知识点20二次函数几何方面的应用2017（解答题）

1、2017中考数学真题解析分类三、解答题1. （2017重庆，26，12分）（本小题满分12分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，对称轴与x轴交于点D，点E（4，n）在抛物线上（1）求直线AE的解析式；（2）点P为直线CE下方抛物线上的一点，连接PC，PE当PCE的面积最大时，连接CD，CB，点K是线段CB的中点，点M是CP上的一点，点N是CD上的一点，求KM+MN+NK的最小值；（3）点G是线段CE的中点，将抛物线沿x轴正方向平移得到新抛物线y ，y 经过点D，y 的顶点为点F在新抛物线y 的对称轴上，是否存在点Q，使得FGQ为等腰三角形

2、？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由思路分析：（1）首先求出A、E点的坐标，然后设出直线AE的解析式，并将A、E点的坐标代入，求得方程组的解，便可得到直线AE的解析式；（2）由抛物线解析式求得C点坐标，则可得出直线CE的解析式；过点P作PHx轴，交CE于点H，设出P点坐标，可推出H点坐标，根据斜三角形面积公式“”可表示出PCE的面积，并可计算出其面积最大时P点的坐标；分别作K关于CP、CD的对称点的对称点K1、K2，将KM +MN+KN即可确定出转化成一条线段，由“两点之间，线段最短”及勾股定理计算出其最小值即可；（3）运用已知两定点时确定等腰三角形常用的方法“两圆一线”即可在抛

3、物线y 的对称轴上找到符合条件的四个点，分别确定其坐标即可解：（1）抛物线与x轴交于A，B两点，且点E（4，n）在抛物线上，解得：x11，x23，A，B两点的坐标分别为（1，0），（3，0）；，点E坐标为（4，）设直线AE的解析式的解析式为ykx+b，将A点、E点坐标分别代入，得：，解得：，yx+；（2）令x0，得y ，点C（0，），点E坐标为（4，），直线CE的解析式为y，过点P作PHx轴，交CE于点H，如图，设点P的坐标为（，），则H（，），PH（），抛物线开口向下，当2时，取得最大值，此时P为（2，）；点C（0，），B（3，0），由三角形中位线定理得K（，），yC yP，PCx轴，作K关

4、于CP的对称点K1，则K1（，）；，OCB60，D（1，0），OCD30，OCDBCD30，CD平分OCB，点K关于CD的对称点K2在y轴上，又CKOC ，点K2与点O重合，连接OK1，交CD于点N，交CP于点M，如图，KM K1M，KNON，KM +MN+KN K1M +MN+ON，根据“两点之间，线段最短”可得，此时KM +MN+KN 的值最小，K1 K2 O K1，KM +MN+KN 的最小值为3；（3）点Q的坐标为（3，），（3，），（3，），（3，）2. （2017浙江衢州,22，10分）（本题满分10分）定义：如图1，抛物线yax2bxc（a0）与x轴交于A，B两点，点P在抛物线上

5、（P点与A、B两点不重合），如果ABP的三边需满足AP2BP2AB2，则称点P为抛物线yax2bxc（a0）的勾股点（1）直接写出抛物线yx21的勾股点坐标（2）如图2，已知抛物线C：yax2bx（a0）与x轴交于A，B两点，点P（1，）是抛物线C的勾股点，求抛物线C的函数表达式（3）在（2）的条件下，点Q在抛物线C上，求满足条件SABQSABP的Q点（异于点P）的坐标思路分析：（1）所谓勾股点，即以AB为直径的圆与抛物线的交点yx21与x轴交点坐标为（1，0），（1，0），故圆心为原点，半径为1，与抛物线交点为（0，1）.（2）由P点坐标可知PAB60，又APB90，从而求得B点坐标，利用待

6、定系数法即可求解（3）由SABQSABP，故有|yQ|，将yQ分别代入抛物线解析式即可求解解（1）勾股点的坐标（0，1）（2）抛物线yax2bx（a0）过原点（0，0），即A为（0，0）如图，作PGx轴于点G，连结PA，PB点P的坐标为（1，），AG1，PGPA2，tanPAB，PAB60，RtPAB中，AB4，点B（4，0）设yax（x4），当x1时，y，解得ayx（x4）x2x（3）当点Q在x轴上方时，由SABQSABP易知点Q的纵坐标为则有x2x，解得x13，x21（不合题意，舍去）Q1（3，）当点Q在x轴下方时，由SABQSABP易知点Q的纵坐标为则有x2x，解得x12，x22Q2（2

