有界闭区域中连续函数的性质讨论及推广

1、精选优质文档-倾情为你奉上摘要闭区间在实数系是紧致的，闭区间上的连续函数具有许多优良的整体性质。例如有界性、最值性、介值性及一致连续性。开区间或半开区间是非紧致的,其上的连续函数就未必具有上述性质。本论文从连续函数在不同区间上的性质，分别讨论连续函数的局部性质、在闭区间上的性质、以及一般区间上三方面内容；同时还要讨论连续函数在闭区间上的性质和应用。由上述连续函数在闭区间和局部区间的性质由此推广到一般区间上的相关定理及性质的证明，讨论一般性区间上的连续函数性质，连续函数的性质，主要从连续函数在区间上的几乎处处可积和可微性；同时讨论其复合函数、导函数的证明其是否成立，以及极限的存在；本文还讨论一致

2、连续函数，本论文作为闭区间上连续函数性质的应用,补充一些相应的条件,将上述性质逐一地推广到开或半开区间。关键词:连续函数，有界性，最值性，闭区间，开区间，极限AbstractClosed interval in the real number system is compact, continuous function on a closed interval has many excellent overall properties. For example, the value of boundedness and uniform continuity, intermediate valu

3、e. Open interval or half open interval is non compact, continuous function on which it may not have the above properties. This paper from the continuous function in different section properties,respectively discuss local properties, continuous function in closed interval properties, as well as the g

4、eneral interval of three aspects; At the same time also discussed the properties and application of continuous function in the closed interval. By the continuous function in closed interval and the local properties of interval which is extended to the general interval correlation theorem and propert

5、ies, discuss the general properties of continuous functions on the interval, the properties of continuous function, mainly from the continuous function on the interval. Almost everywhere Integrability and differentiability . At the same time we prove that the composite function, guiding function whe

6、ther it was established, and the existence of a limit . This paper also discusses the uniformly continuous function, this paper use as continuous function on a closed interval properties, additional conditions, the properties one by one extension to open or semi open interval.Key Words：Continuous fu

7、nction, Boundedness, The value, The closed interval, The interval, Limit 专心-专注-专业前言根据现在国内的情况来看，关于连续函数的性质研究的文献并不多，而且其中的很多文献也只是在连续函数性质上的一两点的拓展；并且在实数范围内，没有把连续函数的定义，等价定义，基本性质等一些相关定理，进行系统的研究总结形成相对完整的体系。在进入21世纪后，随着计算机高度的普及，数学也面临着一次深刻的改革，如何能够把握时机，来抓住历史的机遇，如何能够在以后的世界里发挥更重大的作用，因此我们应该在已经研究出来的这些基础之上，结合在实数范围内的连

8、续函数的性质，以及定理研究，再加上完整的透彻，这样就能进行更好的拓展和推广，从而将它应用到其他的学科和生产实践之中去。在生活中，连续函数要在整个区间上连续的情况很少，而大多的函数是不连续的；事实上，很多的不连续函数是可以分解成一些半连续的函数，欲研究现实生活中的现象，必须把连续的条件进行一个放松，这样对研究连续函数就非常的有实用价值了。连续函数是分析研究学中的一个至关重要的一个概念，对连续函数的研究将可能提供能解决其他问题的新方法，通过对分析学内容的完善，将会使数学这样如此抽象的一个系统变得更加的完善和严谨。其次，连续函数在物理学，计算机科学，拓扑学以及生物系统的研究中都存在着广泛的应用，故对

9、连续函数的性质的研究是推动其他学科的进步的动力。本论文会从连续函数在不同区间上存在的性质， 分别得对连续函数在局部中、闭区间上的性质以及在一般区间上这三方面进行讨论；连续函数的局部性质主要有保号性、局部有界性，以及复合函数性质和四则运算性质及其应用；与此同时，我们还要对连续函数在闭区间上的性质和应用进行相应的讨论，而且通过对连续函数有界性定理和最值定理，零点定理、介值定理的证明可以推导得到，在闭区间上函数的连续性在该区间上有界，在闭区间上的函数在连续区间内必取得介于最小值与最大值之间的任何值的推论；根据上述连续函数在闭区间和局部区间的性质可以推广到一般区间上的相关定理及性质的证明，对

