构造函数利用导数证明不等式

1、精选优质文档-倾情为你奉上构造函数，利用导数证明不等式(2)一、问题背景根据题目的结构特征，构造适当的函数，利用导数作为工具，达到最终证明不等式的目的，是近几年高考中的常考题型二、常见的方法主元法、换元之后构造、将不等式变形后构造、利用熟悉的结论构造等；主要思想：等价转化思想、数形结合、化归思想等三、范例例1 已知函数 （1）设，求函数的极值； （2）判断函数的单调性，并证明； （3）若对任意两个互不相等的正数，都有恒成立，求实数的最小值【思路】不等式证明的关键是令实施换元，通过构造函数，利用导数工具来证明【解答】，由得0从上表中可知，的极小值为，无极大值函数在的单调递增，由可知，且函数在的单

2、调递增不妨设，（*）令，则（*），设，则原命题等价于在上恒成立当时，在上单调递减，不符合题意；当时，(i)当，即时，在上单调递增，故符合题意；(ii)当时，设方程的两根分别为且，则，且当时，当时，所以在上单调递减，在上单调递增，故，与在上恒成立矛盾，故不符合题意 综上可知实数的最小值为 例2 已知函数，其中求函数的单调递增区间；若函数有两个零点，且，求实数的取值范围，并证明随的增大而减小 【思路】处理函数零点问题重要的抓住函数的图像特征，并利用导数进行刻画【解答】（1） ，定义域为且， 因为，当时，恒成立，所以的单调递增区间为；当时，所以的单调递增区间为或；当时，所以的单调递增区间为或（2）由

3、，得当变化时，、的变化如下表：10这时，的单调递增区间是，单调递减区间是 当大于0且无限趋近于0时，的值无限趋近于；当无限趋近于时，的值无限趋近于 所以要有两个零点，须满足>0，即， 所以的取值范围是因为是函数的两个零点，即， 则，因为且，则得设，则，所以在上单调递增，在上单调递减 对于任意的，且，设，其中；，其中；因为在上单调递增，故由，即，可得；类似可得 由，则，所以 所以，随的增大而减小四、练习题1已知函数（其中，是自然对数的底），为导函数（1）当时，求曲线在点处的切线方程；（2）若时，都有解，求的取值范围；（3）若，试证明：对任意，恒成立 2设函数（）求函数的单调区间；（）设是否

4、存在极值，若存在，请求出极值；若不存在，请说明理由；（）当时，证明： 3已知函数在点（为自然对数的底数）处的切线斜率为3（1）求实数的值 ；（2）若，且对任意恒成立，求最大值；（3）当时，证明五、练习解答1【思路】第（3）题中证明不等式时，需要将待证式进行变形，通过构造函数，利用导数作为工具来解决 【解答】（1）由得，所以曲线在点处的切线斜率为，曲线切线方程为，即（2）由得，令，所以在上单调递减，又当趋向于时，趋向于正无穷大，故，即（3）由，得，令，所以，因此，对任意，等价于，由，得，因此，当时，单调递增；时，单调递减，所以的最大值为，故设，所以时，单调递增，故时，即，所以因此，对任意，恒成立

5、 2【思路】（）利用一阶导数的符号来求单调区间（）对进行分类讨论，的极值（）把证明不等式转化求函数的最小值大于0 【解答】（）令，即，得，故的增区间为；令，即，得，故的减区间为；的单调增区间为，的单调减区间为（），当时，恒有在上为增函数，故在上无极值；当时，令，得,当单调递增，当单调递减，无极小值；综上所述：时，无极值；时，有极大值,无极小值（）证明：设则即证，只要证，又在上单调递增方程有唯一的实根，且当时，；当时，当时，即，则，命题得证 3【思路】第（3）题要证，只需证即证 从而得到证明；也可以构造函数 【解答】（1）因为，所以 因为函数的图像在点处的切线斜率为3， 所以，即，所以（2）由（1）知，所以对任意恒成立，即对任意恒成立令，则，令，则，所以函数在上单调递增因为，所以方程在上存在唯一实根，且满足当，即，当，即，所以函数在上单调递减，在上单调递增所以所以故整数的最大值是3（3）方法一：