7、，），Q2（2，）综上，满足条件的Q点有三个：Q1（3，），Q2（2，），Q2（2，）3. （2017山东济宁，21，9分）已知函数的图象与轴有两个公共点（1）求的取值范围，写出当取范围内最大整数时函数的解析式；（2）题（1）中求得的函数记为C1当时，的取值范围是，求的值；函数C2：的图象由函数C1的图象平移得到，其顶点P落在以原点为圆心，半径为的圆内或圆上设函数C1的图象顶点为M，求点P与点M距离最大时函数C2的解析式思路分析：（1）根据函数图象与x轴有两个公共点，即一元二次方程有两个不同的实数解，即需满足m0且根的判别式0，解不等式组得且；（2）由二次函数性质，当时，随的增大而减小，求出n

8、的值为2；（3）由图形可知当P为射线MO与圆的交点时，距离最大，先求出MO的解析式，设出点P的坐标，根据勾股定理求出点P的坐标，继而求出PM最大时的函数解析式为解：（1）由题意可得：解得：且当时，函数解析式为：（2）函数图象开口向上，对称轴为当时，随的增大而减小当时，的取值范围是，或（舍去）（3）图象顶点的坐标为，由图形可知当为射线与圆的交点时，距离最大点P在直线OM上，由可求得直线解析式为：，设P（a，b），则有a2b，根据勾股定理可得求得PM最大时的函数解析式为4. （2017山东威海，25，12分）如图，已知抛物线y=ax+bx+c过点A(1,0)，B(3,0)，C（0，3）.点M，N为

9、抛物线上的动点，过点M作MDy轴，交直线BC于点D，交x轴于点E.（1）求二次函数y=ax+bx+c的表达式；（2）过点N作NFx轴，垂足为点F.若四边形MNFE为正方形（此处限定点M在对称轴的右侧），求该正方形的面积；（3）若DMN=90，MD=MN，求点M的横坐标.解：抛物线的图像经过点A(-1,0),B(3,0)，抛物线的函数表达式为y=a(x+1)(x-3),将点C(0，3)代入上式，得3=a(0+1)(0-3)，解得a=-1.所求函数表达式为y=(x+1)(x3)=x2+2x+3(2)由(1)知，抛物线的对称轴为如图1，设M点的坐标(m，m2+2m+3), ME=|m2+2m+3|

10、M,N关于x=1对称，且点M在对称轴右侧，N点横坐标为2-m.MN=2m-2四边形MNEF为正方形ME=MN. 分两种情况: +2m+3=2m-2.解,得 (不符合题意,合去).当 m=时,正方形的面积为综上所述，正方形的面积为 或（3）设直线BC的函数表达式为y=kx+b.把点B(3,0),C(0,3)代入表达式，得 解得 直线BC的函数表达式为y=-x+3，设点M的坐标为(a,),则点D的坐标为(a,-a+3)，DM= ，DM/y轴，DMMN,MN/x轴.M,N关于x=1对称.N点的横坐标为2-a，MN=，DM=MN， 分两种情况：如图2， ，解，得 如图3，解，得综上所述，M点的横坐标为

11、，5. （2017年四川绵阳，24,11分）（本题满分12分）如图，已知抛物线y=ax2+bx+c（a0）的图象的顶点坐标是（2,1），并且经过点（4,2）直线y=x+1与抛物线交于B，D两点，以BD为直径作圆，圆心为点C，圆C于直线m交于对称轴右侧的点M（t，1）直线m上每一点的纵坐标都等于1（1）求抛物线的解析式；（2）证明：圆C与x轴相切；（3）过点B作BEm，垂足为E，再过点D作DFm，垂足为F求BEMF的值 解：（1）设抛物线方程为， 因为抛物线的顶点坐标是（2，1），所以1分 又抛物线经过点（4，2），所以，解得，2分 所以抛物线的方程是3分 （2）联立，消去y，整理得，4分 解得

12、，5分 代入直线方程，解得， 所以B（），D（）， 因为点C是BD的中点，所以点C的纵坐标为，6分 利用勾股定理，可算出BD=，即半径R=， 即圆心C到x轴的距离等于半径R，所以圆C与x轴相切7分 （3）连接BM和DM，因为BD为直径， 所以BMD=90，所以BME+DMF=90，又因为BEm于点E，DFm于点F，所以BME=MDF，所以BMEMDF，所以，9分即，代入得，化简得，解得t=5或t=1，10分因为点M在对称轴右侧，所以t=5，11分所以12分 法2：过点C作CHm，垂足为H，连接CM，由（2）知CM=R=，CH=R-1=，由勾股定理，得MH=2，9分又HF=，所以MF=HF-MH

