利用常数分离法解决一类恒成立问题教案

1、利用常数分离法解决一类恒成立问题 瓯海二高 翁德旺教学目标：1会求三次函数的导数，如，则 ；2会求函数形如在给定区间上的最值；3会用基本不等式：.教学重、难点：重点：利用常数分离法解决含一个参数的二次函数恒成立问题；难点：如何解决形如：或的问题.教学过程：一、引入：1通过这两年的高考样卷和一些模拟卷，发现解答题中通常会出现有关恒成立的问题，恒成立问题类型很多,这节课来研究其中一类恒成立问题的解法。（引出课题）二、新课：基础自测:引例.已知是上的单调递增函数，则的取值范围是（ ） 设置说明：(1)已知单调性可得出，学生的可能错误是，又是导函数在上恒大于等于O，也是恒成立问题）(2)通过学生对在上

2、恒成立问题的解法讨论，学生的可能解法有: 解法2：记，求其最小值大于等于0即可。可以通过配方法或求导来求出在上的最小值.（3）通过对以上解法的更正（也许学生讨论会有不周到之处），追问学生是否有不对a进行讨论的方法？可以让学生回答或教师得出本堂课要学习的方法: 常数分离法。（4）通过对以上这几种方法的对比，得出常数分离法的优点，引起学生的学习兴趣。（5）对该引例进行小结：若在上递增在上恒成立；使用基本不等式需满足：“一正、二定、三相等”。典例剖析：例1已知函数的导函数为，.（1）若对一切恒成立，求实数的取值范围；（2）若对满足的一切的值，都有，求实数的取值范围.解：（1） 即对一切恒成立 学生回

3、答：解法1：即对一切恒成立 记在上恒成立有在上恒大于0，即在上单调递增 可能的陷阱：学生会回答用基本不等式去解决，利用基本不等式解决时要注意适用的条件：“一正、二定、三相等、四检验”会发现取不到等号。另解：由几何画析给出的图象，知在上为增函数，所以及，变式1：若对一切恒成立，求实数的取值范围；解：即对一切恒成立 记当且仅当即时，于 另解：由几何画析给出的图象，知在上为增函数，在上为减函数，所以及，变式2：若对一切恒成立，求实数的取值范围；解：若则恒成立， 若同变式1 若则 综上所述：（学生思考回答，若有错误由学生纠正，在下结论时，也许学生会回答将以上三种情况用集合并起来，这里要重点指出，应该是

4、用集合交起来）（3）即对一切恒成立同变式2的解法：若，则不满足 若，则对一切恒成立若，则对一切恒成立 综上所述：另解：可以用改换变量的方法去考虑，这样会更加简便，即把看作关于a的一次函数，这样就得出：三、随堂练习：已知函数,.若对任意的都有，求实数的取值范围.解：即 若，则恒成立， 若，则，综上所述：四、课堂小结1用分离常数法转化为形如：形如：或的问题；2可能出现的错误：（1）变形 （2）基本不等式五、课后作业：设函数，其中常数.（1）当时，求函数的单调区间；（2）若时，恒成立，求实数的取值范围。教后反思：设计本堂课的出发点有两个：一是要与课题研究相关，体现陷阱导学稿的作用，二是要与高三现阶段

5、的二轮复习相呼应。参考了这两年的高考样卷与一些模拟卷，大题中经常会出现恒成立问题，学生对这类问题的解决能力还有待加强。因此，设计了本节课的主线是以三次函数为研究对象，经过求导变为二次函数的恒成立问题，再用分离常数法转化为形如：或的恒成立问题，而解决这类问题的实质是求的最值问题。具体过程是以基础自测这个问题出发：通过对学生的多种解法进行比较，得出使用分离常数法的优点，对于分离后常数a的另一边是形如的函数的最值问题，通过基本不等式或利用导数或观察图象等方法进行求值。学生可能会出现的错误为：函数单调递增得出其导数大于等于0，使用基本不等式时，没有对等号进行检验，变形时未注意是否变号？例子（1）中设置变式的目的是：一个是提醒学生变形时要注意是否变号，另一个是通过使用基本不等式时，有时取到等号