利用子集解题(原创)

1、利用子集解题(原创)深圳市龙城高级中学 刘楚元 518172高一的学生在初学集合时，会遇到一些困难；从集合的概念到集合的交集、并集、补集等运算，由于概念多、符号多、运算多，还要对文字语言、符号语言、图形语言进行等价转换，使得学生在对概念的理解、运用，做题的书写格式等方面不知所措.究其原因，一是学生从初中到高中后，数学的内容、知识结构发生了较大变化，使学生一下难易适应；二是学生没能抓住重点，把重点攻克了其它的就自然不攻自破.在学习集合的过程中，笔者认为“子集”的概念是个关键内容.归纳起来，在集合的交集、并集、补集等运算中，多数与“子集”有关且往往较易出错而困扰一些学生。现将有关“子集”的知识点和

2、题型归纳出来，希望对同学们有所帮助.一、集合中“子集”的定义如果集合的任意一个元素都是集合的元素（若则），那么集合称为集合的子集（subset），记为或，读作“集合包含于集合”或“集合包含集合”.如果，并且那么集合称为集合的真子集（proper set），记为或，读作“集合真包含于集合”或“集合真包含集合”,如二、有关“子集”的一些结论（1）根据子集、真子集的定义知，当时，则A=B或AB.因此有：任何一个集合是它本身的子集,即.（2）若且,则反之也成立.（3）ABA, ABB.（4）（AB）A,（AB）B.（5）A（AB）,B（AB），（AB）（AB）.（5）如果，那么( 7) 设,是在A中的

3、补集,则有（）. (8 )规定：空集是任何集合的子集，即.(9) 规定：空集是任何非空集合的真子集，即(10)含有个元素的集合，它的子集个数为个，真子集的个数为（）个，非空的真子集的个数为（）个.三、涉及“子集”的基本题型基本的解题思路是：利用上述结论把交集、并集、补集等关系转化为子集的关系，即集合之间的包含关系；这种包含关系化为元素与集合的属于关系或化为两集合中元素范围的比较（即化为不等式组求解）.要结合文恩图、数轴或相应的图形等求解.特别要注意的，当用区间表示含有字母的集合时，要讨论集合有可能是空集，因为空集是任何集合的子集，必须要研究这种情况.在下结论前要先进行检验，才能得出正确的结果.

4、、集合中的元素“例举”出来且有限：常规解法：利用子集的包含关系，化为一个集合的元素属于另一个集合，列出方程（方程组）求解.注意：可能有多种情况，要检验后作出结论.例1、已知集合，若，求实数m的值.解：因为，即集合B中的元素都是集合A中的元素，观察知有两种可能：（1），则；（2）解得2.而当时，集合B中出现相同的元素与集合中的元素互异矛盾，故舍去. 所以：m的值是例2、已知集合，若AB = A，求实数的值.解：因为AB = A，所以：，即集合B中的元素都是集合A中的元素，观察知有三种可能：或或解得:经检验知：注：以上两题都要分几种情况讨论, 例2中的并集化为子集求解.、集合中的元素用已知不等式“

5、描述”出来且无限： 常规解法：利用子集的包含关系，化为不等式端点值的大小关系式，列出不等式（不等式组）求解.注意：两端点处是否相等，结合数轴或检验后作出结论.例3、设集合，且，则实数k的取值范围.解：因为是已知非空，是不确定，且，利用子集的定义，在数轴上比较端点有：，经检验得实数k的取值范围是：注：本题中由子集的定义知结论中的等号经检验知可以取到.例4、已知集合，若AB=A，求实数a的取值范围.解：因为是已知非空，是不确定，因为AB=A，所以：， 利用子集的定义，在数轴上比较端点有： 经检验得实数的取值范围是：注：本题中的交集化为子集求解.由子集的定义知结论中的等号经检验知不能取到.例5、已知

6、集合，且，求实数a的取值范围.解：因为是已知且非空，是未知，且，是成立的. 当时，解得：当时，由及结合数轴知：解得：综合知实数a的取值范围是：注：本题中有两点要注意：用不等式或区间表示的集合可能是空集容易忽视；空集是任何非空集合的真子集. 、集合的元素用方程“描述”，且含有字母：常规解法：利用“空集是任何集合的子集”，首先考虑不确定的集合可能是空集，再考虑不是空集的情况.例6、设集合若，求实数的值。解：由，知当时， 当时， 当时，综上知：注：本题中的集合至多有一个根，学生往往会忘记.例7、设集合（1）若AB=B,求实数a的取值范围.（2）若AB=B,求实数a的取值范围.解：（1） 由，AB=B

7、, 知.则因为中的方程是二次式，所以要用到有实根的判别式.当时，方程无实数根，解得：当时，方程实数根是2，解得：当时，方程实数根是0，解得：当时，方程实数根是0，2，解得：综上知实数a的取值范围是：注：本题中的集合至多有两个根，且，是确定的，所以要考虑，学生往往会忘记. （2）由AB=B, 知.因为中至多有两个元素，即1，2是方程两个实数根，由韦达定理知：解得：注：本题中的集合至多有两个根，因，是确定的，所以中必有两个元素，且，不必考虑这种情况。与（1）比较从中加以区别.、集合的元素用不等式、方程“描述”且涉及到函数定义域等问题.常规解法：一般要转化为函数处理，根据自己的定义和结合图像解题.例

8、8、设集合若，求实数k的取值范围.解： 由已知得：,中的元素事实上就是函数的定义域， 即不等式的解集非空且是A的子集.设函数，结合图像知： 解得：注：本题中若把改为，结合图像知只需有解得：函数的定义域非空，所以本题中不考虑空集的情况. 一般的，涉及到本题类似的问题构造二次函数后要从四个方面考虑约束条件:开口方向，对称轴位置，判别式的正负，端点值的正负. 四、巩固练习1、设集合A = 3，0，1，B = t2t + 1 ，若AB = A，则t = . 2、已知，则满足条件的集合A的个数为_.3、设集合A=1,3,2m-1, B=3,m2，若BA，则实数m .4、求适合条件的集合A.5、设集合A=xx2-3x+20, B=xx2-ax+a-1=0,且ABA,求a的值.6、设集合，求集合M的非空真子集.7、设集合A=2,5, B=xx2+px+q0,且ABA.（1）若AB，求实数p，q.(2)求实数p，q满足的条件.8、设A=xa1xa2, B=x3x5，求能使BA成立的实数a的取值范围.9、已知集合，若则实数的取值范围是，求的值. 1