13、=-2，10分又BE=y1-1=-，所以=，12分 思路分析：（1）知抛物线的顶点和其它任意一点，可设出抛物线的顶点式，代入点的坐标即可求出抛物线的解析式；（2）由抛物线与直线交于B、D，联立方程组，求出点B点D坐标，求出直径BD的长度，从而求出半径，与C的纵坐标进行比较，得出结论；（3）连接BM和DM，因为BD为直径， 所以BMD=90，所以BME+DMF=90，又因为BEm于点E，DFm于点F，所以BME=MDF，所以BMEMDF，所以，即，代入得，化简得，解得t=5或t=1，因为点M在对称轴右侧，所以t=5，所以 6. （2017四川攀枝花，24，12分）如图15，抛物线yx2bxc与x

14、轴交于A、B两点，B点坐标为（3，0），与y轴交于点C（0，3）（1）求抛物线的解析式；（2）点P在x轴下方的抛物线上，过点P的直线yxm与直线BC交于点E，与y轴交于点F，求PEEF的最大值（3）点D为抛物线对称轴上一点 当DBCD是以BC为直角边的直角三角形时，求点D的坐标； 若DBCD是锐角三角形，求点D的纵坐标的取值范围 图1 备用图思路分析：（1）由点B、C的坐标利用待定系数法即可求出抛物线的解析式；（2）方法1：（代数法）设点的坐标转化成所求线段，找特殊角转化成所求线段，联立函数关系，代入整理成关于目标线段和的二次函数关系式，从而找到最值；方法2：（几何法）以为对称轴将对称得到，作

15、于，则PF+EF=PF=PH =当最小时，取最大值4（3）先设点再分类讨论，利用勾股定理得到关于所求D点的一元方程式，解得即为D1和D2；利用直径圆周角性质构造圆，利用线段距离公式建立一元方程式，解得即为D3和D4结合中D1和D2的坐标，当D在D2D4和D3D1之间时候为锐角三角形，从而得到点D的纵坐标的取值范围解析：（1）由题意得： 解得抛物线的解析式为：yx24x3 （2）方法1：如图，过P作PGCF交CB与G，由题意知BCOCEF45，F（0，m）C（0，3），DCFE和DGPE均为等腰直角三角形，EFCF（3m） PEPG，设xPt（1t3）， 则PEPG（t3tm）（m2t3），t2

16、4t3tm，PEEF（3m）（m2t3） （2t2m6）（tm3）（t24t） （t2）24，当t2时，PEEF最大值4方法2：（几何法）由题易知直线BC的解析式为，OC=OB=3，OCB=45同理可知OFE=45，CEF为等腰直角三角形，以BC为对称轴将FCE对称得到FCE，作PHCF于H点，则PF+EF=PF=PH又PH=当最小时，PF+EF取最大值，抛物线的顶点坐标为(2，1)，当时，(PF+EF)max=(3+1)=4 （3） 由（1）知对称轴x2，设D（2，n），如图当DBCD是以BC为直角边的直角三角形时，D在C上方D1位置时由勾股定理得CD2BC2BD2，即（20）2（n3）2（

17、3）2（32）2（0n）2 ，解得n5；当DBCD是以BC为直角边的直角三角形时，D在C下方D2位置时由勾股定理得BD2BC2CD2即（23）2（n0）2（3）2（20）2（n3）2 ，解得n1当BCD是以BC为直角边的直角三角形时，D为（2，5）或（2，1） 如图：以BC的中点T（3，3），BC为半径作T，与对称轴x2交于D3和D4，由直径所对的圆周角是直角得CD3BCD2B90，设D（2，m），由DTBC得（2）2（m）2，解得m，D3（2，）D4（2，），又由得D1为（2，5），D2（2，1），若DBCD是锐角三角形，点在线段或上时（不与端点重合），则点D的纵坐标的取值范围是1或57.

18、（2017四川内江，28，12分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线yax2+bx+c（a0）与y轴交于点C（0，3），与x轴交于A，B两点，点B坐标为（4，0），抛物线的对称轴方程为x1.（1）求抛物线的解析式；（2）点M从A点出发，在线段AB上以每秒3个单位长度的速度向B点运动，同时点N从B点出发，在线段BC上以每秒1个单位长度的速度向C点运动，其中一个点到达终点时，另一个点也停止运动，设MBN的面积为S，点M运动时间为t，试求S与t的函数关系，并求S的最大值；（3）在点M运动过程中，是否存在某一时刻t，使MBN为直角三角形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由 思路分析：(1) 由点B

