虚功原理及其应用

1、编辑ppt对于理想约束体系对于理想约束体系 iiirR0 iiiziiyiixzFyFxF0)( W 0 iiirF 受有受有理想约束的理想约束的力学体系，其平衡的充要条件是此力学力学体系，其平衡的充要条件是此力学体系的体系的所有主动力所有主动力在在任意虚位移任意虚位移中所作中所作元功之和等于零元功之和等于零 .虚功原理虚功原理: :正是虚位移的引入正是虚位移的引入消去这些约束反力消去这些约束反力优点：消去约束反力，可由虚功原理求出主动力在优点：消去约束反力，可由虚功原理求出主动力在平衡时所满足的平衡条件。平衡时所满足的平衡条件。编辑ppt01 niiiziiyiixzFyFxF)( W 01

2、 iinirF zyx ,不是独立的不是独立的上式上式如果是独立变化的如果是独立变化的，则则0 iziyixFFF但是体系受但是体系受 k个几何约束个几何约束 W 0 iiirF 不好用！不好用！zyx ,编辑pptn个质点组成的力学体系，受个质点组成的力学体系，受k个几何约束，此体系自个几何约束，此体系自由度为由度为 3n-k, 其位形由其位形由 s=3n-k 个互相独立的广义坐标个互相独立的广义坐标 qi (i=1,2,s)来描述，即：来描述，即：),(tqqqrrsii21 ),(),(),(tqqqzztqqqyytqqqxxsiisiisii2121213、广义坐标形式下的虚功原理、

3、广义坐标形式下的虚功原理编辑ppt体系的位形可表示为：体系的位形可表示为：),(21tqqqrrsii；虚位移用广义；虚位移用广义坐标的表示式为：坐标的表示式为： skkkissiiiiqqrqqrqqrqqrr12211 代入虚功原理：代入虚功原理：1siikikkrWFqq定义定义 广义力广义力： NikiikqrFQ101 ikkiiqqrF )( s1k编辑ppt0kkkWQq对于完整力学体系来说，对于完整力学体系来说， 由于由于 kq是独立变分是独立变分(互相独立的互相独立的)，故，故: ) , , ,( skQk210 说明：说明： 广义力广义力 是广义坐标是广义坐标 qk 的函数

4、的函数 ，由定义得：，由定义得： kQ0qQW可知：可知： 00kQQ0 kQ零矢量。即量都正交的矢量一定是任意的，故和任意矢正交，但由于虚位移是广义坐标下虚功原理的表达式广义坐标下虚功原理的表达式 niniiiziiyiixiikqzFqyFqxFqrFQ11)( 平衡条件平衡条件编辑ppt虚功原理是分析力学的基本原理，仅对惯性系成立虚功原理是分析力学的基本原理，仅对惯性系成立;理想约束理想约束理想约束概念是分析力学的基本假设，是从客观实践中抽象理想约束概念是分析力学的基本假设，是从客观实践中抽象出来的。例如光滑约束，刚性约束等都是理想约束。出来的。例如光滑约束，刚性约束等都是理想约束。此假

5、设不仅运用于静力学，对动力学同样成立。此假设不仅运用于静力学，对动力学同样成立。对于保守力学系统：对于保守力学系统：)(kzVjyVixViii VFii 11NiiiNiiiiiiiWFrVVV(xyz )xyz VVii 编辑ppt如果用广义坐标来表示如果用广义坐标来表示 V , 即：即： ),(sqqqVV21 skkkssqqVqqVqqVqqVV12211 0WV 0kkkVWVqq 保守力学体系平衡条件为：保守力学体系平衡条件为： 0V 由此得保守体系广义力：由此得保守体系广义力：kkVQq 0kkkWQq结 合 ：编辑ppt虚功原理虚功原理一个受一个受理想、定常、完整理想、定常、

6、完整（几何）（几何）约束的力学体系，其平衡的充分必要条件是：约束的力学体系，其平衡的充分必要条件是：作作用于质点系的所有主动力在任何虚位移中所作的用于质点系的所有主动力在任何虚位移中所作的虚功的和等于零虚功的和等于零。总结：总结：虚功原理表示式：虚功原理表示式： W 0 iiirF 0kkkWQq引用广义坐标和定义广义力：引用广义坐标和定义广义力：对于保守力学体系：对于保守力学体系：0WV 编辑ppt保守力学系统：保守力学系统： 0ikiikrQFq ( 1 , 2, , )ks质点系平衡的必要与充分条件是：质点系平衡的必要与充分条件是：系统中所有广义力都等于零。系统中所有广义力都等于零。 保

