材料力学扭转

1、.第第 三三 章章 扭扭 转转.31 31 扭转的概念和实例扭转的概念和实例第三章第三章 扭转扭转.以扭转为主要变形的工程构件有：传动轴、钻杆等。以扭转为主要变形的工程构件有：传动轴、钻杆等。.传动轴传动轴汽车转向轴、机械传动轴、丝锥等汽车转向轴、机械传动轴、丝锥等. 杆件受到大小相等杆件受到大小相等, ,方向相反且方向相反且作用平作用平面垂直于杆件轴线的力偶作用面垂直于杆件轴线的力偶作用, , 杆件的横截杆件的横截面绕轴线产生相对转动。面绕轴线产生相对转动。 扭转受力特点扭转受力特点及变形特点及变形特点: :3.1 3.1 扭转的概念和实例扭转的概念和实例.直接计算直接计算1.1.外力偶矩外

2、力偶矩3.2 3.2 外力偶矩的计算外力偶矩的计算 扭矩和扭矩图扭矩和扭矩图.按传递功率和转速计算按传递功率和转速计算电机每秒输入功：电机每秒输入功：外力偶作功完成：外力偶作功完成：1000(N m)WP602nMWe已知已知轴转速轴转速n n 转转/ /分钟分钟输出功率输出功率P P 千瓦千瓦求：力偶矩求：力偶矩M Me ePP3.2 3.2 外力偶矩的计算外力偶矩的计算 扭矩和扭矩图扭矩和扭矩图.T = Me2.2.扭矩和扭矩图扭矩和扭矩图3.2 3.2 外力偶矩的计算外力偶矩的计算 扭矩和扭矩图扭矩和扭矩图用截面法研究横截面上的内力用截面法研究横截面上的内力构件受扭时，横截面上的内力偶矩

3、，记作构件受扭时，横截面上的内力偶矩，记作“T T ”。扭矩：扭矩：.扭矩正负规定扭矩正负规定右手螺旋法则右手螺旋法则右手拇指指向外法线方向为右手拇指指向外法线方向为正正(+),(+),反之为反之为负负(-)(-)3.2 3.2 外力偶矩的计算外力偶矩的计算 扭矩和扭矩图扭矩和扭矩图.扭矩沿杆件轴线变化规律的图线。扭矩沿杆件轴线变化规律的图线。 目目 的的扭矩变化规律；扭矩变化规律；| |T T | |maxmax值及其截面位置值及其截面位置 强度计算（危险截面）。强度计算（危险截面）。 xT扭矩扭矩图图. 已知：一传动轴，已知：一传动轴，n n =300r/min=300r/min，主动轮输

4、入，主动轮输入 P P1 1=500kW=500kW，从动轮输出，从动轮输出 P P2 2=150kW=150kW，P P3 3=150kW=150kW，P P4 4=200kW=200kW，试绘制扭矩图。试绘制扭矩图。解：解：（1 1）计算外力偶矩计算外力偶矩115009.559.55300 15.9(kN m)PMn2231509.559.554.8 (kN m)300PMMn442009.559.556.3 (kN m)300PMn例题例题1 1nA B C DM2 M3 M1 M4.nA B C DM2 M3 M1 M4112233解：解：（2）求扭矩（扭矩按正方向设）求扭矩（扭矩按正

5、方向设）124.8kN mTM 223 (4.84.8)9.6kN mTMM 3231 0 TMMM0 xM120TM1-1 截面截面2-2 截面截面0 xM2230 TMM0 xM3-3 截面截面AM21T312316.9 4.8 26.3kNTMMM34 6.3kNTM115.9M 234.8 MM46.3 M .max9.6 kN mTBC BC 段为危险截面段为危险截面: :9.6xT4.86.329.6km NT 14.8km NT 3 6.3kN mT 解：解：（3）绘制扭矩图绘制扭矩图nA B C DM2 M3 M1 M4.9.6xT4.86.329.6km NT 14.8km