19、的坐标与对称轴可求得点C的坐标，把点A，B，C的坐标分别代入抛物线的解析式，列出关于系数a，b，c的方程组，求解即可；(2)设运动时间为t秒，利用三角形的面积公式列出SMBN与t的函数关系式，用配方法求的最大值；(3) 根据余弦函数，可得关于t的方程，解方程，可得答案，注意分类讨论解：(1)点B坐标为（4，0），抛物线的对称轴方程为x1，A（2，0）.把点A（2，0），B（4，0），点C（0，3），分别代入yax2+bx+c（a0），得解得该抛物线的解析式为y (2) 如图1，设运动时间为t秒，则AM3t，BNt，MB63t由题意得，点C的坐标为（0，3）在RtBOC中，BC5如图1，过点N作

20、NHAB于点H，NHCO，BHNBOC，即，HNSMBNMBHN(63t)当MBN存在时，0t2，当t1时，SMBN最大S与t的函数关系为S， S的最大值为（3）如图2，在RtOBC中，cosB，设运动时间为t秒，则AM3t，BNtMB63t当MNB90时，cosB，即，解得t当BMN90时，cosB，解得t综合上所述，当t或t时，MBN为直角三角形 8. （2017江苏无锡，27，10分）如图，以原点O为圆心，3为半径的圆与x轴分别交于A、B两点（点B在点A的右边），P是半径OB上一点，过P且垂直于AB的直线与O分别交于C、D两点（点C在点D的上方），直线AC、DB交于点E若AC：CE1:2

21、（1）求点P的坐标；（2）求过点A和点E，且顶点在直线CD上的抛物线的函数表达式思路分析：（1）过点E作E Fx轴于F，设P（m，0）.由相似三角形的判定与性质证得AF3AP，BF3PB；由关系式AFBFAB，可得m1点P的坐标（1，0）（2）由已知证得A（3，0），E（9，6），抛物线过点（5，0）；用待定系数法可得抛物线的函数表达式解：（1）过点E作E Fx轴于F，CDAB，CDEF，PCPDACPAEF，BPDBEF.AC：CE1:2AC：AE1:3，AF3AP，BF3PBAFBFAB又O的半径为3，设P（m，0）， 3（3m）3（3m）6m1P（1，0）（2）P（1，0），OP1，A（

22、3，0） OA3，AP4，BP2AF12.连接BCAB是直径，ACB90CDAB，ACPCBPCP2APBP428.CP2EF3CP6E（9，6）. 抛物线的顶点在直线CD上，CD是抛物线的对称轴，抛物线过点（5，0）.设抛物线的函数表达式为yax2bxc根据题意得解得抛物线的函数表达式为yx2x9. （2017山东潍坊）（本小题满分13分）如图1，抛物线y=ax2+bx+c经过平行四边形ABCD的顶点A(0，3)、B(1，0)、D(2，3)，抛物线与x轴的另一交点为E经过点E的直线l将平行四边形ABCD分割为面积相等的两部分，与抛物线交于另一点F点P为直线l上方抛物线上一动点，设点P的横坐标

23、为t（1）求抛物线的解析式；（2）当t何值时，PFE的面积最大?并求最大值的立方根；（3）是否存在点P使PFE为直角三角形?若存在，求出t的值；若不存在，说明理由思路分析：（1）利用待定系数法列方程组求解抛物线的解析式；（2）由平行四边形的对称性可知直线l必过其对称中心，同时利用抛物线的对称性确定E点坐标，进而可求直线l的解析式，结合二次函数解析式确定点F的坐标作PHx轴，交l于点M，作FNPH，列出PM关于t的解析式，最后利用三角形的面积得SPFE关于t的解析式，利用二次函数的最值求得t值，从而使问题得以解决；（3）分两种情形讨论：若P1AE=90，作P1Gy轴，易得P1G=AG，由此构建一

24、元二次方程求t的值；若AP2E=90，作P2Kx轴，AQP2K，则P2KEAQP2，由此利用对应边成比例构建一元二次方程求t的值解：（1）将点A(0，3)、B(1，0)、D(2，3)代入y=ax2+bx+c，得得所以，抛物线解析式为：y=x2+2x+3（2）因为直线l将平行四边形ABCD分割为面积相等的两部分，所以必过其对称中心(，)由点A、D知，对称轴为x=1，E(3，0)，设直线l的解析式为：y=kx+m，代入点(，)和(3，0)得解之得所以直线l的解析式为：y=x+由解得xF=作PHx轴，交l于点M，作FNPH点P的纵坐标为yP=t2+2t+3，点M的纵坐标为yM=t+所以PM=yPyM

