向量知识点归纳与常见题型总结

1、向量知识点归纳与常见题型总结高三理科数学组全体成员'、向量知识点归纳1 .与向量概念有关的问题向量不同于数量，数量是只有大小的量 （称标量），而向量既有大小又有方向；数量 可以比较大小，而向量不能比较大小，只有它的模才能比较大小记号“ a> b”错了,而| a| > | b |才有意义有些向量与起点无关.由于一切向量有其共性 （大小和方向）， 当遇到与起点有关向量时，可平移向量既向量平行是有些向量与起点有关， 故我们只研究与起点无关的向量（既自由向量）y 满足 x? y2 = 1AB同向的单位向量。平行向量（既共线向量）不一定相等，但相等向量一定是平行向量， 向量相等的必要

2、条件单位向量是模为 1的向量，其坐标表示为（x, y）,其中x、TAB（可用（cossin二）（0wrw 2n ）表示）特别：表示与一|Ab|例如：向量（-AB空）（，0）所在直线过AABC的内心（是.BAC的角平分线所在|AB| |AC|直线）;| AB |例1、O是平面上一个定点，A、BC不共线，P满足OP =OA +扎（AB + ACj）& w 0,垃）. | AC则点P的轨迹一定通过三角形的内心。AC2 ,则厶ABC为（）fAB AC f AB(变式)已知非零向量 AB与AC满足(= +f ) -BC=0且ff|AB| |AC|AB| |AC|D.等边三角形（06陕西）A.三边

3、均不相等的三角形B.直角三角形C.等腰非等边三角形0的长度为0,是有方向的，并且方向是任意的，实数0仅仅是一个无方向的实数有向线段是向量的一种表示方法，并不是说向量就是有向线段（7）相反向量（长度相等方向相反的向量叫做相反向量。a的相反向量是一a ° ）2与向量运算有关的问题向量与向量相加，其和仍是一个向量（三角形法则和平行四边形法则） 当两个向量a和b不共线时，a b的方向与a、b都不相同，且|a，b| < | a| +1 b | ； 当两个向量a和b共线且同向时，a b、舌、b的方向都相同，且|a b |a| |b| ； 当向量a和b反向时，若|a| > | b| ,

4、 a b与a方向相同，且| 2 b|=| a|-| b| ；- - -若 |a| < | b | 时，a，b 与 b 方向相同，且 | a + b|=| b |-| a |.向量与向量相减，其差仍是一个向量向量减法的实质是加法的逆运算三角形法则适用于首尾相接的向量求和；平行四边形法则适用于共起点的向量求和。AB BC =AC AB AC =CB例2: P是三角形 ABC内任一点，若 CB PA PB,R，贝P 一定在（）A、. ABC内部B、AC边所在的直线上C、AB边上 D、BC边上2例 3、若 AB - BC AB =0，则 ABC是: A.Rt B.锐角 C.钝角 D.等腰 Rt例

5、 4、已知向量 a=（cosr,sin）,6 = （.3,-1），求 |2a-b|的最大值。分析：通过向量的坐标运算，转化为函数（这里是三角）的最值问题，是通法。解：原式=| （2cost - . 3,2sin v 1） |= . （2cos- 3）2 亠（2sin1）2C 兀、亠5兀8 8s in （，-3）。当且仅当 -2k（k Z）时，|2a-b| 有最大值 4.评析：其实此类问题运用一个重要的向量不等式“|a|-|b|_|a_b|_|a| |b|”就显得简洁明快。原式< |2a|b|=2| a| | bH2 2=4，但要注意等号成立的条件（向量同向）。围成一周（首尾相接）的向量（

6、有向线段表示）的和为零向量如，ab BC CA = 0,（在 abc中） ab bc Cd DA = 0.（ abcd中）判定两向量共线的注意事项：共线向量定理对空间任意两个向量a、b（b丰0 ） , a /b 存在实数入使a=入b.如果两个非零向量 a , b，使a = b （入 R）,那么a / b ；反之，如a / b，且b丰0，那么a =入b .这里在“反之”中，没有指出a是非零向量，其原因为a=0时，与入b的方向规定为平行 数量积的8个重要性质 两向量的夹角为 0W二W n .由于向量数量积的几何意义是一个向量的长度乘以另一向量在其上的射影值，其射影值可正、可负、可以为零，故向量的数

