微积分课件：8-7 斯托克斯公式与旋度

1、一、一、斯托克斯斯托克斯(stokes)(stokes)公式公式二、二、简单的应用简单的应用三三、物理意义、物理意义-环流量与旋度环流量与旋度五、小结五、小结 第七节第七节 斯托克斯公式与旋度斯托克斯公式与旋度四、四、空间定向曲线积分与路径无关条件空间定向曲线积分与路径无关条件一、斯托克斯一、斯托克斯(stokes)(stokes)公式公式dxdyyPxQdzdxxRzPdydzzQyR)()()( RdzQdyPdx斯托克斯公式斯托克斯公式n 是有向曲面是有向曲面 的的正向边界曲线正向边界曲线 右手法则右手法则xyzo),(:yxfz xyD Cn证明证明设设与与平平行行于于z轴轴的的直直线

2、线相相交交不不多多于于一一点点, , 并并取取上上侧侧, ,有有向向曲曲线线 C C 为为的的正正向向边边界界曲曲线线 在在xoy的的投投影影. .且且所所围围区区域域xyD. .如图如图思路思路曲面积分曲面积分二重积分二重积分曲线积分曲线积分12dxdyyPyzzPdxdyyPdzdxzPxyD)( ,),(,)(dxdyyxfyxPydxdyyzzPyPxyxyDD 1 cDdxyxfyxPdxdyyxfyxPyxy),(,),(,dxyxfyxPdxdyyPdzdxzPc ),(,即即根椐格林公式根椐格林公式平面有向曲线平面有向曲线2,),(dxzyxPdxdyyPdzdxzP 空间有向

3、曲线空间有向曲线,),(dyzyxQdydzzQdxdyxQ 同理可证同理可证,),(dzzyxRdzdxxRdydzyR dxdyyPxQdzdxxRzPdydzzQyR)()()( RdzQdyPdx.故有结论成立故有结论成立. RdzQdyPdxRQPzyxdxdydzdxdydz RdzQdyPdxdsRQPzyx coscoscos另一种形式另一种形式cos,cos,cos n其中其中便于记忆形式便于记忆形式StokesStokes公式的实质公式的实质: : 表达了有向曲面上的曲面积分与其边界曲线表达了有向曲面上的曲面积分与其边界曲线上的曲线积分之间的关系上的曲线积分之间的关系. .

4、斯托克斯公式斯托克斯公式格林公式格林公式特殊情形特殊情形( (当是当是xoy面的平面闭区域时面的平面闭区域时) )例例 1 1 计计算算曲曲线线积积分分ydzxdyzdx , ,其其中中 是是平平面面1 zyx被被三三坐坐标标面面所所截截成成的的三三角角形形的的整整个个边边界界, ,它它的的正正向向与与这这个个三三角角形形上上侧侧的的法法向向量量之之间间符符合合右右手手规规则则. .二、简单的应用二、简单的应用0 xyDxyzn111解解按斯托克斯公式按斯托克斯公式, , 有有dzyxdyzdx dxdydzdxdydz dxdydzdxdydz xyDd3xyo11xyD23 弦都为正，弦都

5、为正，的法向量的三个方向余的法向量的三个方向余由于由于 如图如图xyDdzyxdyzdx 例例 2 2 计算曲线积分计算曲线积分dzyxdyxzdxzy)()()(222222 其中其中 是平面是平面23 zyx截立方体截立方体: :10 x, ,10 y, ,10 z的表面所得的截痕的表面所得的截痕, ,若从若从 ox轴的正向看去轴的正向看去, ,取逆时针方向取逆时针方向. .解解取取为为平平面面23 zyx的的上上侧侧被被 所所围围成成的的部部分分. .则则1 , 1 , 131 nzxyo n 即即,31coscoscos dsyxxzzyzyxI 222222313131 dszyx)

6、(34 ds2334 xyDdxdy332.29 )23( zyx上上在在xyD23 yx21 yx说说明明:stokes:stokes公公式式与与上上所所张张的的曲曲面面的的形形状状无无关关, ,若若由由平平面面与与曲曲面面围围成成, ,可可取取为为以以为为边边界界的的平平面面区区域域 三、物理意义三、物理意义-环流量与旋度环流量与旋度.),(),(),(),(按按所所取取方方向向的的环环流流量量沿沿曲曲线线称称为为向向量量场场上上的的曲曲线线积积分分中中某某一一封封闭闭的的有有向向曲曲线线则则沿沿场场设设向向量量场场CFRdzQdyPdxrdFCFkzyxRjzyxQizyxPzyxFCC

7、 1. 1. 环流量的定义环流量的定义: :2. 2. 旋度的定义旋度的定义: :RQPRQPRQPRQP称称向向量量()i()j()k()i()j()kyzzxxyyzzxxy为为向向量量场场F F的的旋旋度度, ,记记为为rotF .rotF . ijkijk. .xyzxyzPQRPQR rotFrotF 无无旋旋场场:rotA0:rotA0 斯托克斯公式的向量形式斯托克斯公式的向量形式 rdFSdFrotStokes公式的物理解释公式的物理解释:向向量量场场F沿沿有有向向闭闭曲曲线线 的的环环流流量量等等于于向向量量场场F的的旋旋度度场场通通过过 所所张张的的曲曲面面的的通通量量. .

8、( ( 的的正正向向与与 的的侧侧符符合合右右手手法法则则) ) 例例3:3: 求电场强度求电场强度 rrqE3zyxkjiErot的旋度的旋度 . .解解: )0, 0, 0(除原点外除原点外)这说明这说明, , 在除点电荷所在原点外在除点电荷所在原点外, , 整个电场无旋整个电场无旋. .3rxq3ryq3rzq例例4 :4 : 设设f(x,y,z)f(x,y,z)具具有有各各阶阶连连续续偏偏导导数数, ,求求div(rot f)div(rot f) 四四. .空间定向曲线积分与路径无关条件空间定向曲线积分与路径无关条件五、小结五、小结斯托克斯公式的物理意义斯托克斯公式的物理意义斯托克斯公

9、式成立的条件斯托克斯公式成立的条件斯托克斯公式斯托克斯公式 RdzQdyPdxRQPzyxdxdydzdxdydz RdzQdyPdxdsRQPzyx coscoscos空间定向曲线积分与路径无关条件空间定向曲线积分与路径无关条件一、一、 计 算计 算 dzyzxzdyydx23, , 其 中其 中 是 圆 周是 圆 周2,222 zzyx若从若从z轴正向看去轴正向看去, ,这圆周是这圆周是逆时针方向逆时针方向 . .二、二、 计 算计 算 dzxdyzdxy222, , 其 中其 中 是 球 面是 球 面2222azyx 和园柱面和园柱面axyx 22的交线的交线)0,0( za, ,从从x

10、轴正向看去轴正向看去, ,曲线为逆时针方曲线为逆时针方向向 . .三、三、 求向量场求向量场jyxziyzA)cos()sin( 的旋度的旋度 . .练练 习习 题题四、利用斯托克斯公式把曲面积分四、利用斯托克斯公式把曲面积分 dsnArot化成曲化成曲 线积分线积分, ,并计算积分值并计算积分值, ,其中其中A, , 及及n分别如下分别如下: :kxzjxyiyA 2, , 为上半个球面为上半个球面221yxz 的上侧的上侧, , n是是 的单位法向量的单位法向量. .五、求向量场五、求向量场kxyjyzxizxA233)()( 沿闭曲沿闭曲 线线为圆为圆 周周0,222 zyxz( (从从轴轴z正向看