数字信号处理实验第一次报告实验三-快速傅立叶变换及其应用

1、数字信号处理Matlab实验报告实验三 快速傅立叶变换及其应用姓名： 学号： 一 实验平台二 实验目的：（1） 在理论学习的基础上，通过本实验，加深对FFT的理解，熟悉MATLAB中的有关函数。（2） 应用FFT对典型信号进行频谱分析。（3） 了解应用FFT进行信号频谱分析过程中可能出现的问题，以便在实际中正确应用FFT。（4） 应用FFT实现序列的线性卷积和相关。三 实验原理：（1） 混叠：采样序列的频谱是被采样信号频谱的周期延拓，当采样频率不满足奈奎斯特采样定理的时候，就会发生混叠，使得刺痒后的序列信号的频谱不能真实的反映原采样信号的频谱。（2） 泄露：根据理论分析，一个时间的信号其频带宽

2、度为无限，一个时间无限的信号其频带宽度则为有限。因此对一个时间有限的信号，应用DFT进行分析，频谱混叠难以避免。对一个时间无限的信号虽然频带有限，但在实际运算中，时间总是取有限值，在将信号截断的过程中，出现了分散的扩展谱线的现象，称之为频谱泄露或功率泄露。（3） 栅栏效应：DFT是对单位圆上Z变换的均匀采样，所以它不可能将频谱视为一个连续函数，就在一定意义上看，用DFT来观察频谱就好象通过一个栅栏来观看一个景象一样，只能在离散点上看到真实的频谱，这样就有可能发生一些频谱的峰点和谷点被“尖桩的栅栏”所挡住，不能被我们观察到。（4） 圆周卷积：把序列X（N）分布在N等份的圆周上，而序列Y（N）经反

3、摺后也分布在另一个具有N等份的同心圆的圆周上。两圆上对应的数两量两相乘求和，就得到全部卷积序列。这个卷积过程称做圆周卷积。（5） 互相关函数反映了两个序列X（N）和Y（N）的相似程度，用FFT可以很快的计算互相关函数。四 实验内容：实验中用到的函数序列：(a) Gaussian序列exp(-(n-p).2)/q), 0=<n=<15Xa(n)=0, 其他 （b）衰减正弦序列exp(-an)*sin(2pi*fn),0=<n=<15 X(b)= 0, 其他 (c)三角波序列 n, 0=<n=<3 Xb(n)=8-n, 4=<n=<7 0, 其他 (

4、d)反三角波序列 4-n, 0=<n=<3 Xc(n)= n-4, 4=<n=<7 0, 其他五 上机实验内容：1观察高斯序列的时域和幅频特性，固定信号xa(n)中参数p=8，改变q的 值，使q分别等于2，4，8，观察他们的时域和幅频特性，了解当q取不同值时，对信号序列的时域和幅频特性影响；改变p，使p分别等于8，13，14，观察参数p变化对信号序列的时域和幅频特性影响，注意p等于多少时，会发生明显的泄漏现象，混叠是否也随之出现？记录实验中观察到的现象，绘出相应的时域序列和幅频特性曲线。 程序：n=0:15;xa=exp(-(n-p).2/q);subplot(2,1,

5、1);plot(n,xa);ya=fft(xa);ya=abs(ya);subplot(2,1,2);stem(n,ya); p=8,q=2（注：上面是时域，下面是频域） P=8,q=4 P=8,q=8 P=13,q=8 P=14,q=8结论: X(n)中的参数p为高斯序列的峰值位置，q则表示高斯序列峰的尖锐度，（即峰值边沿的陡峭度）。q值越大，时域图中图象越平缓，序列变化越慢；其幅频特性图中高频分量越少，频谱越窄，越不容易产生混叠。p值越大，序列右移，在规定的窗口内有效值被截断的越多。因为窗口截断会造成窗口泄露，所以我们可以在幅频特性图中看到，随着p值的变大，高频分量会增加。易出现泄露，当p

6、=13时，特别是p=14时，产生了明显的泄露与混叠。2 观察衰减正弦序列xb(n)的时域和幅频特性，a=0.1,f=0.0625,检查谱峰出现位置是否正确，注意频谱的形状，绘出幅频特性曲线，改变f，使f分别等于0.4375和0.5625，观察这两种情况下，频谱的形状和谱峰出现的位置，有无混叠和泄漏现象？说明产生现象的原因。 程序： n=0:15; a=0.1;xb=exp(-a*n).*sin(2*pi*f*n);subplot(2,1,1); plot(n,xb);yb=fft(xb); yb=abs(yb);subplot(2,1,2);stem(n,yb);f=0.0625; f=0.4