7、量积是一个实数. 设a、b都是非零向量，e是单位向量，v是a与b的夹角，则 bIZe a = a e a | cos R（ | e| =1） a _ b = a b = 0 （=90°, cos - 0） 在实数运算中ab =0 a=0或b=0.而在向量运算中 ab = 0= a = 0或b =0是错误的, 故a = 0或b = 0是a b=0的充分而不必要条件 当 a 与 b 同向时 a b = |a | |b|（ =0,cos 二=1）；-t-hfb-tr&>当a与b反向时，ab=-|a | b| =n ,cos二=-1），即a /b的另一个充要条件是f T kf

8、l44T 4|a b| = |a| |b|.当， 为锐角时，a>0,且a、b不同向，呻a 'b>0是日为锐角的必要 非充分条件；当二为钝角时，a b v0,且a b不反向，a b 0是二为钝角的必要非充 分条件；Ti? ?例5.如已知a = （ ',2 ） , b珂3, ,2），如果a与b的夹角为锐角，贝U 的取值范围是41 （答：或/ > 0且 *）;33例6、已知i,j为相互垂直的单位向量，5 = i -2, B = i 。且a与b的夹角为锐角，求实数的取值范围。分析：由数量积的定义易得“<：a,ba b>0”，但要注意问题的等价性。1 解：由

9、a与b的夹角为锐角，得ab=1-20.有2-（t=1、而当a=tb（t >0）,即两向量同向共线时，有得丸=2 .此时其夹角不为锐角。 = -2（ 1、 故九丘（, 22, I.< 2丿评析：特别提醒的是：:：:a,b 是锐角与a b 0不等价；同样：:a,b 是钝角与a b . 0 不等价。极易疏忽特例“共线”。2 2 、 - 2 2 2特殊情况有 a e = a =|a |。或 | a |= . a a = ; a = x2 y2 .如果表示向量a的有向线段的起点和终点的坐标分别为（xi, y! ）,（ x2 , y2 ）,则 |a|=.（人-X2）2 （yi -丫2）2 |

10、a b |兰 | a | | b |。（因 cos日 < 1） 数量积不适合乘法结合律.如（a b） c = a （b c）.（因为（a b） c与c共线，而a （b c）与a共线） 数量积的消去律不成立.若a、b、c是非零向量且a c=bc并不能得到a=b这是因为向量不能作除数， 即1是无意义的.c向量b在a方向上的投影丨b I cos二=a b同ei和e2是平面一组基底，则该平面任一向量 = 1e 2 e2 （ ' 1, ' 2唯一） 特别：.OP = O 2OB则 * 2胡是三点P、A B共线的充要条件.注意：起点相同，系数和是 1。基底一定不共线例7、已知等差数列

11、 an的前n项和为Sn1 F，若BO= a1 OA+ a200 OC ,且 A、B C2三点共线（该直线不过点A. 50 B. 51C.100例&平面直角坐标系中,O),贝 y Se00=(D.101O为坐标原点,已知两点 A（3,1） , B（-1,3）,若点C满足OC二器OA2 OB ,其中'1, R且12 ",则点C的轨迹是（直线AB）例9、已知点A,B,C的坐标分别是（31）,（5,2）,（2二2丄）.若存在实数，使 0C =，0A （1 -，）OB ,则 t 的值是:A. 0B. 1 C. 0 或 1D.不确定例10下列条件中，能确定三点 A, B,P不共线

12、的是：A MP 二 sin2 20 MA cos2 20 MBB. MP 二 sec? 20 MA - tan2 20 MBC MP 二 sin2 20 MA cos2 70 MBD MP 二 esc2 31 MA 一 cot2 31 MB分析：本题应知：“ A,B,P共线，等价于存在厂R,使MPMAMB且& + 卩=1”。（8）在A ABC中，1PG =3（PA + PB + PC）二 G为也ABC的重心，特别地PA PB PC =0 = 1 P为 ABC的重心；AB BC = AD则AD过三角形的重心；2例11、设平面向量a1、a2、a3 的和 & +a2 +a3 =0。如