6、NT 3 6.3kN mT 解：解：（3）绘制扭矩图绘制扭矩图nA B C DM2 M3 M1 M4从左向右，上下对应.练 习P78 31.薄壁圆筒：薄壁圆筒：壁厚0101rt （r0：为平均半径）一、薄壁圆筒扭转时的切应力一、薄壁圆筒扭转时的切应力1.1.实验前：实验前：1) 1) 绘纵向线，圆周线；绘纵向线，圆周线；2) 2) 施加一对外力偶施加一对外力偶 M M。33 33 纯剪切纯剪切.2.2.实验后：实验后：1) 1) 圆周线不变；圆周线不变；2) 2) 纵向线变成斜直线。纵向线变成斜直线。1) 1) 圆筒表面的各圆周线的形状、大小和间距均未圆筒表面的各圆周线的形状、大小和间距均未

7、改变，只是绕轴线作了相对转动。改变，只是绕轴线作了相对转动。 2) 2) 各纵向线均倾斜了同一微小角度各纵向线均倾斜了同一微小角度 。3) 3) 所有矩形网格均变成同样大小的平行四边形。所有矩形网格均变成同样大小的平行四边形。3.3.结论：结论：4) 4) 与与 的关系的关系 RL一、一、薄壁圆筒扭转时的切应力薄壁圆筒扭转时的切应力LR.1) 1) 在小变形下，沿杆的轴线方向无变形，即无正应力；在小变形下，沿杆的轴线方向无变形，即无正应力；2) 2) 横截面上各点处，只产生垂直于半径的均匀分布的切应横截面上各点处，只产生垂直于半径的均匀分布的切应力力 ，沿周向大小不变，方向与该截面的扭矩方向一

8、致。，沿周向大小不变，方向与该截面的扭矩方向一致。根据实验现象分析：根据实验现象分析：3 3、理论分析、理论分析LRT.4 4、薄壁圆筒横截面上的切应力、薄壁圆筒横截面上的切应力 000 d2 ArArr tT A A0 0：平均半径所在圆的面积。：平均半径所在圆的面积。静力学关系：静力学关系：0d AA rT20 0 2 2TTr tA tT.acddxbdytzxy单元体单元体 边长为微量的正六面体边长为微量的正六面体 二、切应力互等定理二、切应力互等定理截取截取abcd abcd 正六面体，正六面体， 纯剪切应力状态纯剪切应力状态:单元体的四个侧面上只有剪应力而无正应力单元体的四个侧面上

9、只有剪应力而无正应力作用，这种应力状态称为纯剪切应力状态。作用，这种应力状态称为纯剪切应力状态。LRabcddb.0zM 该定理表明：在单元体相互垂直的在单元体相互垂直的两个平面上，切应力必然成对存在，两个平面上，切应力必然成对存在，且数值相等，两者都垂直于两平面且数值相等，两者都垂直于两平面的交线，其方向则共同指向或共同的交线，其方向则共同指向或共同背离该交线。背离该交线。二、切应力互等定理二、切应力互等定理t dydxt dxdy LRacddxbdytzxy . T=M = RL 剪切虎克定律：当切应力不超过材料的剪切比例极限时（剪切虎克定律：当切应力不超过材料的剪切比例极限时（ p p

10、 ) )，切应力与切应变成正比关系。，切应力与切应变成正比关系。三、切应变、剪切胡克定律三、切应变、剪切胡克定律0 = 2 TA t.G 式中：式中：G G 是材料的一个弹性常数，称为切变模量是材料的一个弹性常数，称为切变模量切变模量、弹性模量和泊松比是表明材料弹性性质的三个常切变模量、弹性模量和泊松比是表明材料弹性性质的三个常数。对各向同性材料，这三个弹性常数之间存在下列关系：数。对各向同性材料，这三个弹性常数之间存在下列关系：2(1)EG拉压胡克定律：拉压胡克定律：E三、切应变、剪切胡克定律三、切应变、剪切胡克定律.34 34 圆轴扭转时的应力圆轴扭转时的应力.圆轴扭转时横截面应力圆轴扭转

11、时横截面应力变形几何关系变形几何关系物理关系物理关系静力学关系静力学关系34 34 圆轴扭转时的应力圆轴扭转时的应力. 1. 1. 横截面变形后仍为平面；横截面变形后仍为平面； 2. 2. 轴向无伸缩；轴向无伸缩； 3. 3. 纵向线变形后仍为平行线。纵向线变形后仍为平行线。一、圆轴扭转实验观察：一、圆轴扭转实验观察：34 34 圆轴扭转时的应力圆轴扭转时的应力.二、圆轴扭转时横截面上的应力：二、圆轴扭转时横截面上的应力：34 34 圆轴扭转时的应力圆轴扭转时的应力ababxdxj1.变形几何关系变形几何关系dx)(djRdtgdRx.1. 1. 变形几何关系：变形几何关系：dtgdxddx