10、于一般性区间上的连续函数性质的讨论，如果在不同一般区间上的有界性定理和最值定理及介值定理的证明；我们对连续函数的性质讨论，主要是从连续函数在区间上的几乎处处可积和可微性；同时对它的复合函数、导函数的证明其是否成立进行讨论；本论文还对连续函数的一致连续性进行讨论，即一致连续函数的的定义及证明，包括一致函数的几种运算性质，如通过加减乘除以后的函数是否仍是一致连续以及对复合函数的一致连续性的证明。本论文的研究增加了我们抽象思维能力、分析问题及解决问题的能力。对我们综合素质的提高起到了很大的帮助。第一章 有界闭区域中连续函数的性质有界闭区域上的连续函数具有一些重要的性质，例如有界性、取得最大值与最小值

11、及介值性定理。这些性质是开区间上的连续函数不一定具有的，现在我们来讨论一下有界闭区域中连续函数的性质。1.1连续函数的定义在本节中，我们讨论一下连续函数的连续性性质。函数连续与否的概念就是对函数图像的直观分析。比如，函数的图像是一条向上的抛物线，图中的各个点相互“连结”而不出现“间断”，这就构成了“连续”曲线的外观。然而函数的图像（如图1.1）直观的告诉我们，它的“连续性”在处遭到了破坏，也就是这一点出现了“间断”。定义1.1.1设函数在点的某个领域中有定义，且成立，则函数在点连续，或称是函数的连续点。“函数在连续”可用“方式”表述为：，:.定义1.1.2若函数在区间上的每一点都存在连续性，则

12、称函数在开区间上是连续的。例1.1.2 函数在区间（0,1）连续。证：设是（0,1）中任意一点，欲求，使得当将不等式左边放大，加上条件，于是，从而取，当时，因此在（0,1）连续。定义1.1.3 若，则函数在左连续；若，则函数在右连续。可表述为：，：；可表述为：，：.定义1.1.4 若函数在开区间上连续，并且在左端点处右连续，在右断点处左连续，则称函数在闭区间上是连续的。证：设任意一点，令，当时，因此 .所以，取，当时，有，即在（0,1）上连续.考虑区间的端点，对于任意给定的，取，当时，；当时，.说明在右连续，在左连续。由此得出在闭区间（0,1）上连续。1.2连续函数的性质1.2.1有界性定理如

13、函数在闭区间上是连续的，则其必在上有界。证： .若在上是无界的，可将均分为两个小区间, 与,，则至少在其中之一上无界，将它记为,;再将闭区间,等分为两个小区间,与,同样的道理至少在其中之一上无界，将它记为,，······.按照这样的步骤一直做下去，便能得到一个闭区间套,即在其中任何一个闭区间,上都是无界的.根据闭区间套定理得知，存在一个唯一的实数点属于任意的闭区间,，并且=.因为，而在点连续，存在，,对于一切,成立由于，我们又可知道对于充分大的,因此得到在这些闭区间（充分大）上有界的结论，从而产生了矛盾。这说明所作的假设是不能成立的，

14、即函数在上必定是有界的。1.2.2 最大值与最小值定理 在闭区间上的函数在该区间上连续，即在该区间上是有界的，并且一定存在其最大值与最小值。换而言之，如果存在函数在闭区间上连续，即存在常数M>0,使得其对任一的，满足条件;并且至少存在一点，使得是在上的最大值；同样的道理，这里也至少存在一点，使得是在上的最小值。(如图1.2.1)证：由上述定理1.2.1得知，集合这个数集是有界的，因此必有它的上下确界，记作，.现证明存在，使得. 一方面对一切，成立;另一面对任意给定的，存在，使得.即取得，······，从而得到一个数列，且满足由于

15、数列是有界的，这里我们应用Bolzano-Weierstrass定理得知，存在收敛子列；，并且不等式，···，令，通过极限的夹逼性和在点的连续性，得到.说明在上取得最小值，即.同理可以证明存在，使得.注：开区间上的连续函数即使有界，也不一定能够取得它的最大值与最小值。例如，在（0,1）连续而且有界，因而存在上下确界与，但在区间（0,1）上取不到和。1.2.3 零点定理如果使，则称为函数的零点。设函数在闭区间上连续，且（即与异号），那么在开区间内内至少有一点，使得.证：设，定义集合:.集合是有界、非空，所以必有上确界。令由的连续性和，：；再有，：.于是可知，即.取&

