高等数学：11-5 函数的幂级数展开式的应用

1、1函数值的近似计算函数值的近似计算积分的近似计算积分的近似计算欧拉欧拉(Euler)公式公式小结小结 思考题思考题 作业作业求极限求极限第五节第五节 函数的幂级数展开式函数的幂级数展开式的应用的应用 第十一章第十一章 无穷级数无穷级数2一、求极限一、求极限 有些未定式的极限有些未定式的极限可以将极限过程中的主要、可以将极限过程中的主要、例例 求求30sinlimxxxx 00解解353030! 51! 31limsinlimxxxxxxxxxx , 0 x将将sinx展开为展开为x = 0的幂级数的幂级数.这种方法的优点是这种方法的优点是:次要成份表示得非常清楚次要成份表示得非常清楚.可以用幂

2、级数方法求出可以用幂级数方法求出.函数的幂级数展开式的应用函数的幂级数展开式的应用 20! 51! 31limxx61! 31 3 由此例可看出由此例可看出: 这里这里, sinx与其等价无穷小与其等价无穷小x相差高阶无穷小相差高阶无穷小.! 51! 3153 xx这个高阶无穷小不能与分子这个高阶无穷小不能与分子 的的第一项第一项x 抵消抵消,它在极限中是起作用的它在极限中是起作用的.但如果将但如果将sinx用用x代换代换,则相当于将这个起作用的高阶无穷则相当于将这个起作用的高阶无穷小也略去了小也略去了, 这显然是错误的这显然是错误的.函数的幂级数展开式的应用函数的幂级数展开式的应用在求极限时

3、在求极限时,为什么加、减项为什么加、减项的无穷小不能用其等价无穷小代换的无穷小不能用其等价无穷小代换.4函数的幂级数展开式的应用函数的幂级数展开式的应用二、函数值的近似计算二、函数值的近似计算用函数的幂级数展开式用函数的幂级数展开式,常用方法常用方法1.若余项是交错级数若余项是交错级数,则可用余和的首项来解决则可用余和的首项来解决;2.若不是交错级数若不是交错级数,则放大余和中的各项则放大余和中的各项,使之成使之成为等比级数或其它易求和的级数为等比级数或其它易求和的级数,从而求出其和从而求出其和.可以在展开式有效可以在展开式有效的区间内计算函数的近似值的区间内计算函数的近似值, 而且可达到预先

4、指而且可达到预先指定的精度要求定的精度要求.5例例.10,5 使使其其误误差差不不超超过过的的近近似似值值计计算算e解解,!1! 2112 nxxnxxe, 1 x令令,!1! 2111ne 得得函数的幂级数展开式的应用函数的幂级数展开式的应用余和余和: :)2)(3(1211()!1(1 nnnn)!1(1 n!1nn 510! nn1111)!1(1 nn )!3(1)!2(1)!1(1nnnrn 1( 11n 2)1(1n510 )6322560!88 而而 e71828. 2 510 函数的幂级数展开式的应用函数的幂级数展开式的应用! 81! 31! 2111 用级数作近似计算时用级数

5、作近似计算时,这样估计误差这样估计误差,常将其余和放大常将其余和放大为几何级数为几何级数.因此计算量要小一些因此计算量要小一些.在一般情况下在一般情况下,泰勒公式比用拉格朗日估计误差的精度更好泰勒公式比用拉格朗日估计误差的精度更好,7例例.,9sin! 3sin03并估计误差并估计误差的近似值的近似值计算计算利用利用xxx 解解20sin9sin0 3)20(6120 52)20(!51 r5)2 . 0(1201 3000001 510 000646. 0157079. 09sin0 156433. 0 其误差不超过其误差不超过 510 函数的幂级数展开式的应用函数的幂级数展开式的应用8函数

6、的幂级数展开式的应用函数的幂级数展开式的应用三、积分的近似计算三、积分的近似计算有些初等函数的原函数不能用初等函数有些初等函数的原函数不能用初等函数故其定积分就不能用牛顿故其定积分就不能用牛顿-莱布尼茨莱布尼茨但如果这些函数在积分区间上能但如果这些函数在积分区间上能表示表示,公式计算公式计算.能展开成幂级数能展开成幂级数, 性质来计算这些定积分性质来计算这些定积分. 则可利用幂级数逐项积分则可利用幂级数逐项积分9例例.10,dsin410 精确到精确到的近似值的近似值计算计算xxx 642!71! 51! 311sinxxxxx解解),( x !771! 551! 3311收敛的交错级数收敛的

7、交错级数函数的幂级数展开式的应用函数的幂级数展开式的应用被积函数被积函数xxsin的原函数不能用初等函数表示的原函数不能用初等函数表示.由于由于x = 0是是xxsin的可去间断点的可去间断点,故定义故定义 0sinxxx这样这样被积函数在被积函数在0, 1上上连续连续. 展开展开,sinxx得得 10 xd 10 xd, 1sinlim0 xxx10第四项第四项30001!771 ,104 取前三项作为积分的近似值取前三项作为积分的近似值,得得! 551! 3311dsin10 xxx9461. 0 例例.10,dsin410 精确到精确到的近似值的近似值计算计算xxx函数的幂级数展开式的应

8、用函数的幂级数展开式的应用 ! 771! 551! 3311dsin10 xxx11复数项级数复数项级数)1()()()(2211 nnivuivuivu), 3 , 2 , 1(, nvunn其中其中函数的幂级数展开式的应用函数的幂级数展开式的应用四、欧拉四、欧拉(Euler)公式公式为实常数或实函数为实常数或实函数.若若,1 nnuu,1 nnvv则称级数则称级数)(1nnnivu 收敛收敛,且其和为且其和为.ivu 复数项级数绝对收敛的概念复数项级数绝对收敛的概念若若 2222222121nnvuvuvu收敛收敛,则则,1 nnu 1nnv绝对收敛绝对收敛, 称复数项级数称复数项级数(1

9、)绝对收敛绝对收敛.Euler(1707 1783)是瑞士数学家、物理学家是瑞士数学家、物理学家12 ! 212nxxxenx )!12()1(! 5! 3sin12153nxxxxxnn )!2()1(! 4! 21cos242nxxxxnn函数的幂级数展开式的应用函数的幂级数展开式的应用 nixixnixixe)(!1)(! 2112xixsincos xcosxsin三个基本展开三个基本展开式式)!2()1(! 211(22 nxxnn)!12()1(! 31(123 nxxxinn13xixeixsincos ieexeexixixixix2sin2cosxixeixsincos 又又

10、 揭示了三角函数和复变量指数函数之间的揭示了三角函数和复变量指数函数之间的一种关系一种关系.)sin(cosyiyeexiyx 函数的幂级数展开式的应用函数的幂级数展开式的应用欧拉欧拉(Euler)公式公式14欧拉公式的证明欧拉公式的证明求极限求极限 (求未定式的极限求未定式的极限)函数的幂级数展开式的应用函数的幂级数展开式的应用五、小结五、小结积分的近似计算积分的近似计算函数值的近似计算函数值的近似计算15函数的幂级数展开式的应用函数的幂级数展开式的应用思考题思考题计算计算.)1(sincos1lim34222260 xxxxxx 解解因为因为 xx22sincosnnnxn20)4()!2()1(8181 )!2()1(! 4! 21cos242nxxxxnnnnnxn211)4()!2(8)1( ! 684! 48466442xxx 642453234xxx又又 3422)1(xx所以所以,92341422