12、与与 成正比。成正比。ddx 扭转角沿轴线方向变化率。扭转角沿轴线方向变化率。34 34 圆轴扭转时的应力圆轴扭转时的应力二、圆轴扭转时横截面上的应力：二、圆轴扭转时横截面上的应力：dx)(djR.2. 2. 物理关系：物理关系：虎克定律：虎克定律：GddddGGGxxd dGx代入上式得：代入上式得：ddx1. 1. 变形几何关系：变形几何关系：34 34 圆轴扭转时的应力圆轴扭转时的应力二、圆轴扭转时横截面上的应力：二、圆轴扭转时横截面上的应力：.3. 3. 静力学关系：静力学关系：d ATA 2dpAIA 令d dpT xGI代入物理关系式得：代入物理关系式得： d dGxpTIOdAd

13、A22dddd ddAATGAxGAx 极惯性矩极惯性矩34 34 圆轴扭转时的应力圆轴扭转时的应力.式中：式中： T T 横截面上的扭矩，由截面法通过外力偶矩求得。横截面上的扭矩，由截面法通过外力偶矩求得。 该点到圆心的距离。该点到圆心的距离。 I Ip p 极惯性矩，与截面形状和尺寸有关的量。极惯性矩，与截面形状和尺寸有关的量。pTI圆轴扭转时横截面上任意点的切应力公式：圆轴扭转时横截面上任意点的切应力公式：34 34 圆轴扭转时的应力圆轴扭转时的应力.尽管由实心圆截面杆推出，但同样适用于空心圆截面杆，只尽管由实心圆截面杆推出，但同样适用于空心圆截面杆，只是极惯性矩是极惯性矩I Ip p值

14、不同。值不同。222044d 2d 0.132pADIADD 对于实心圆截面：对于实心圆截面：DdO 4. 4. 公式的讨论：公式的讨论：34 34 圆轴扭转时的应力圆轴扭转时的应力.对于空心圆截面：2222444444d 2d ()32 (1)0.1(1)32pADdIADdDD )(DddOdD 4. 4. 公式的讨论：公式的讨论：.应力分布应力分布实心截面实心截面空心截面空心截面 4. 4. 公式的讨论：公式的讨论：.pTI当当令：令：maxRmaxtTWpTRIPtIWR横截面上最大切应力公式横截面上最大切应力公式式中：式中：T横截面上的扭矩横截面上的扭矩tW抗扭截面系数抗扭截面系数.

15、对于实心圆截面：对于实心圆截面：330.2216ptIDWDD对于空心圆截面：对于空心圆截面：3434(1)0.2(1-)216ptIDWDDdD. 例：内外径分别为例：内外径分别为20mm20mm和和40mm40mm的空心圆截面的空心圆截面轴，受扭矩轴，受扭矩T=1kNmT=1kNm作用，计算横截面上作用，计算横截面上A A点点的剪应力及横截面上的最大和最小剪应力。的剪应力及横截面上的最大和最小剪应力。.解：解：maxTWt10000041610534.(.) 8488.MPaminmax.10204244MPaAApTI100000150043210544.(.) 6366.MPa1kNm

16、20mm40mm.强度条件：强度条件：对于等截面圆轴：对于等截面圆轴：max max tTW强度计算三方面：强度计算三方面： 校核强度：校核强度： 设计截面尺寸：设计截面尺寸： 计算许可载荷：计算许可载荷：maxmax tTWmax tTWmax tTW334 16 = 116tDWD实：空：（）.由公式由公式d dpxI TG0dlpTdxGI 35 35 圆轴扭转时的变形圆轴扭转时的变形当长为当长为 一段杆两截面间相对扭转角一段杆两截面间相对扭转角 为为l式中：式中：T内力扭矩（可以是内力扭矩（可以是x 的函数）的函数）pI极惯性矩（可以是极惯性矩（可以是x 的函数）的函数）G切变模量切变