16、#183;··，因，可以得到.如果，由在点的连续性，:,这与产生矛盾。因此有1.2.4 介值定理设函数在闭区间上连续，并且在区间上的端点处取不同的函数值,;那么，对于与之间的任意一个数，在开区间内至少存在一点，使 证：假设,在闭区间上连续，且 与异号。根据零点定理，开区间内至少有一点使得 由,于是上式即得 推论：在闭区间上连续的函数必取得介于最大值M与最小值m之间的任何值。1.2.5 一致连续性我们先介绍函数的一致连续性概念。若函数在区间I上连续，是在I上任意取定的一个点。由于在点连续，因此.通常这个不仅与有关，而且与所取定的有关，即使不变，但选取区间I上的其他点作为时，这

17、个就不一定适用了。但对于某些函数却有这样的重要情形，即存在只与有关，而对区间I上任意一点都能适用的正数，即任意，只要时，就有.若函数在区间I上存在这样的情形，就说函数在区间I上是一直连续的。定义 设函数在区间上定义，若对于任意给定的正数，存在正数，只要,满足时，就有则称函数在区间上一致连续。函数一致连续性表示，无论在区间的任何一个部分，只要自变量的两个数值接近到某一个程度，就能够使所对应的函数值达到所指定的接近程度。注：若函数在区间I上一致连续，那么函数它在区间I上也是连续的，但反过来就不一定是成立的，举例说明如下：例 函数在区间是连续的，但它不是一致连续的。因为函数是初等函数，它在区间上有定

18、义，所以在上是连续的。，假定在上一致连续，应该，对于上的任意两个值，当时，就有.取原点附近的两点，为正整数，显然在上，由于所以，只要取得足够大，总能使.这时有不符合一致连续的定义，因此在上不是一致连续的。定理 如果函数在闭区间上是连续的，则其在该区间上也一致连续。1.2.6 连续函数的四则运算由函数极限的四则运算，类似的连续函数，也有这样的运算规则。设，则(1) （，为常数）；(2) ；(3) （）.1.3 连续函数的性质应用 有界闭区域中连续函数的性质有很多广泛的应用，现在我们通过例题进行讨论如下 ：例1 若函数在上一致连续，求证：在上有界。证：因函数在上一致连续，对 ，对 ，且满足 时，有

19、 由于是 ···对任意 ，存在 ，使得 ， .所以有得在上有界。例2 某越野运动员用时三十分钟共跑了六英里，证明：一定存在某时刻，在该时刻起的五分钟内，该运动员跑了一英里。解： 设为离开起跑线的英里数，对于中的每个，以表示从跑到+1英里所需要的时间，则函数为连续函数，且有.因为不可能全大于5，也不可能全小于5，因此，如果上式左端有一项等于5，则结论得到证明，否则在内存在满足，由闭区间上连续函数的介值定理得到，存在，使得 因此从英里到+1英里恰好跑了五分钟。例3 某登山运动员在星期六上午7:00开始登山，直到下午五点到达顶点，在山上宿营后，星期日上午7:00开始返程

20、，在下午五点到达出发点。证明：该运动员在星期日的某时刻和星期六的同一时刻处于同一高度。解： 设为运动员从山顶点到出发点的距离。在时间段中，第一天的时刻此人与出发点的距离设为，第二天的时刻，此人与出发点的距离设为，则，在T上为连续函数。易知，.这里取，则， ，根据介值定理知，存在，使得，即，所以，在两天中必有某一时刻，此运动员在同一高度。例4 假定地球赤道的温度是连续不断的变化的，证明：地球赤道上存在任何时刻相对于球心是对称的两处温度是相同的。解： 赤道可视为一个大圆,地球的球心为大圆的圆心，在大圆上我们取定一个点,以作为角的始边，设为大圆上任意的点，按逆时针方向，与所成的角为，点对应的温度设为

21、。根据题意得知为连续函数且现在令因为因此，如果，则，结论成立，若，那么，,可以看出，也是连续函数，根据闭区间上连续函数的性质知，存在，使得，即，而与相对于是对称的，所以结论也成立。推论：如果将问题中地球赤道改为地球某同一纬度圈，也会有类似的结论。例5 一个煎饼不论它的形状如何，可切一刀，使它的面积二等分。解：将一个煎饼看作一个平面图像，它的面积设为.过外的一点作极轴,使图像位于的上方。假设图形位于和之间。图形位于与经过极点的射线之间所夹部分的面积为的连续函数，设为 .因为，因此，根据闭区间上的连续函数的介值定理得知，存在，使得，所以，射线将图形的面积二等分。例6 求证函数在一致连续，但在上不一

