正弦定理知识点总结(精华)与试题

1、正弦定理知识点总结（精华）与试题1.特殊情况：直角三角形中的正弦定理:sinA= a sinB= b sinC=1 即: cca c= 一 sin Ac=bsin Bcc=sin Casin Asin B sin C-可编辑修改-2.能否推广到斜三角形?证明一（传统证法）在任意斜 ABC当中:c11 .一Szabc= ab sin C acsin B221一bcsin A2一 ,一八 1-两边同除以abc即得: 2sin A sin Bcsin C3.用向量证明:证二：过A作单位向量j垂直于ACAC + CB = AB两边同乘以单位向量j?(AC+CB尸j?AB则：j?AC+j?CB=j?AB

2、A).|j|?|AC|cos90+|j|?|CB|cos(90C)=|j|?|AB|cos(90asinCcsinAsinAsinC同理：若过C作j垂直于CB得:sinCsinBasinAsinBsinCj垂直于向量ACsin A sin B sin C当AABC为钝角三角形时，设A>90过A作单位向量正弦定理：在一个三角形中各边和它所对角的正弦比相等,（1）正弦定理适合于任何三角形。(2)可以证明=2R ( R为那BC外接圆半径)sinAsinBsinC(3)每个等式可视为一个方程：知三求一5.知识点整理(1)正弦定理：在C中，a、b、c分别为角、C的对边，R为Cabc_的外接圆的半径

3、，则有2R.sinsinsinC(2)正弦定理的变形公式:a2Rsin,b2Rsin,c2RsinC；abcsin,sinsinC；2R2R2Ra:b:csin:sin:sinC；abcabcsinsinsinCsinsinsinC6、应用：i:正弦定理可以用于解决已知两角和一边求另两边和一角的问题。例1、已知在ABC中，c10,A450,C300，求a,b和B“accsinA10sin450解：,a010、2sinAsinCsinCsin30B1800(AC)1050bbc,csinB10sin105006.2又,b020sin75205652sinBsinCsinCsin304练习：1、在

4、ABC中，已知A=450,B=600,a=42,解三角形.2、在4ABC中，AC=J3,/A=45°,ZC=75°,贝UBC的长为3、在ABC中，B=45,C=60,c=1,则最短边的边长等于ii:正弦定理可用于解决已知两边及一边的对角，求其他边和角的问题例2.1在ABC中，bJ3,B600,c1,求a和A,C.bc._csinB1sin6001解：,sinCsinBsinCb、32bc,B600,CB,C为锐角，C300,B900a旧""c22例2.2ABC中，c瓜A450,a2,求b和B,C解:sin Acsin Ccsin A sin C a6 s

5、in 4502csin A ac, C600或1200当C 600时,o75 ,bcsin Bsin C0. 6sin750-3 1sin 60当C 1200时,150,bcsin Bsin C-6皿三3 1sin 60b V3 1,B 750,C 600或 b 33 1,B 150,C 1200注意：在 ABC中，已知a,b和A时解三角形的情况:(1) 当A为锐角(2) 当A为直角或钝角gfrsln A 一手Asin胃印幼网解。A 8 一解练习：1. ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c,若c也b任,B120°,则a等于()A.6qB.2C.x/3D.722、已知ABC中，

6、A,B,C的对边分别为a,b,c若acnJ2且A75°,则b()A.2B.4+26C.4273D.V672.1.°3、在zXABC中，若tanA-,C150,BC1,则AB34、已知ABC中，a在b72,B450，解三角形iii：运用正弦定理判定三角形的个数问题例3:在4ABC中，分别根据下列条件指出解的个数(1)、a=4,b=5,A=300;(2)、a=5,b=4,A=600-可编辑修改-、a 曲,b 72, B 1200；、a 品 b 76, A 600.练习:1.符合下列条件的三角形有且只有一个的是()A.a=1,b=2,c=3B.a=1,b=22，/A=30C. a

7、=1,b=2, ZA=100D. b=c=1,/B=45iv：正弦定理变形运用1、在ABC中，a=5,b=3,C=1200,则sinA:sinB=2、在ABC中，acosB=bcosA,则/ABC为()A、直角三角形B、等腰三角形C、等腰直角三角形D、钝角三角形3、在4ABC中，若b=2asinB,则A=HsinAcosB-4、在4ABC中，若，则B的值为ab2sinAsinB/古斗5、在ABC中，a:b:c=1:3:5,贝1的值为sinC6、在AABC中，已知sinA:sinB:sinC=4:5:6,且a+b+c=30,则a=7、若三角形的三个内角之比为1:2:3,则该三角形的三边之比为8、在4ABC中，a600,a而，则一a-b-c等于sinAsinBsinC9.ABC的三内角A,B,C的对边边长分别为a,b,c,若a亟b,A2B,则cosB()A)2f5J57555-3-(B)(C)(D)10、在ABC中，若