17、模量1 1、相对扭转角、相对扭转角.由公式由公式0dlpTdxGI 式中：式中：T截面上的扭矩截面上的扭矩pI极惯性矩极惯性矩G切变模量切变模量考虑圆轴的特点，在一定长考虑圆轴的特点，在一定长度上，扭矩、直径是常量：度上，扭矩、直径是常量：pTlGI当圆轴是阶梯轴时：当圆轴是阶梯轴时：1ni iipiTlGI35 35 圆轴扭转时的变形圆轴扭转时的变形.2 2、单位长度上的扭转角：、单位长度上的扭转角：d (rad/m)dpTxGI d180 ( /m)dpTxGI 或或GIGIp p 反映了截面抵抗扭转变形的能力，称为截面反映了截面抵抗扭转变形的能力，称为截面的抗扭刚度。的抗扭刚度。35 3

18、5 圆轴扭转时的变形圆轴扭转时的变形 .3 3、刚度条件、刚度条件 max (rad/m )pTGI max180 ( /m)pTGI或或称为许用单位扭转角。称为许用单位扭转角。 .例：实心圆轴受扭，若将轴的直径减小一半时，例：实心圆轴受扭，若将轴的直径减小一半时，横截面的最大剪应力是原来的横截面的最大剪应力是原来的 倍？圆轴倍？圆轴的扭转角是原来的的扭转角是原来的 倍？倍？max316tTTDWtp=432pTlTlDGIGjp=8 81616.例例1 1：在：在强度相同强度相同的条件下，用的条件下，用d/D=0.5d/D=0.5的空心圆轴取的空心圆轴取代实心圆轴，可节省材料的百分比为多少代

19、实心圆轴，可节省材料的百分比为多少? ?解：设实心轴的直径为解：设实心轴的直径为 d d1 1 ，由，由TdT.)Dd11022 .得：得：AADd空实2212410540783(.).0.80.80.80.81.1921.1920.80.80.5120.512. 从力学角度来看，扭转时采用空心轴要比实心轴来的经济、合理。这样，它的强度并未削弱多少，但却大大减轻了自重。. 例例2 2：传动轴传递外力偶矩：传动轴传递外力偶矩M M5kNm5kNm，材料的材料的=30MPa, G=80GPa, =30MPa, G=80GPa, =0.5=0.5/m,/m,试选择轴的直径。

20、试选择轴的直径。解：解：由500016301036d得d 947 . mm由50008010321800594d.得 d 924 . mm.例例3 3 由无缝钢管制成的汽车传动轴，外径由无缝钢管制成的汽车传动轴，外径D D=90=90mmmm、内、内径径d d=85=85mmmm，工作工作时的时的最大扭矩最大扭矩1.5kN1.5kN* *m,m, =60=60MPaMPa. .校校核此轴的强度。核此轴的强度。若保持最大切应力不变，将若保持最大切应力不变，将ABAB轴改用实心圆轴，试比轴改用实心圆轴，试比较实心轴和空心轴的重量较实心轴和空心轴的重量. 传动轴的转速为传动轴的转速为n n=500r

21、/min=500r/min，主动轮，主动轮A A 输入功输入功率率P P1 1=400kW=400kW，从动轮，从动轮C C，B B 分别输出功率分别输出功率P P2 2=160kW=160kW，P P3 3=240kW=240kW。已知。已知 =70MPa=70MPa， =1=1/m/m，G G=80GPa=80GPa。 (1)(1)试确定试确定AC AC 段的直径段的直径d d1 1 和和BC BC 段的直径段的直径d d2 2； (2)(2)若若AC AC 和和BC BC 两段选同一直径，试确定直径两段选同一直径，试确定直径d d； (3)(3)主动轮和从动轮应如何安排才比较合理主动轮和

22、从动轮应如何安排才比较合理? ?1eMABC2eM3eM1d2d1119549ePTMnmN764050040095492312404580N m400eTMT解：解：1.1.外力偶矩外力偶矩 例题例题4 4. 2.2.扭矩图扭矩图 mm2 .82m102 .821070764016 1633631Td按刚度条件按刚度条件mm4 .86m104 .8611080180764032180323429421GTd3.3.直径直径d d1 1的选取的选取 按强度条件按强度条件mN7640mN4580 187mmd 1eMABC2eM3eM1d2d 31max16dT1803241maxdGT. 按刚度条件