7、375; f=0.5625结论：该实验中f=F/fs （F固有频率 fs采样频率，统一做归一化处理 fs=1）图中的幅频特性图：当f=0.0625时，没有产生明显的混叠和泄露；当f=0.4375和f=0.5625时，产生了混叠，是因为不满足奈奎斯特采样定理的缘故;图中后两个序列的时域图：因为0.4375+0.5625=1，满足如下等式（此情况只适用于正弦序列），Xb(n)|f=0.4375=-Xb(n)|f=0.5625,即sin(2pi*fn）=-sin2pi(1-f)n,其幅频特性是完全相同的。3. 观察三角波和反三角波序列的时域和幅频特性，用N=8点FFT分析信号序列xc(n)和xd(n

8、)的幅频特性，观察两者的序列形状和频谱曲线有什么异同？绘出两序列及其幅频特性曲线。在xc(n)和xd(n)末尾补零，用N=32点FFT分析这两个信号序列的幅频特性，观察频谱特性发生了什么变化？两种情况下的FFT频谱还有相同之处吗？这些变化说明了什么？ 程序：n1=0:3;xc1=n1;xd1=4-n1;n2=4:7;xc2=8-n2;xd2=n2-4;xc=xc1,xc2;xd=xd1,xd2;subplot(2,2,1);n1=0:31; n2=0:7;plot(n2,xc);yc=fft(xc,n);yc=abs(yc);subplot(2,2,2);stem(n1,yc);subplot

9、(2,2,3);plot(n2,xd);subplot(2,2,4);yd=fft(xd，n);yd=abs(yd);stem(n1,yd); n=8;(左边是时域，右边是频域，下同) n=32;结论：反三角波的边沿比较陡峭，因此它的幅频特性曲线中高频分量比较多。由图知：当N=8时，正反三角波的幅频特性相同，因为两者的时域只差一个相位；当N=16时，正，反三角波的幅频特性不同。这是因为栅栏效应，当N=8时，一些谱线被挡住。通过在原序列的末端补零，N=16，即增加采样的点数和改变采样的位置，使这些被挡住的谱线显露出来，弱化了栅栏效应。3 一个连续信号含两个频率分量，经采样得x(n)=sin2*0

10、.125n+cos2*(0.125+f)n n=0,1,N-1已知N=16，f分别为1/16和1/64，观察其频谱；当N=128时，f不变，其结果有何不同？ 程序：n=0:N-1;x=sin(2*pi*0.125*n)+cos(2*pi*(0.125+f)*n);subplot(2,1,1);plot(n,x);subplot(2,1,2);y=fft(x);y=abs(y);stem(n,y);N=16，f=1/16N=16,f=1/64N=128,f=1/16N=128,f=1/64结论：当N=16，f=1/16，N=128,f=1/16以及N=128,f=1/64时，均反应了真实的频谱；

11、只有当N=16,f=1/64时，频谱发生了严重的栅栏效应。这是由于分辨率等于1/N，当f>=1/N时，能分辨，不会发生栅栏效应；当f=<1/N时，不能分辨，会发生栅栏效应。4 用FFT 分别计算xa(n)(p=8,q=2)和xb(n)(a=0.1,f=0.0625)的16点循环卷积和线形卷积。程序：n=0:15;p=8;q=2;xa=exp(-(n-p).2/q);a=0.1;f=0.0625;xb=exp(-a*n).*sin(2*pi*f*n);ya=fft(xa);ya=abs(ya);yb=fft(xb);yb=abs(yb);y1=ya.*yb;subplot(2,1,1

12、);stem(n,y1);yaa=fft(xa，32);yaa=abs(yaa);ybb=fft(xb，32);ybb=abs(ybb);y2=yaa.*ybb;subplot(2,1,2);n=0:31;stem(n,y2);（上图是循环卷积，下图是线性卷积）结论：比较图中线性卷积与圆周卷积序列： Xa(n)（序列长度为N1）与Xb(n)(序列长度为N2)的N点圆周卷积序列（当N<N1+N2-1）,即为将Xa(n)与Xb(n)线性卷积序列中序号从N到N1+N2-1的序列叠加到原序列序号从0到N-1的地方。5 产生一512点的随即序列xe(n)并用xc(n)和 xe(n)做线形卷积，观察

13、卷积前后xe(n) 频谱的变化。要求将xe(n)分成8段，分别采用重叠相加法和重叠保留法。用重叠保留法和重叠相加法实现线形卷积的过程为： Xc(n)序列长度为8，Xe(n)序列长度为512，分Xe(n)序列为8段，每段长度为64，则每段序列与Xc(n)序列卷积后的长度为72，总长度为520。（凑成2的整数倍） 程序：（重叠相加法）e=rand(1,512);n1=0:3;xc1=n1;n2=4:7;xc2=8-n2;xc=xc1,xc2;yc=fft(xc,72);/将短序列补零后做72点的FFTxe1=xe(1:64);ye1=fft(xe1,72);/对长序列第一段做72点的FFTy1=y

