第08章04节平面(1)

1、第4节 平面（考点）从本节起讨论空间解析几何. 空间解析几何就是用代数方法研究空间几何对象。这里“几何对象”包括空间曲面与空间曲线. 平面是特殊的曲面；直线是特殊的曲线。要用代数方法研究空间几何对象，首先要建立的方程（也可能是方程组）。与平面解析几何类似， 与它的方程之间应满足如下关系:(1) 若点在上,则满足方程；(2) 若一组数满足方程,则点在上则称为的方程, 为方程的图形. （1）和（2）合起来意思是，（即，方程不多不少刚好表示完的全部点）在本节及下一节,我们将以向量为工具,在空间直角坐标系中讨论平面和直线.平面的方程（题目（考点）：求满足给定条件的平面的方程。）1平面的点法式方程 假设

2、同学们已经熟知什么是平面。若一非零向量垂直于一平面，则称此向量是该平面的法向量,记作.下面我们要写出给定平面的方程。要写的方程，首先要有一些已知条件。设已知上随便一点和的随便一个法向量。平面就确定了，确定了就可以写它的方程.设是空间任一点。因此的方程是. (4.1)图4.1而平面便是方程(4.1)的图形由于方程(4.1)是由平面上已知点及它的法向量确定的，因此，称方程(4.1)为平面的点法式方程写给定平面的点法式方程的方法：首先根据已知条件求出上随便一点和随便一个法向量，再把和代入(4.1)就得到的方程。【例4.1】若平面过点,且其法向量的三个方向角相等,求此平面的方程.解设法向量的三个方向角

3、为,由条件可得，但注意到，于是有，取,由点法式方程(4.1),所求平面的方程为.即 .思考题:1对此题,能否取法向量来建立平面方程?一般地,平面有多少个法向量,不同的法向量之间有什么关系?【例4.2】若平面过三点,求此平面的方程.解先求平面的法向量,因,则.于是可取又点是此平面上一定点,由平面的点法式方程(4.1)可得或. (4.2)(4.2)式也称为平面的三点式方程.(测)思考题:2根据向量的混合积导出平面的三点式方程(4.2).（四点共面的充要条件是。也可得到方程（4.2）。）2平面的一般方程. (4.1)平面方程(4.1)是的三元一次方程。反过来，若随便给定三元一次方程，(4.3)它是否

4、表示一个平面？任取满足该方程的一组数（若，令得），即， (4.4)两式相减就得到与(4.1)同解的方程:. (4.3)由此可见,方程(4.3)是过点且以为法向量的平面方程，故三元一次方程(4.3)的图形是平面称方程(4.3)为平面的一般方程.是平面的法向量 结论：平面的方程都是三元一次方程；反过来，三元一次方程都表示一个平面。利用一般方程写平面方程的方法：把已知条件代入(4.4)得未知数是的方程组，解此方程组得到，再代回(4.4)就得到平面的方程。（注意：的解是不唯一的！）为简单，可利用三元一次方程和平面特点的以下关系：(1) 平面通过原点(2) 法向量为垂直于轴平面平行于轴；法向量为垂直于轴

5、平面平行于轴；法向量为垂直于轴平面平行于轴(2) 的三个特点有时可能同时具有其中两个，例如，平面平行于面思考题:3在方程(4.3)中,若(1); (2); (3); (4),则方程(4.3)分别表示怎样的平面?画出这些平面的图形.【例4.3】求通过轴和点的平面方程解平面过轴，则该平面平行于轴，且平面过原点，故设该平面的方程为由平面过点，有，将此式代入所设方程有 ，消去（解不唯一！），得平面方程思考题：4试根据平面的点法式方程求例4.3的平面方程.解 设法向量为，则同时垂直于和。解取。所求平面方程是（在平面上）【例4.4】设平面与轴，轴，轴分别交于三点 ，求此平面的方程(其中：)解设所求的平面方

6、程为 ，将三点的坐标分别代入得,从而，代入所设方程有，两边同除以有(4.5)方程(4.5)称之为平面的截距式方程，而依次称为平面在轴上的截距思考题:5试根据平面的三点式方程导出平面的截距式方程.解 。取平面的方程即4.2 点到平面的距离设是平面：外一点，下面求点到平面的距离图4.2设为点在平面上的投影点.由条件，平面的单位法向量，故注意到在平面上,有,故. (4.6)(4.6)为点到平面的距离公式.（与平面几何点到直线距离公式比较记住）例如点到到平面平面:的距离为.思考题：6试根据例3.3所给出的Cauchy不等式导出点到平面的距离公式（4.6）式.7如何判别两点位于同一平面的同侧或异侧?解

7、平面把全空间分割成三部分：平面上；有一侧另一侧。4.3 两平面的位置关系1 两平面的相互位置设空间两平面的方程分别为：，法向量分别为，。从几何上看,其位置关系可能是平行、重合、相交等情形 （1）。（2）。特别地，易证两平面重合的充分必要条件是 (4.8)2 两平面间的夹角两平面的法向量的夹角等于两平面的夹角(通常不取钝角).设平面:,:，则与的法线向量分别为 ，由于两平面的夹角等于的夹角且不取钝角（图4.3）,故得(4.9)【例4.5】平面过两点和且垂直于平面，求它的方程解设所求平面的法线向量为显然，在所求平面上，故，即又垂直于平面的法线向量，故有故 .（解不唯一！）由点法式方程有，消去得，故

8、所求方程为 .思考题:8试给出建立例4.5中平面方程的其它解法.解 。的法向量。取所求方程为 。习题84A类1是否存在满足下列条件的平面？如果存在的话，是否唯一？(1) 过一已知点且与一已知直线平行;*(2) 过一已知点且与一已知直线垂直;(3) 过一已知点且与一已知平面平行;*(4) 过一已知点且与一已知平面垂直;(5) 过两已知点且与一已知直线平行;*(6) 过两已知点且与一已知直线垂直;(7) 过两已知点且与一已知平面平行;*(8) 过两已知点且与一已知平面垂直.2指出下列平面位置的特点并作图:*(1) ; (2) ;(3) ;*(4) ;*(5) ; (6) .（2）解 这是一个三个截

9、距都是1的截距式方程，图如下。3求满足下列条件的平面方程：(1) 过点且与向径垂直；(2) 过点且与平面平行；(3) 过点且同时平行于向量和；(4) 过点和点且与平面相垂直;(5) 过点且与平面与相垂直;(6) 过点，和;(7) 过点和轴;(8) 过点，且平行于轴;(9) 与坐标轴的截距相同且过点;(10) 平面与平面之间的两面角的平分面解 （3）所给平面的法向量与和都垂直。取所求平面方程：。（5）两已知平面的法向量分别是和。所给平面的法向量与和都垂直。取所求平面方程：。*4求平面与各坐标面的夹角的方向余弦.5判别下列各组平面的相互关系:(1) 与；(2) 与；(3) 与；(4) 与.6求两平面与之间的距离.解 所给两平面互相平行。在上取一点。此点到的距离所给两平