13、果向量 b、b2、d,满足 b = 2 ai ,且ai顺时针旋转30o后与bi同向，其中i -1,2,3，则（D） （06河南高考）a. bi ' b2 ' b3 0bbi - b2 b3 0C. b b2=0D. b b2 d =0T r T r T T PA PB 斗B 竺二PC PA= P为 ABC的垂心； 向量（上B -IABAB|PC |BC|PA |2xa yB -XB yA ；例12、若O是L ABC所在平面内一点，且满足 OB-OC = OB - 2OA，则L ABC的形状为 （答：直角三角形）；例13、若D为 ABC 的边BC的中点，AABC所在平面内有一点P

14、 ,满足 |AP|PA + BP+CP= 0,设，则人的值为（答：2）；|PD| t T J例14、若点O是厶ABC的外心，且OA+OB+CO= 0,则内角C为 （答：120 ）；（9）、P分RP2的比为,则RP，PP2, > 0内分；，V 0且工-1外分.OP = OP；若入=1 则 OP = 2 （ OR + OR ）；设 P（x,y）,P 1（x 1,y 1）,_X1 +X2X 一 -,2 重心*2|SAOB=-0）所在直线过 ABC的内心（ BAC的角分线所在直线）；T T TCA|PB =0二 P ABC 的内心；（选）1 - X! +汕X ,1十扎y1 +人说明：特别注意各点

15、的顺序, 子分母的位置。P2(X2,y 2)则X1X2 X3X = 、3y1 +y2 +y3汁 3-分子是起点至分点， 分母是分点至终点， 不能改变顺序和 分例 15、已知 A (4, -3), BTf（-2 , 6），点P在直线AB上，且|AB| = 3|AP|，则P点的坐标是()(2, 0), (6, -6 )X r _ X + h(10)、点P(x, y)按才=(h,k)平移得P'(x：y),则PP = a或 函数y = f(x)按 y F=y +ka =(h,k)平移得函数方程为：y -k = f (x -h)说明：(1)向量按向量平移，前后不变；(2)曲线按向量平移，分两步：

16、i确定平移方向 -与坐标轴的方向一致； ii按左加右减，上加下减(上减下加)例16、把函数 y=2x2的图象 按向量a=(2,_2)平移后得到的解析式是 。y =2x2 -8x 6Tf例17、函数y =si n2x的图象按向量 a平移后，所得函数的解析式是y =cos2x 1，则aJT=(答: (-一 ,1)4结论：已知A(Xj, yj, B(X2, y2),l ： Ax By C = 0,过A, B的直线与I交于点P ,则P分Ax1 By1 CAB所成的比是11,若用此结论，以下两题将变得很简单.Ax2 +By2 +C例18、已知有向线段 PQ的起点P和终点Q的坐标分别是(-1,1), (2

17、,2)，若直线l的方程 是x+my+m= 0 ,直线l与PQ的延长线相交，则m的取值范围是 .解：由，-Ax1旳 C得，二 匕2巴,因为直线l与PQ的延长线相交，故 < -1,Ax2 + By2 +C2 +3m2解得-3 : m :-三3变式：已知点A(2,-1),B(5,3). 若直线I : kx - y T = 0与线段AB相交，求k的范围提示:由，- _ AxBy 得：.-2k一2 . 0及直线过端点得 _ 1 _ k _ ZAx2+By2+C5k25T T 44x y.注意：(1)起点相同(2)系数和是1。cos a，b :八i(11)对空间任一点 O和不共线的三点 A B、C,

18、满足OPxOA - yOB zOC,(12)空间两个向量的夹角公式则四点P、A、B、C是共面=a= (a,a2,93),a； a： * b2 b b3b= (Dbg) (13)空间两点间的距离公式若 A(x1,y1,乙),B(X2, y2,Z2)，则dA,B =1 ab |= Jab Ab =J(x2xj2 (y2 - y1)2 '(Z2 -zj2 .(14)点Q到直线l距离ha= PA，向量 b= PQ).二1 (|a|b|)2 -(a b)2 (点P在直线l上，直线l的方向向量|a|(15)正弦定理sin Asin B sin C=2R ( R是三角形的外接圆半径)说明：正弦定理可

19、直接进行边角转换；例15：在：ABC中，a,b,c分别是角A,B,C的对边，且 空B，求B的大小。cosC 2a+ccosB bsi nB2 二提示：B =cosC 2a+c2sin A+sinC3例16：在 MBC中，若si nC =2cos As in B，则此三角形必是 三角形（等腰）2 2 2b ' c - a22提示: c = 2cos Ab = c = 2b = a b2bc（16）余弦定理2 2 2 2 2 2 2 2 2a b c -2bccosA； bc a - 2ca cos B ； c a b -2abcosC .111（17）面积定理 Sahabhbchc（ha