25、=t2+2t+3+t=t2+t+则SPFE=SPFM+ SPEM=PMFN+PMEH=PM (FN+ EH)=(t2+t+)(3+)=(t)2+所以当t=时，PFE的面积最大，最大值的立方根为=（3）由图可知PEA90若P1AE=90，作P1Gy轴，因为OA=OE，所以OAE=OEA=45，所以P1AG =AP1G=45，所以P1G=AG所以t=t2+2t+33，即t2+t=0，解得t=1或t=0(舍去)若AP2E=90，作P2Kx轴，AQP2K，则P2KEAQP2，所以，所以，即t2t1=0，解之得t=或t=(舍去)综上可知t=1或t=适合题意10. （2017湖南岳阳，本题满分10分）如图

26、，抛物线经过点，直线l：交y轴于点E，且与抛物线交于A，D两点P为抛物线上一动点（不与A，D重合）（1） 求抛物线的解析式；（2） 当点P在直线l下方时，过点P作轴交l于点M，轴交l于点N求的最大值；（3） 设F为直线l上的点，以E，C，P，F为顶点的四边形能否构成平行四边形？若能，求出点F的坐标；若不能，请说明理由解：（1）将，代入，得：解得：抛物线的解析式为：；（2）设，则M，N在直线l：上，即：的最大值为：；（3）能设 当为边时，有，即：解得：，其中时不成立，舍去； 当为对角线时，中点即为中点（0，）在抛物线上所以，解得：，其中时不成立，舍去；综上所述：点的坐标为：、11. （2017湖

27、南常德，25，10分）如图12，已知抛物线的对称轴是y轴，且点(2,2)，(1,)在抛物线上，点P是抛物线上不与顶点N重合的一动点，过点P作PAx轴于A，PCy轴于C，延长PC交抛物线于E，设M是O关于抛物线顶点N的对称点，D是C点关于N的对称点.（1）求抛物线的解析式及顶点N的坐标；（2）求证：四边形PMDA是平行四边形；（3）求证：DPEPAM，并求出当它们的相似比为时点P的坐标. 图12思路分析：（1）将点(2,2)，(1,)坐标代入y=ax2+k中求出解析式，即可得到顶点N的坐标；（2）根据解析式设出点P坐标，从而得到点A、C的坐标，再通过N的坐标求出点M的坐标和D的坐标，即可求出MD

28、和PA的长度，得出长度相等，而MDPA，所以四边形PMDA是平行四边形；（3）在（2）证明之后继续证明PM=PA，则四边形PMDA是菱形，MDP=PDE=ADM=APM，所以PDE=APM，而DPE和PAM都是等腰三角形，顶角相等，则两个三角形相似.解：（1）设抛物线的解析式为：y=ax2+k，点(2,2)，(1,)在抛物线上，解得.该抛物线的解析式为：y=x2+1，顶点N的坐标为（0,1）；（2）设点P坐标为（x, x2+1），PAx轴于A，PCy轴于C，M是O关于抛物线顶点N的对称点，D是C点关于N的对称点.A（x,0），C（0,x2+1），M（0,2），D（0，1x2）；PAy轴；MD=

29、2（1x2）=x2+1=PA且MDPA四边形PMDA是平行四边形；（3）由（2）得四边形PMDA是平行四边形，PC=x，CM=x2+12=x21；在RtPCM中，PM=PA四边形PMDA是菱形，PAM是等腰三角形；APM=ADM；MDP=ADM；根据抛物线的对称性，PD=ED，DPE是等腰三角形，DC平分PDE，MDP=PDE，PDE=APM；又PDE，APM分别为等腰DPE和PAM的顶角；DPEPAMPE=，AM=PE：AM=时，解得：x=；相似比为时P点坐标为：（，4）12. 24.(2017湖北咸宁，24，12分)如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，其对称轴交抛物线于点D，

30、交x轴于点E，已知OB=OC=6.求抛物线的解析式及点D的坐标；连接BD，F为抛物线上一动点，当FAB=EDB时，求点F的坐标；平行于x轴的直线交抛物线于M、N两点，以线段MN为对角线作菱形MPNQ，当点P在x轴上，且PQ=MN时，求菱形对角线MN的长.思路分析：(1)利用OB=OC=6得到点B(6，0)，C(0，-6)，将其代入抛物线的解析可以求出b、c的值，进而得到抛物线的解析式，最后通过配方得到顶点坐标；(2)由于F为抛物线上一动点，FAB=EDB，可以分两种情况求解：一是点F在x轴上方；二是点F在x轴下方.每一种情况都可以作FGx轴于点G，构造RtAFG与RtDBE相似，利用对应边成比

