选修4-4坐标系与参数方程高考复习讲义

1、选修 4-4 坐标系与参数方程高考复习讲义河南省三门峡市卢氏县第一高级中学山永峰本部分是人教版教材选修模块内容，主要对极坐标的概念、点的极坐标及简单曲线的极坐标方程进行考查。对于参数方程，主要考查直线、圆与圆锥曲线参数方程的应用。参数方程是解析几何、平面向量、三角函数、圆锥曲线与方程等知识的综合应用和进一步深化，是研究曲线的工具，特别值得关注。最重要的是它是新课标全国卷三个选考模块中难度系数最高的， 明显比另两个模块简单。 估计在 2015年高考中仍是重点， 作为选考题一般难度不大， 属于明显的 “送分题” ！现整理如下，以期抛砖引玉！第一节坐标系基本知识点：基本知识点：1平面直角坐标系中的坐

2、标伸缩变换设点 P(x，y)是平面直角坐标系中的任意一点，在变换：xx，0，yy，0的作用下，点 P(x，y)对应到点 P(x，y)，称为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换2极坐标系与极坐标(1)极坐标系：如图所示，在平面内取一个定点 O，叫做极点，自极点 O 引一条射线 Ox，叫做极轴；再选定一个长度单位， 一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系(2)极坐标：设 M 是平面内一点，极点 O 与点 M 的距离|OM|叫做点 M 的极径，记为；以极轴 Ox 为始边，射线 OM 为终边的角 xOM叫做点 M 的极角，记为.有序数对(，)叫做点

3、M 的极坐标，记为M(，)不做特殊说明时，我们认为0，可取任意实数3极坐标与直角坐标的互化设 M 是坐标系平面内任意一点，它的直角坐标是(x，y)，极坐标是(，)(0)，于是极坐标与直角坐标的互化公式如下表：点 M直角坐标(x，y)极坐标(，)互化公式xcos ysin 2x2y2tan yxx04.常见曲线的极坐标方程曲线图形极坐标方程圆心在极点，半径为 r 的圆r(02)圆心为(r,0)，半径为 r 的圆2rcos_22圆心为r，2 ，半径为 r 的圆2rsin_(0)过极点，倾斜角为的直线(1)(R)或(R)(2)(0)和(0)过点(a,0)，与极轴垂直的直线cos_a22过点a，2 ，

4、 与极轴平行的直线sin_a(0)必考知识点：1在将直角坐标化为极坐标求极角时，易忽视判断点所在的象限(即角的终边的位置)2在极坐标系下，点的极坐标不惟一性易忽视注意极坐标(，)(，2k)，(，2k)(kZ)表示同一点的坐标试一试：1点 P 的直角坐标为(1， 3)，则点 P 的极坐标为_2极坐标方程sin 2cos 能表示的曲线的直角坐标方程为_1确定极坐标方程的四要素极点、极轴、长度单位、角度单位及其正方向，四者缺一不可2直角坐标(x，y)化为极坐标(，)的步骤(1)运用 x2y2，tan yx(x0)(2)在0,2)内由 tan yx(x0)求时，由直角坐标的符号特征判断点所在的象限练一

5、练：1在极坐标系中，圆心在( 2，)且过极点的圆的方程为_2已知直线的极坐标方程为sin (4)22，则极点到该直线的距离是_考点一：平面直角坐标系中的伸缩变换1.设平面上的伸缩变换的坐标表达式为x12x，y3y，则在这一坐标变换下正弦曲线 ysin x 的方程变为_2函数 ysin(2x4)经伸缩变换x2x，y12y后的解析式为_3双曲线 C：x2y2641 经过：x3x，2yy变换后所得曲线 C的焦点坐标为_类题通法： 平面图形的伸缩变换可以用坐标伸缩变换来表示 在伸缩变换xx，0yy，0下，直线仍然变成直线，抛物线仍然变成抛物线，双曲线仍然变成双曲线，圆可以变成椭圆，椭圆也可以变成圆考点

6、二：极坐标与直角坐标的互化典例1：(2013石家庄模拟)在平面直角坐标系 xOy 中，以坐标原点 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C1的极坐标方程为 3212cos 10(0)(1)求曲线 C1的直角坐标方程；(2)曲线 C2的方程为x216y241，设 P，Q 分别为曲线 C1与曲线C2上的任意一点，求|PQ|的最小值类题通法：直角坐标方程与极坐标方程的互化，关键掌握好互化公式，研究极坐标系下图形的性质可转化直角坐标系的情境进行针对训练：(2013安徽模拟)在极坐标系中，直线cos sin 10 与圆2sin 的位置关系是_考点三：极坐标方程及应用典例2(2013郑州模拟