20、、入、hc分别表示a、b、c边上的高）222111 Sabsi nCbcsi nAcas in B .tan v为OA,OB的夹角）222 S.oab = 2(|OA| |OB|)(OA OB)2 =2(18) 三角形内角和定理在厶ABC中，有C 兀 A + BA B C = 一： = C =二-（A B）2C =2二-2（A B）.2 2 2说明：（1）三角形具有丰富的内涵（隐含条件）i：两边之和大于第三边；ii：斜边大于直角边；iii：正（余）弦定理；iv：面积公式；v：内角和是1800 ;vi：大角对大边诚：ta nA tan B tan C = ta nA ta nB ta nC就：正

21、弦、余弦函数的单调性；锐角三角形中有： A B A - B = sinA sin（ - B）二 cos B2 2 2JEJJI钝角三角形中有（C是钝角）：A B ： A B= si nA： sin（ B）二cosB222例17：定义在R上的偶函数f（x1）-f（x），且在-3,-2上是减函数，：是锐角三 角形的两个角，则（）A f （sin）： f （cos :）B、 f （sin 二） f （cos :）C f （sin-：）f （sin ：） d 、f（cos_：）f （cos ：）（19）平面两点间的距离公式dA,B =ABL JAB AB = J（X2 X1）2 +（y2 yj2 （A

22、（N，yJ , By?）.（20）向量的平行与垂直设a=（X1,y1）,b=化小），且b = 0,则 a / b b=入 a 二 x1 y2 -x2y = 0.a - b(a =0) a b=0u x1x2 yy =0.(21) 线段的定比分公式P(x,y)是线段RB的分点，是实数，且RPPR2，则x =彳 1 + Z、， /y 二1 (22)平面向量的综合问题X/. X?OR ，0F21 、二 OR -2 二 OP=tOR (1-t)OF2 (t).1"1+ 扎向量的“双重身份”注定了它成为中学数学知识的一个重要交汇点，担当多项内容的媒介也就成了理所当然的事情，数的特性使得它与“函

23、数，三角，数列，不等式，导数”有众多的联系，成为高考中一个新的亮点。 形的特性又使它必然与 “平面几何，解析几何， 立体几何”紧密相关，以体现它的工具作用。我们应该首先做到的是具有向量语言的“翻 译”能力。即把抽象的向量语言，转换成直观的“图形语言”或者可操作的“运算形式”<一般来说，夹角问题总是从数量积入手，长度问题则从模的运算性质开始(一般需 先平方)，而共线，共点问题多由数乘向量处理。例19.设平面向量0的两个实数S,t及实31-. 3a = (,), b =(-，)，若存在不同时为2 2 2 2数 k - 0，使 x = a (t2k) b, y 二-sa t b 且 x_y。(

24、1) 求函数关系式 s = f (t)；(2) 若函数s二f (t)在1, ：)是单调函数，求k的取值范围。分析：由数量积的坐标运算，不难得出S = f (t)的解析式，含参数必引起讨论，运用“整体思想”可简化计算；f(t)在1,址)是单调函数，等价于“f'(t)o或f'(t)WO在1,址) 上恒成立”。. 3 1 13解: (1) a = (,- )，b = ( ,) , . |a|=|b| = 1,且 a b = 0，又 x_ y2 2 2 22 3.x y =0 即a (t2-k)b (-sa tb) =0 由此得： t -kt(2) f'(t) =3t2 -k，

25、又f(t)是单调函数，若 f(t)是增函数，则 f '(t) _0,恒有 3t2 _k,而t 1/:：) , 0 ：k 乞 3若f(t)是减函数，则f'(t)乞0，恒有3t2乞k,而t 1/-)，这样的k不存在 综上0 : k乞3.评析：本题覆盖了许多重要的知识点和数学思想方法，与“在知识网络交汇点设计试题” 的高考命题思想相吻合。例20、在 ABC中，AB AC = 1 , BA BC = 3，又E点在BC边上，且满足 |AB|2|BA|23 BE =2EC，以A、B为焦点的双曲线经过 C、E两点.求此双曲线的方程.分析：遇到的首要问题即“建系”和“向量语言”的解读。深刻理解向量运算的几何意义，