31、例或三角函数的定义求点F的坐标.(3)首先根据MN与x轴的位置关系画出符合要求的两种图形：一是MN在x轴上方；二是MN在x轴下方.设菱形对角线的交点T到x轴的距离为n，利用PQ=MN，得到MT=2n，进而得到点M的坐标为(2+2n，n)，再由点M在抛物线上，得，求出n的值，最后可以求得MN=2MT=4n的两个值. 解：(1)OB=OC=6，B(6，0)，C(0，-6).，解得，抛物线的解析式为. 2分=，点D的坐标为(2，-8). 4分(2)如图，当点F在x轴上方时，设点F的坐标为(x，).过点F作FGx轴于点G，易求得OA=2，则AG=x+2，FG=.FAB=EDB，tanFAG=tanBD

32、E，即，解得，(舍去).当x=7时，y=，点F的坐标为(7，). 6分当点F在x轴下方时，设同理求得点F的坐标为(5，).综上所述，点F的坐标为(7，)或(5，). 8分(3)点P在x轴上，根据菱形的对称性可知点P的坐标为(2，0).如图，当MN在x轴上方时，设T为菱形对角线的交点.PQ=MN，MT=2PT.设TP=n，则MT=2n.M(2+2n，n).点M在抛物线上，即.解得，(舍去).MN=2MT=4n=. 10分当MN在x轴下方时，设TP=n，得M(2+2n，-n).点M在抛物线上，即.解得，(舍去).MN=2MT=4n=.综上所述，菱形对角线MN的长为或. 12分13. 24（2017

33、湖北宜昌）（本小题满分12分）已知抛物线y=ax2+bx+c，其中2a=b0c，且a+b+c=0.（1）直接写出关于的一元二次方程ax2+bx+c =0的一个根；（2）证明：抛物线y=ax2+bx+c的顶点A在第三象限； （3）直线y= x+m与轴轴分别相交于B,C两点，与抛物线y=ax2+bx+c相交于A,D两点.设抛物线y=ax2+bx+c的对称轴与轴相交于E,如果在对称轴左侧的抛物线上存在点F,使得ADF与OCB相似.并且，求此时抛物线的表达式.思路分析：（1）利用抛物线的对称轴、对称性及二次函数与方程的关系数形结合得出二次方程的根；（2）确定抛物线的顶点位置一可借助数形结合，二可借助顶

34、点坐标的正负性；（3）借助一次函数与二次函数的关系确定与求解相关点的坐标，将坐标转化为相应的线段长，进而借助题意中的相似及面积关系等构建方程求解未知系数的值.解：（1）ax2+bx+c =0的一个根为1（或者-3）（2）证明： b =2a，对称轴x=-1,将b=2a代入a+b+c=0.得c=-3a.方法一：a=b0c，b2-4ac0,0,所以顶点A（-1，）在第三象限.方法二：b =2a， c=-3a ，=-4a 45，这时BOC与ADF相似，顶点A只可能对应BOC中的直角顶点O，即ADF是以A为直角顶点的等腰三角形，且对称轴是x=-1，设对称轴x=-1与OF交于点G.直线y=x+m过顶点A，

35、所以m=1-4a，直线解析式为y=x+1-4a,解方程组，解得，这里的（-1，4a）即为顶点A，点（-1，-4a）即为顶点D的坐标（-1，-4a）D点到对称轴x=-1的距离为-1-（-1）=，AE=4a,SADE=4a=2,即它的面积为定值.这时等腰直角ADF的面积为1，所以底边DF =2，而x=-1是它的对称轴，这时D,C重合且在y轴上，由-1=0，a=1，此时抛物线的解析式y=x2+2x-314. （2017湖南邵阳，26，10分）（本小题满10分）如图（十六）所示，顶点（）的抛物线yax2bxc过点M（2，0）.（1） 求抛物线的解析式；（2） 点A是抛物线与x轴的交点（不与点M重合），

36、点B是抛物线与y轴的交点，点C是直线yx1上一点（处于x轴下方），点D是反比例函数y（k0）图象上一点.若以点A、B、C、D为顶点的四边形是菱形，求k的值.思路分析：（1）已知抛物线的顶点坐标，可设顶点式为 ya(x)2，再把点M（2，0）代入，可求a1，所以抛物线的解析式可求.（2）先分别求出A、B两点的坐标，及AB线段长，再根据反比例函数y（k0），考虑点C在x轴下方，故点D只能在第一、三象限确定菱形有两种情形：菱形以AB为边，如图一。过点D作x轴的平行线，交y轴于点N，因此，BDNGAO450，BDAB，从而求出DN，NO，即D的坐标可求，从而k可求. 菱形以AB为对角线，如图二。过点D