22、致连续.证：，取，则当，且时，有 因此在一致连续然而在上不一致连续取，无论取得多小的值，根据可以知道，只要这里的充分大就可以使，的距离，但故函数在上不一致连续.第二章 闭区间上连续函数性质的推广2.1 闭区域中连续函数性质在开区间的推广在大学期间，我们所学的都是闭区间上连续函数的性质，其应用非常广泛，然而在开区间或无穷区间上，这些性质就不一定能适用了。这一章我们将这些定理加以推广，使它在开区间或无穷区间上也可以成立。2.1.1 （有界性定理的推广） 如果函数在开区间上连续，并且与都为有限值，则在上有界。证： 把在闭区间上作连续开拓，设，则是上的连续函数，故在上有界，当时，即在上有界。2.1.2

23、 （介值性定理的推广） 如果函数在开区间上连续，并且与都为有限值， ,若 其中的任何实数。那么，在内至少会存在一点，使.证： 同2.1.1定理，把在闭区间上作连续开拓，设，则是上的连续函数，故在上具有介值性，若 其中的任何实数，那么，在内至少会存在一点，使.当时，即定理得证。2.1.3（零点定理的推广）如果函数在开区间上连续，并且与都为有限值，异号（即），那么，在内至少会存在一点，使得。证：同2.1.2定理，把在闭区间上作连续开拓，设，则是上的连续函数，故在上具有介值性，若 其中的任何实数，那么，在内至少会存在一点，使.当时，即定理得证。2.1.4 (最值定理的推广) 如果函数在区间上连续，而

24、且与都是有限值，则（1）如果存在，使得,那么，在内取得最大值。（2）如果存在，使得，那么，在内取得最小值。证：（1）把在闭区间上作连续开拓，设，则是上的连续函数，故在上可取得最大值，由于存在，所以最大值点不可能是或.这里可设最大值为，那么，.如果，那么也是在上的最大值，所以是在内的最大值点。若，那么，根据题意得知,是在内的最大值点。综上所述，在内取到最大值。同样的道理，可以得证在内取到最小值。2.2闭区域中连续函数的性质在导函数上的推广上一节中我们就在闭区间中的连续函数的性质也可以推广到开区间上这一问题进行了探讨，连续函数的性质包括最值存在性、介质性、零点存在性等，其应用都非常广泛；现在我们继

25、续讨论这样的问题，即若一元函数是可导的，那么，函数一定是连续的，但是导函数就不一定连续了。本节中将闭区间上连续函数的性质推广到导函数的性质。定理2.2.1 假设函数在区间上可导，如果函数在处取到上的最大值或者最小值，那么，或；如果函数在处取得上其最大值或者最小值，那么或。证：当在处取上的最大值时，也就是时，又因为，所以有。，所以有。······下面给出相应的例题进行讨论。例1设函数在区间上可导，求证：在上至少有两个零点。证：根据函数在区间上可导可知在区间连续，也就是说，在区间上达到最大值和最小值至少各有一次。由题可知，那么函数在区间上

26、的最小值、最大值都不在区间端点取得。如果在区间上的最大值在区间端点取得，那么必然是在处达到，故，与相互矛盾，所以函数在区间内的最大值不可能取在端点处，同理也可证明在区间上的最小值也不可能取在端点处。故函数在区间上的最大值和最小值都是在开区间内取到的，又因为在区间上是可导的，那么在的最大值与最小值处。所以在内至少存在两个零点。定理2.2.2 设在区间上可导，那么在内存在零点。证：考虑它的一般性，可以假设，利用定理2.2.1可知，函数在区间上的最大值不能在或处取到，这样就存在，使得函数，即是在的最大值点，又因，即在内存在零点。通过定理2.2.2，我们又可以得到进一步的推论。推论：假设函数在区间内是可导的，如果在内无零点，那么函数在内恒正或者恒负。证： 如果函数在内既不是恒正也不是恒负，则存在 使，根据定理2.2.2可知，在内有零点，这与函数在内无零点产生矛盾。例2设在上存在一阶连续的导数，在内存在二阶可导，且.求证：存在，使得。证：用反证法假如不存在使得，那么导函数在内是恒正或者恒负的。由于函数在上存在一阶连续的导数，在内存在二阶可导，因而存在介于0与之间的，使得有，也就是。如果时，那么，而根据题意得到的是，故产生矛盾。如果时，那么，而根