7、)已知在直角坐标系 xOy 中， 曲线 C的参数方程为x22cos ，y2sin (为参数)，在极坐标系(与直角坐标系 xOy 取相同的长度单位，且以原点 O 为极点，以 x 轴正半轴为极轴)中，直线 l 的方程为sin(4)2 2.(1)求曲线 C 在极坐标系中的方程； (2)求直线 l 被曲线 C 截得的弦长变式： 在本例(1)的条件下， 求曲线 C 与曲线 C1： cos 3(0,0b0)xacos ybsin (为参数)1化参数方程为普通方程的方法消去参数方程中的参数，就可把参数方程化为普通方程，消去参数的常用方法有：代入消元法；加减消元法；乘除消元法；三角恒等式消元法2利用直线参数方

8、程中参数的几何意义求解问题的方法经 过 点 P(x0， y0) ， 倾 斜 角 为 的 直 线 l 的 参 数 方 程 为xx0tcos ，yy0tsin (t 为参数)若 A，B 为直线 l 上两点，其对应的参数分别为 t1，t2，线段 AB 的中点为 M，点 M 所对应的参数为 t0，则以下结论在解题中经常用到：(1)t0t1t22；(2)|PM|t0|t1t22； (3)|AB|t2t1|； (4)|PA|PB|t1t2|.练一练：1已知 P1，P2是直线x112t，y232t(t 为参数)上的两点，它们所对应的参数分别为 t1，t2，则线段 P1P2的中点到点P(1，2)的距离是_2已

9、知直线x212t，y112t(t 为参数)与圆 x2y24 相交于 B，C两点，则|BC|的值为_考点一：参数方程与普通方程的互化1.曲线x2 3cos y3 2sin (为参数)中两焦点间的距离是_2(2014西安质检)若直线 3x4ym0 与圆x1cos ，y2sin (为参数)相切，则实数 m 的值是_3(2014武汉调研)在直角坐标系 xOy 中，以原点 O 为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系已知直线xt，y 3t(t 为参数，tR)与曲线 C1：4sin 异于点 O 的交点为 A，与曲线 C2：2sin 异于点 O 的交点为 B，则|AB|_.类题通法:参数方程是以参变量为中介来

10、表示曲线上点的坐标的方程，是曲线在同一坐标系下的另一种表示形式，参数方程化为普通方程关键在于消参，消参时要注意参变量的范围考点二：参数方程的应用典例1： (2013郑州模拟)已知直线C1：x1tcos ，ytsin (t为参数)，曲线 C2：xcos ，ysin (为参数)(1)当3时，求 C1与 C2的交点坐标；(2)过坐标原点 O 作 C1的垂线，垂足为 A，P 为 OA 的中点，当变化时，求点 P 轨迹的参数方程，并指出它是什么曲线变式：在本例(1)条件下，若直线 C1：x1tcos ytsin ，(t 为参数)，与直线 C2xs，y1as(s 为参数)垂直，求 a.类题通法： 1 解决

11、直线与圆的参数方程的应用问题时一般是先化为普通方程再根据直线与圆的位置关系来解决问题2对于形如xx0at，yy0bt(t 为参数)当 a2b21 时，应先化为标准形式后才能利用 t 的几何意义解题针对训练：(2013新课标卷)已知动点 P，Q 在曲线 C：x2cos t，y2sin t(t 为参数)上，对应参数分别为 t与 t2为(02)，M 为 PQ 的中点(1)求 M 的轨迹的参数方程；(2)将 M 到坐标原点的距离 d 表示为的函数，并判断 M 的轨迹是否过坐标原点考点三：极坐标、参数方程的综合应用典例2： (2013福建高考)在平面直角坐标系中， 以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极