7、守力学系统处于平衡位形的充要条件：保守力学系统处于平衡位形的充要条件：势能函数对每个广义坐标的偏导数都等于零，势能函数对每个广义坐标的偏导数都等于零，或者势能在平衡位置取驻值。或者势能在平衡位置取驻值。力学系统平衡条件力学系统平衡条件0V 编辑ppt求力学系统平衡条件下广义力的几种方法求力学系统平衡条件下广义力的几种方法a、定义：、定义： ikiikqrFQb、虚功原理：、虚功原理： ikkkiiqQrFW0 c、保守力学系统：、保守力学系统： kkqVQ ) , , ,( skQk210 编辑pptxyR例例1:求套在铅直平面内光滑圆环上、质量为求套在铅直平面内光滑圆环上、质量为m的小珠的平

8、衡位置。的小珠的平衡位置。 解：自由度为解：自由度为1，取，取 q方法一：方法一： 主动力：主动力： yFmg 有用坐标：有用坐标： sinRy zFyFxFQzyx ikiikqrFQ0 cos mgR 2 编辑ppt方法二：因体系是保守系，取原点势能为零，则体系势能函数为方法二：因体系是保守系，取原点势能为零，则体系势能函数为： sinmgRmgyV 20 cosmgRVQ编辑ppt应用虚功原理求系统平衡条件的解题步骤应用虚功原理求系统平衡条件的解题步骤a、明确系统的约束类型，看是否满足虚功原理所要求的条件；、明确系统的约束类型，看是否满足虚功原理所要求的条件；b、确定系统的自由度，选取合

9、适的广义坐标，、确定系统的自由度，选取合适的广义坐标， c、建立坐标系，分析并图示系统受到的所有主动力；、建立坐标系，分析并图示系统受到的所有主动力； 并用广义坐标表示力作用点的并用广义坐标表示力作用点的有用坐标，即：有用坐标，即：将将 表示为广表示为广义坐标义坐标qk (k=1,2,s) 的函数，并求出：的函数，并求出： u 如果求某一约束力如果求某一约束力, ,则可把其划入主动力则可把其划入主动力, ,不再考虑不再考虑这一约束这一约束, ,但其它约束必须是理想约束。但其它约束必须是理想约束。iiizyx,d、应用虚功原理列出平衡方程，由广义力等于零求出平衡条件。应用虚功原理列出平衡方程，由

10、广义力等于零求出平衡条件。ir编辑ppt例例2半径为半径为r的光滑半球形碗，固定在平面上。一均匀的光滑半球形碗，固定在平面上。一均匀棒斜靠在碗缘，一端在碗内，一端在碗外，在碗内棒斜靠在碗缘，一端在碗内，一端在碗外，在碗内的长度为的长度为c，试证棒的全长为，试证棒的全长为 ：crc)2(422解：解：1个自由度个自由度q 取取设棒的设棒的质心坐标质心坐标为为:(xD, yD)yxomgr 编辑ppt(/2)sinDycl i0iDiWFrmg y (2 cos/2)sin ( sin2/2sin )(2 cos2cos )2Dyrlrllr 2 coscr 224(2)crlc (2 cos2c

11、os )02lmgr 2 cos2cos2lr Q(2 cos)sin 22 cos2cos20iiikDrQFqlrym gm glryxomgr 编辑ppt例3解解 ：自由度数为自由度数为1 qsinsin21rlrx120sinsin232xrlrxcos2coscoscos321rarlyrlyrly编辑pptsin2sinsinsin321rrlyrlyrly重力是主动力重力是主动力由虚功原理由虚功原理: 01iniirF0sin2sinsinsin0332211rrlrlrlyPyPyP 12编辑ppt因因在约束条件下是任意的，要使上式成立，必须有：在约束条件下是任意的，要使上式成