14、e1.*yc;/将上述两个FFT相乘y1=y1,zeros(1,448);/补上448个零，以便相加，以下7段重复上述过程xe2=xe(65:128);ye2=fft(xe2,72);y2=ye2.*yc;y2=zeros(1,64),y2,zeros(1,384);xe3=xe(129:192);ye3=fft(xe3,72);y3=ye3.*yc;y3=zeros(1,128),y3,zeros(1,320);xe4=xe(193:256);ye4=fft(xe4,72);y4=ye4.*yc;y4=zeros(1,192),y4,zeros(1,256);xe5=xe(257:320);

15、ye5=fft(xe5,72);y5=ye5.*yc;y5=zeros(1,256),y5,zeros(1,192);xe6=xe(321:384);ye6=fft(xe6,72);y6=ye6.*yc;y6=zeros(1,320),y6,zeros(1,128);xe7=xe(385:448);ye7=fft(xe7,72);y7=ye7.*yc;y7=zeros(1,384),y7,zeros(1,64);xe8=xe(449:512);ye8=fft(xe8,72);y8=ye8.*yc;y8=zeros(1,448),y8;y=y1+y2+y3+y4+y5+y6+y7+y8;/将这8

16、个序列相加，便可得到最终的结果。y=abs(y);n=1:520;plot(n,y)（重叠保留法）xe=rand(1,512);xe=zeros(1,8),xe,zeros(1,56)/长序列前添8个零，后添56个零，构成576点的序列n1=0:3; xc1=n1;n2=4:7;xc2=8-n2;xc=xc1,xc2;yc=fft(xc,72);对短序列做72点的FFTxe1=xe(1:72);/将所得序列分成8段，每段序列长度为72ye1=fft(xe1,72);对长序列的第一段做72点的FFTy1=ye1.*yc;将上述两段序列相乘y1=y1(9:72);取第一段所得结果的后64点，以下七

17、段同上述布骤。xe2=xe(73:144);ye2=fft(xe2,72);y2=ye2.*yc;y2=y2(9:72);xe3=xe(145:216);ye3=fft(xe3,72);y3=ye3.*yc;y3=y3(9:72);xe4=xe(216:288);ye4=fft(xe4,72);y4=ye4.*yc;y4=y4(9:72);xe5=xe(289:360);ye5=fft(xe5,72);y5=ye5.*yc;y5=y5(9:72);xe6=xe(361:432);ye6=fft(xe6,72);y6=ye6.*yc;y6=y6(9:72);xe7=xe(433:504);ye7

18、=fft(xe7,72);y7=ye7.*yc;y7=y7(9:72);xe8=xe(505:576);ye8=fft(xe8,72);y8=ye8.*yc;y=y1,y2,y3,y4,y5,y6,y7,y8/将上述8段合并，变可得到最终结果y=abs(y);n=1:520;plot(n,y)结论：比较图中序列的线形卷积频谱：原序列的频谱曲线较线性卷积序列的频谱曲线陡峭，即一个长序列与一个短序列作线性卷积，短序列就相当于一个低通滤波器，滤除长序列的一部分高频分量；6 用FFT分别计算xa(n)(p=8,q=2)和xb(n)(a=0.1,f=0.0625)的16点循环相关和线形相关，问一共有多少

19、种结果，他们之间有何异同点。程序：function y=t27N=16;n=0:N-1;m=(-N+1):(N-1);xa=exp(-(n-8).2/2);xb=exp(-0.1*n).*sin(2*pi*0.0625*n);Xa1=abs(fft(xa,N);Xb1=abs(fft(xb,N);Xa2=fft(xa,2*N);Xb2=fft(xb,2*N);rm1=real(ifft(conj(Xa1).*Xb1);rm2=real(ifft(conj(Xa2).*Xb2);rm2=rm2(N+2:2*N) rm2(1:N);subplot(2,1,1)stem(n,rm1)subplot(2,1,2)stem(m,rm2)(上面是循环相关，下面是线性相关)由上图可以看到，16点的循环相关由于高斯噪声的干扰，衰减发生了微小的变化，时间位置不对了。并且线形相关32点，循环相关只有16点。7 用FFT分别计算xa(n)(p=8,q=2)和xb(n)(a=0.1,f=0.0625)的自相关函数。 程序： n=0:15; p=8; q=2; xa=exp(-(n-p).2/q);a=0.1;f=0.0625;xb=exp(-a*n).*sin(2*pi*f*n);k1=length(xa);k2=length(x