12、轴建立极坐标系已知点 A 的极坐标为2，4 ，直线 l 的极坐标方程为cos4 a，且点 A 在直线 l 上(1)求 a 的值及直线 l 的直角坐标方程；(2)圆 C 的参数方程为x1cos ，ysin (为参数)，试判断直线 l 与圆 C 的位置关系类题通法：涉及参数方程和极坐标方程的综合题，求解的一般方法是分别化为普通方程和直角坐标方程后求解当然，还要结合题目本身特点，确定选择何种方程针对训练： (2013石家庄质检)已知 P 为半圆 C：xcos ，ysin (为参数，0)上的点，点 A 的坐标为(1,0)，O 为坐标原点，点 M在射线 OP 上，线段 OM 与半圆 C 的弧AP的长度均

13、为3.(1)以 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求点 M 的极坐标；(2)求直线 AM 的参数方程选修 4-4 坐标系与参数方程专题训练12014天津卷 在以 O 为极点的极坐标系中，圆4sin和直线sina 相交于 A，B 两点若AOB 是等边三角形，则 a的值为_22014安徽卷 以平面直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系中取相同的长度单位已知直线 l 的参数方程是xt1，yt3(t 为参数)， 圆 C 的极坐标方程是4cos，则直线 l 被圆 C 截得的弦长为()A. 14B2 14C. 2D2 232014北京卷 曲线x1cos，y2si

14、n(为参数)的对称中心()A在直线 y2x 上B在直线 y2x 上C在直线 yx1 上D在直线 yx1 上4 2014福建卷 ()选修 44：坐标系与参数方程已知直线 l 的参数方程为xa2t，y4t(t 为参数)，圆 C 的参数方程为x4cos，y4sin(为参数)(1)求直线 l 和圆 C 的普通方程；(2)若直线 l 与圆 C 有公共点，求实数 a 的取值范围52014广东卷 (坐标系与参数方程选做题)在极坐标系中，曲线 C1和 C2的方程分别为sin2cos和sin1.以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为 x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，则曲线 C1和 C2交点的直角坐标为_620

15、14湖北卷 (选修 44：坐标系与参数方程)已知曲线 C1的参数方程是x t，y3t3(t 为参数) 以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C2的极坐标方程是2，则C1与 C2交点的直角坐标为_72014湖南卷 在平面直角坐标系中，倾斜角为4的直线 l 与曲线 C：x2cos，y1sin(为参数)交于 A，B 两点，且|AB|2.以坐标原点 O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，则直线 l 的极坐标方程是_82014江西卷 (2)(坐标系与参数方程选做题)若以直角坐标系的原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，则线段 y1x(0 x1)的极坐标方程为()A1c

16、ossin， 02B1cossin， 04Ccossin， 02Dcossin， 0492014辽宁卷 选修 44：坐标系与参数方程将圆 x2y21 上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2 倍，得曲线 C.(1)写出 C 的参数方程； (2)设直线 l：2xy20 与 C 的交点为 P1，P2，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求过线段 P1P2的中点且与 l 垂直的直线的极坐标方程102014新课标全国卷 选修 44：坐标系与参数方程已知曲线 C：x24y291，直线 l：x2t，y22t(t 为参数)(1)写出曲线 C 的参数方程，直线 l 的普通方程；(2)过曲线

17、C 上任意一点 P 作与l 夹角为 30的直线， 交 l 于点 A，求|PA|的最大值与最小值112014新课标全国卷 选修 44：坐标系与参数方程在直角坐标系 xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，半圆 C 的极坐标方程为2cos，0，2.(1)求 C 的参数方程；(2)设点 D 在 C 上，C 在 D 处的切线与直线 l：y 3x2 垂直，根据(1)中你得到的参数方程，确定 D 的坐标12 2014陕西卷 C(坐标系与参数方程选做题)在极坐标系中，点2，6 到直线sin6 1 的距离是_132014浙江卷 (1)在极坐标系 Ox 中，设集合 A(，)|04，0cos

18、，求集合 A 所表示区域的面积；(2)在直角坐标系 xOy 中，直线 l：x4tcos4，ytsin4(t 为参数)，曲线 C：xacos，y2sin(为参数)，其中 a0.若曲线 C 上所有点均在直线 l 的右下方，求 a 的取值范围14 2014重庆卷 已知直线l的参数方程为x2t，y3t(t为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C 的极坐标方程为sin24cos0(0， 02)， 则直线 l 与曲线 C的公共点的极径_2015 年高考预测题年高考预测题1 2014长沙模拟 已知点 P 所在曲线的极坐标方程为2cos，点 Q 所在曲线的参数方程为x1t，y42