12、立，必须有：0sin2sin3rrlsin3sin2rlr又由又由 coscos21rlrx得得： coscos2rlr由由可得：可得：tan3tansinsin21rlrx编辑ppt例例4 4：如下图示，已知：如下图示，已知P P、l l，求：轻杆所受的力？，求：轻杆所受的力？解：自由度为解：自由度为1 1，广义坐标取为，广义坐标取为 , ,体系所受体系所受主动力如图所示，有用坐标为：主动力如图所示，有用坐标为：sinDxl cosEyl xyBDCA 4PETD iiirF W由虚功原理：由虚功原理：sinBxl 40BDET xT xP y 编辑ppt40BDET xT xP y cos

13、Bxl coscos4sin0TlTlpl cosDxl sinEyl 2Tptg (2cos4sin)0Tlpl 编辑pptsinDxl cosEyl sincoscoscos)sin(PlTlTlTllPxTxTyPrFQBDEinii42441 由广义坐标表示的虚功原理可知，由广义坐标表示的虚功原理可知，体系平衡条件为：广义力为零体系平衡条件为：广义力为零. .所以：所以：2Tptg 由定义求：广义力由定义求：广义力sinBxl 编辑ppt解：解：两个自由度两个自由度21qqyx o12ABFp1p21111（x ,yx ,y ）2 22 2（x x , ,y y ）3 33 3（x x

14、 , ,y y ）编辑ppt112123121sin21sinsin2coscosxlxllyll 111cos2xl 2121coscos2xll 312sinsinyll yx o12ABFp1p21111（x ,yx ,y ）2 22 2（x x , ,y y ）3 33 3（x x , ,y y ）编辑ppt112 112 2211coscossincossin022PlPlF lPlF l 122222PPtgFPtgF 广义力广义力Q1广义力广义力Q2由虚功原理由虚功原理112230P xP xF y编辑ppt应用虚功原理求系统平衡条件的解题步骤应用虚功原理求系统平衡条件的解题步骤

15、a、明确系统的约束类型，看是否满足虚功原理所要求的条件；、明确系统的约束类型，看是否满足虚功原理所要求的条件；b、确定系统的自由度，选取合适的广义坐标，、确定系统的自由度，选取合适的广义坐标， c、建立坐标系，分析并图示系统受到的所有主动力；、建立坐标系，分析并图示系统受到的所有主动力； 并用广义坐标表示力作用点的并用广义坐标表示力作用点的有用坐标，即：有用坐标，即：将将 表示为广表示为广义坐标义坐标qk (k=1,2,s) 的函数，并求出：的函数，并求出： u 如果求某一约束力如果求某一约束力, ,则可把其划入主动力则可把其划入主动力, ,不再考虑不再考虑这一约束这一约束, ,但其它约束必须

16、是理想约束。但其它约束必须是理想约束。iiizyx,d、应用虚功原理列出平衡方程，由广义力等于零求出平衡条件。应用虚功原理列出平衡方程，由广义力等于零求出平衡条件。ir编辑ppt例例5:5: 图示椭圆规机构图示椭圆规机构,连杆连杆A、B长为长为l,，杆重和摩擦力不计，试，杆重和摩擦力不计，试求求:在图示位置平衡时主动力在图示位置平衡时主动力FA和和FB之间的关系。之间的关系。coslxBlsinyA0BBAAxFyF解：解：sinlxBlcosyA xyO BFAF rB rAtan:BAFF则编辑ppt例例6:6:已知各杆长均为已知各杆长均为L L，重为，重为W W , ,试求维持平衡所需力

17、试求维持平衡所需力F F 的大小的大小? ?0)(iiyiixyFxF0)cos4sin4(FLWL解：解：0不不计计摩摩擦擦W2W2W2W2Fxy12345tanWF 自由度：1,cos24321Lyyyysin21Lysin45Lx cos45Lx 5142xFyWQ或广义力平衡条件：n1ijiizjiiyjiixjqzFqyFqxFQ0cos4sin4FLWLtanWF 选为广义坐标编辑ppt例例7 7、图示平面缓冲机构图示平面缓冲机构, ,各杆的重量和摩擦不记各杆的重量和摩擦不记, ,弹簧弹簧原长为原长为l, ,刚性系数为刚性系数为k. .求求: :平衡的位置平衡的位置解：解：,)sin2(21)cos2(2lkhlPV,V0 , 0sincos4sin22klPl, 0, 0sin1,2