37、分别作y轴的平行线，与x轴交于点F，与过点B作x轴的垂线交于点E，可证三角形DBE是等腰直角三角形，所以设BEDEx，则DFx2，DBx ;在直角三角形ADF中，ADBDx，AFx1，利用勾股定理，构造关于x的方程，求出x，则D点坐标（x，x2）可求，k可求. 如图一 如图二解：（1）依题意可设抛物线为ya(x)2，将点M（2，0）代入可得a1，抛物线的解析式为y(x)2x2x2（2）当y0时，x2x20，解得x11，x22，所以A（1，0），当x0时，y2，所以B（0，2）在 RtOAB 中，OA1，OB2，AB.设直线 y x1 与 y 轴的交点为点 G，易求 G(0，1)，RtAOG 为

38、等腰直角三角形，AGO45.点 C 在 yx1 上且在 x 轴下方，而 k0，所以 y的图象位于第一、三象限，故点 D 只能在第一、三象限，因此符合条件的菱形只能有如下两种情况:此菱形以 AB 为边且 AC 也为边，如图所示，过点 D 作 DNy 轴于点 N，在 RtBDN 中，DBNAGO 45，DNBN，D(，2)点D在y(k0)的图象上，k 7分 答图1 答图2此菱形以 AB 为对角线，如图所示，作 AB 的垂直平分线 CD 交直线 y x1 于点 C，交 y 的图象于点 D再分别过点 D，B 作 DEx 轴于点 F，BEy 轴，DE 与 BE 相交于点 E在 RtBDE 中，同可证AG

39、ODBO BDE 45，BEDE. 可设点 D 的坐标为(x，x 2).BE2DE2BD2，BDBE x 四边形ABCD是菱形，所以ADBDx .在RtADF中，AD2AF2DF2， (x )2(x1)2(x2)2，解得x点D的坐标为（，），点D在y(k0)的图象上，k.综上所述，k的值为或10 分15. （2017江苏镇江，27，8分）（本小题满分8分）如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的边OA、OC分别在x轴、y轴上，点B坐标为（4，t）（t0）二次函数yx2bx（b0）的图像经过点B，顶点为点D（1）当t12时，顶点D到x轴的距离等于 ；（2）点E是二次函数yx2bx（b0）的图像与

40、x轴的一个公共点（点E与点O不重合）求OEEA的最大值即取得最大值时的二次函数表达式；（3）矩形OABC的对角线OB、AC交于点F，直线l平行于x轴，交二次函数x2bx（b0）的图像于点M、N，连接DM、DN当DMNFOC时，求t的值 思路分析：（1）将B点坐标（4,12）代入yx2bx求出二次函数关系式，再用配方法或二次函数的顶点坐标公式解决问题；（2）分别用含b的代数式表示OE、AE的长，再运用二次函数的求最值的方法（配方法）求出OEEA的最大值；（3）由DMNFOC可得MNCOt，再分别用含b、t的代数式表示出点M、N的坐标，将点M或点N的坐标代入yx2bx就可以求出t的值解：（1）；（

41、2）二次函数yx2bx与x轴交于点E，E（b,0）OEb，AE4bOEEAb(b4)b24b(b2) 24当b2时，OEEA有最大值，其最大值为4此时b2，二次函数表达式为：yx22x；答题图（3）过D作DGMN，垂足为G；过点F作FHCO，垂足为H DMNFOC，MNCOt，DGFH2D（，），N（，2），即N（，）把x，y代入yx2bx，得()2b()，解得t，t0，t16.（2017甘肃庆阳，28，12分）28.如图，已知二次函数的图象与轴交于点，点，与轴交于点.(1)求二次函数的表达式；(2)连接，若点在线段上运动(不与点，重合)，过点作，交于点，当面积最大时，求点的坐标；(3)连接，

42、在(2)的结论下，求与的数量关系.第28题图MNBCxAOy思路分析：用代定系数法，将点B，点C的坐标分别代入，解得、，即可求出二次函数的表达式 设点N的坐标为（n，0）（2n8），则，由题意可知BC=10，OA=4，；因MNAC，根据平行线分线段成比例定理可得；由图可知AMN，ABN是同高三角形，故可得出从而得出AMN的面积S与n的二次函数关系式，根据二次函数的顶点性质，即可求出当n=3时，即N（3，0）时，AMN的面积最大 当N（3，0）时，N为BC边中点和推出M为AB边中点，根据三角形中位线定理可得；利用勾股定理易得，即可求出解：（1）将点B，点C的坐标分别代入，得：，解得：， 该二次函