19、t(t 为参数)，则|PQ|的最小值是()A2B.4551C1D.455122014株洲模拟 在直角坐标系 xOy 中，曲线 C1的参数方程为x2cos，y 3sin(为参数)在极坐标系(与直角坐标系 xOy 取相同的长度单位，且以原点 O 为极点，以 x 轴的正半轴为极轴)中，直线 C2的方程为(cossin)10，则曲线 C1与 C2的交点的个数为_32014湖南长郡中学月考 在极坐标系中，圆 C1的方程为42cos4 ，以极点为坐标原点，极轴为 x 轴的正半轴建立平面直角坐标系，已知圆 C2的参数方程为x1acos，y1asin(a0，为参数)若圆 C1与圆 C2外切，则实数 a_420

20、14衡阳模拟 已知曲线 C 的极坐标方程为4cos.若以极点为原点， 极轴为 x 轴的正半轴建立平面直角坐标系， 则曲线 C 的参数方程为_52014湖南雅礼中学月考 已知极坐标系下曲线4sin表示圆，则点 A4，6 到圆心的距离为_62014湖南十三校联考 以直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系已知直线 l 的参数方程为xt，yta(t 为参数)，圆 C 的极坐标方程为2cos，若直线 l 经过圆 C 的圆心，则常数 a 的值为_7 2014湖南师大附中月考 在极坐标系中， 已知点 A 的极坐标为(2，)，直线 l 的极坐标方程为sin4 2，则点 A 到直线 l的距离是

21、_第一节坐标系参考答案1.2，32.x2y22xy0练习 1：解析：如图，O 为极点，OB 为直径，A(，)，则ABO90，OB2 2sin90，化简得2 2cos .2.22考点一：1.y3sin 2x2.y12sin(x4)3.x29y2161 为曲线 C的方程，焦点 F1(5,0)，F2(5,0)为所求考点二：例:1.(1)曲线 C1的方程 (x2)2y223.(2)|QC1|min2 63，所以|PQ|min63.练习：相交例 2：解(1)由已知得，曲线 C 的普通方程为(x2)2y24，即 x2y24x0，化为极坐标方程是4cos .(2) 由 题 意 知 ， 直 线 l 的 直 角

22、 坐 标 方 程 为 x y 4 0 ， 由x2y24x0，xy4，得直线 l 与曲线 C 的交点坐标为(2,2)，(4,0)，所以所求弦长为 2 2.变式：由曲线 C，C1极坐标方程联立cos 3，4cos ，cos234，cos 32，又0，0，2)cos 32，6，2 3，故交点极坐标为2 3，6 .训练： 6cos 在直角坐标系中表示圆心为(3,0)，半径为 3的圆过圆心且垂直于x轴的直线方程为x3，其在极坐标系下的方程为cos 3.第二节参数方程与极坐标参考答案练习 1.D2.线段练习 1：由 t 的几何意义可知，线段 P1P2的中点对应的参数为t1t22，P 对应的参数为 t0，线

23、段 P1P2的中点到点 P 的距离为|t1t2|2.2. 14考点一：1.2 62.0 或 103. 3例 1： (1) (1,0)，12，32 .(2)依题意， C1的普通方程为 xsinycos sin 0，则 A 点的坐标为(sin2，sin cos )，故当变化时，P 点轨迹的参数方程为x12sin2，y12sin cos (为参数)，点 P 轨迹的普通方程为(x14)2y2116.故点 P 的轨迹是圆心为(14，0)，半径为14的圆变式：由(1)知 C1的普通方程为 y 3(x1)，C2的普通方程为 y1ax，由两线垂直得a 31，故 a33.训练：(1)依题意有 P(2cos ，2sin )，Q(2cos 2，2sin 2), 因此M(cos cos2，sin sin2)M 的轨迹的参数方程为xcos cos 2，ysinsin 2(为参数，02)(2)M 点到坐标原点的距离 d x2y2 22cos (02)当时，d0，故 M 的轨迹过坐标原点例 2：(1)由点 A2，4 在直线cos4 a 上，可得 a 2.所以直线 l 的方程可化为cos sin 2，从而直线 l 的直角坐标方程为 xy20.(2)由已知得圆 C 的直角坐标方程为(x1)2y21，所以圆 C 的圆心为(1,0)， 半径 r1， 因为圆心 C 到直线