足AB=0，其中求正交交换X=QY，将f化成标准形。4、强化班例5.11：设三阶实对称矩阵A的秩为2，是A的二重特征值，若都是A的属于特征值6的特征向量。（1） 求A的另一个特征值与特征向量。（2） 求矩阵A。故点评：1、此题计算工作量相对较大。计算错误也非常之多：正交化过程计算错误较多，如，（与不正交），等。单位化错误也很多，不会计算单位向量。计算错误。计算错误。2、此题考点颇多。各行元素之和都相等的特殊矩阵的特征值，特征向量规律。AX=0的非零解必也是A的属于0的特征向量。实对称矩阵的性质。已知正交矩阵Q及对角矩阵，反求A。反复运用：。妙招1：行和均相等(=t)的n阶矩阵，A必有特征

8、值，特征向量为。妙招2：，故AX=0的非零解必是A的属于0的特征向量。妙招3：正交化过程可省去，由求下列方程组产生：令由：解得既省事又不易错。妙招4：如求的单位向量，可令，则单位向量，这样计算又快又不容易错。妙招5：反求A时，可避免计算错误。设 线性无关。 ，故A的三行成比例，又三行元素之和相等，故比例系数必为1，即A的三行必相同。又。故a11=a12=a13=1。考题（七）： 设4维向量组。问a为何值时，相关？当相关时，求其一个极大无关组，并将其余向量用该极大无关组线性表出。解：记，当a=0或a=-10时，线性相关。1、当a=0时，r(A)=1，任一向量都可作极大无关值，如取作极大无关组，则。2、当a=-10时，对A作一系列初等行变换。何老师所讲述过的对应题：1、强化班例3.10：求向量组，的秩，一个极大无关组，及其余向量用该极大无关组线性表出。2、强化班例3.4：，r(A)=r(B)=3，极大无关组中有三个向量，取，求解，则。点评：本题并不难，但得分率不高，原因是计算错误太多。1、行列式计