43、数的表达式为 （2）设点N的坐标为（n，0）（2n8），则， B（-2，0）, C（8，0）, BC=10.令，解得：，点A（0，4），OA=4，MNAC， OA=4，BC=10， 当n=3时，即N（3，0）时，AMN的面积最大 （3）当N（3，0）时，N为BC边中点.M为AB边中点， ， ， MNBCxAOy17. 23(2017湖南张家界)(本小题满分10分) 已知抛物线c1的顶点坐标为A(-1，4)，与y轴的交点为D(0，3)(1)求c1的解析式；(2)若直线l1：y=x+m与c1仅有唯一的交点，求m的值；(3)若抛物线c1与关于y轴对称的抛物线记作c2，平行于x轴的直线记作l2：y=n

44、试结合图形回答：当n为何值时，l2与c1和c2共有：两个交点；三个交点；四个交点；(4)若c2与x轴正半轴交点记作B，试在x轴上求点P，使为PAB等腰三角形思路分析：(1)已知抛物线的顶点坐标和与y轴的交点坐标，利用顶点式y=a(x+h)2+k求得解析式；(2)把直线l1：y=x+m与抛物线c1的解析式组成方程组，消去y，得到关于x的一元二方程，令判别式等于0即可求得m的值；(3)当n =3 与n =3时，是三种情况的临界点 ，结合图形可求得这三种情况下相应m的取值范围；(4)分三种情况：AP=AB，BA=BP，PA=PB，分别得出点P的坐标 解：(1)抛物线c1的顶点坐标为A(-1，4)，设

45、c1的解析式为y=a(x+1)2+4，把点D(0，3)代入得3=a(0+1)2+4，解得a=-1，c1的解析式为y=-(x+1)2+4=-x2-2x+3；(2)由方程组 得x2-3x+m-3=0，=(-3)2-41(m-3)=-4m+21=0,m=；(3)抛物线c2的顶点坐标为(1，4)，l2与c1和c2共有：两个交点，这时l2过抛物线的顶点，所以n =4三个交点，这时l2过两条抛物线的交点D，所以n =3；四个交点，这时l2在抛物线的顶点与点D之间或在点D的下方，所以3n 4或n3(4)根据抛物线的对称性可知，c2的解析式为y=-(x-1)2+4=-x2+2x+3，与x轴的正半轴的交点B的坐

46、标为(3，0)，又A(-1，4)，AB=若AP=AB，PO=4+1=5，这时点P坐标为(-5，0)；若BA=BP，若点P在点B的左侧，OP=BP-BO=-3，这时点P坐标为(3-，0)；若点P在点B的右侧，OP=BP+BO=+3，这时点P坐标为(3+，0)；若PA=PB，这时点P是线段AB的垂直平分线与x轴的交点，显然PA=PB=4，所以P(-1，0)综上所述，点P的坐标为(-5，0)或(3-，0)或(3+，0) 或(-1，0) 18. (2017浙江宁波，25，12分)如图，抛物线与轴的负半轴交于点，与轴交于点，连结，点C(6，)在抛物线上，直线与轴交于点(1)求的值及直线的函数表达式；(2

47、)点在轴正半轴上，点在轴正半轴上，连结与直线交于点，连结并延长交于点，若为的中点求证：；设点的横坐标为，求的长(用含的代数式表示)【思路分析】(1)将点C的坐标代入二次函数的解析式中，可求出点c的值；令y0,求得点A的坐标，利用待定系数法求得直线AC的函数表达式；(2)分别求出点D，点B的坐标，求得OABOAD，根据直角三角形斜边中线等于斜边一半，知OMPM，所以MOPMPO，易求MPOAON，利用两角对应相等的两个三角形相似，结论易证；由APMAON，得,分别用含m的代数式表示AM，AP，AO的值，即可求出AN的值【解析】(1)把点C(6，)，得,解得：c3yx2+x3当y0时，x2+x30，解得x14,x23A(4,0)设直线AC的函数表达式为：ykx+b(k0)把A (4,0),C(6,)代入，得,解得直线AC的函数表达式为y（2） 在RtAOB中，tanOAB在RtAOB中，tanOADOABOAD在RtPOQ中，M为PQ的中点，OMMP MOPMPO，MOPAON，MPOAON，APMAON 如图，过点M作MEx轴于点E，又OMMP，OEEP点M横坐标为m，AEm+4,AP2m+4tanOAD，cosEAMcosOA