第七章保险的数理基础

1、第七章 保险的数理基础第一节 保险费率的厘定原则第二节 人身保险费率的厘定第三节 财产保险的费率厘定 教学目的及要求通过本章的学习，要求学生了解保险费率厘定的方法；理解保险费率厘定的原则；掌握保险费及保险费率的概念。 教学重点及难点单利、复利、现值、终值、生命表、财产险纯保费率等的计算。附一：随机事件和概率 一、随机现象和随机事件 随机现象是在一定条件下，某一实验结果或观察结果可能发生，也可能不发生，可能这样发生，也可能那样发生。 在实验或观察中，我们关心某个结果是否出现，这个结果被称为随机事件。二、概率 随机事件发生的可能性的大小，称之为随机事件的概率。 确定性法则。确定性可以用1表示。 简

2、单概率。一个事件将会发生或不会发生的概率可以用一个分数表示，取值范围从0到1。 复合概率。两个相互独立的事件将会同时发生的概率是事件将会分别发生的单个概率的乘积，即21pp 若事件不是相互独立的，即两项非独立事件的复合，其概率等于其中一个事件发生的概率，乘以该事件发生后，另一事件发生的条件概率。 如两所房屋，每一所房屋发生火灾的概率为1/50。在相互独立的条件下，两所房屋均发生火灾的概率为1/2500，在非独立条件下，若一所房屋发生火灾，另一所也会发生火灾的概率上升为1/2，则该所房屋发生火灾后引起另一所房屋也发生火灾的概率为1/100 互不相容事件 不可能同时发生的事件称为互不相容事件。两两

3、互不相容事件中，任何一件事情发生的概率等于各件事情分别发生的概率总和。 在任何一年，死亡概率加上生存概率等于1，因为一个人不是在该时期内生存，就是在该时期内死亡。附二：概率分布与期望损失 一、概率分布 用来描述各种结果及其对应概率的。 在保险经营中，由于变量一般都取有限个值，故概率分布可通过基本上互不相容的事件及其对应的概率，按顺序排列起来，用表或图说明。二、数学期望与损失期望值 一个随机变量的数学期望值是它所能取到的各个数值与其概率乘积之和。 在保险经营中，常常会涉及到损失期望值概率。损失期望值即损失的不确定性数额与损失概率的乘积总和。nnXPXPXPXPXE332211第一节 保险费率的厘

4、定原则 一、保险费与保险费率 二、保险费率厘定的基本原则一、保险费与保险费率（Premium and Premium Rate） 1.保险费，简称保费，投保人为获得经济保障而缴纳给保险人的费用。 投保人缴纳的保险费一般称为毛保费，它可以分解为纯保费和附加保费两部分。 其中，纯保费是保险人用来建立保险基金，将来用于赔偿或给付的那部分保费，也称为净保费；附加费主要用于保险人的各项业务开支和预期利润，包括职工工资、业务费、企业管理费、代理手续费、税金、利润等。一、保险费与保险费率 2.保险费率，保险费与保险金额的比例，是每一单位保险金额的保险费的计收标准，又称保险价格。通常以每百元、每千元保险金额应

5、缴的保险费表示（、） 保险费率与保险费之间存在以下关系： 保险费保险金额保险费率， 保险费率保险费/保险金额 与保险费的分解相对应，保险费率也有纯费率和附加费率之分。保险费率纯费率附加费率二、保险费率厘定的基本原则公平合理原则 指保险费率在保险人与投保人之间及各投保人之间要体现公平合理的原则。保险人与投保人之间的公平合理，一方面表现为必须贯彻补偿原则，另一方面强调保险费率不能偏高。各投保人之间的公平合理，是指保险人向投保人收取的保险费，应与保险标的所面临的危险程度相适应。 2.充分原则 收取的保费在支付赔款及合理的营业费用、税收后，仍有一部分利润。 确保保险人的偿付能力。3.相对稳定原则 在一

6、定时期内应保持保险费率的稳定。 保险费率的相对稳定性对保险双方都有好处。 从被保险人的角度来看，如果费率经常波动，会诱发投保人的投机心理，也会使投保人难以确定保费预算，增加对保险公司的反感，导致保险公司业务量的减少。 从保险人的角度来看，稳定的费率有利于稳定成本核算和业务经营。 当然，费率的稳定也是相对的,应当根据实际情况加以调整。4.促进防灾防损原则 保险费率的厘定要能促进防灾防损，减少危险事故。 一方面要鼓励和引导被保险人从事预防损失的活动。另一方面，保险公司也应积极从事防灾防损活动，其所需经费，在厘定费率时也应予以考虑。应用1 设某一地区有1000栋住房，每栋住房的价值为100 000元

7、。根据以往的资料知道，每年火灾发生的频率为每年0.1%，且为全损，若保险公司提出，如果每栋住房的房主每年缴纳110元保费，则由保险公司承担全部风险损失。分析 保险公司所收保费额=1000110=110,000 保险公司每年应赔款额=10000.1%100000=100,000 最后赔余额=110000100000=10,000 遭受火灾风险损失者的损失，由全部房主共同承担，保险公司只是起组织分摊风险的作用，并且因有效的组织风险损失分摊获得相应的报酬。应用2 假设某人（风险规避者）家中被盗的可能性为 10。损失为10000美元，我们假定他有50000美元的财富，若投保需缴纳1000美元的保费。该

8、人是否愿意投保？分析盗窃发生（P=0.1）未发生盗窃（P0.9）期望财富（美元）不投保400005000049000投保490004900049000启示 保险一方面能够满足投保人的安全保障需求，另一方面也使保险公司凭借收取的保费完全可以对被保险人进行补偿，并且可以盈利。 损失的可预计性是保险体系得以运行的基础，同时也是计算保险费率的参考。第二节 人身保险费率的厘定 一、单利、复利和现值、终值一、单利、复利和现值、终值 二、生命表二、生命表 三、保费支付方式三、保费支付方式一、单利、复利和现值、终值一、单利、复利和现值、终值 （一）单利、复利（一）单利、复利 1 1、单利、单利 不管贷款期限长

9、短，仅按本金计算利息，不管贷款期限长短，仅按本金计算利息，对利息不再付息。对利息不再付息。 I=PI=Pi n; S=P(1+i n) 式中，式中，I为利息额；为利息额；P为本金；为本金；i为利息率；为利息率；n为借贷期限；为借贷期限；S为本利和。为本利和。2 2、复利、复利 将所生利息加入本金，将所生利息加入本金，逐年计算利息。逐年计算利息。 按复利计算的本利和按复利计算的本利和公式是：公式是： 单利的实质利率逐期递减，复利的实质利率保持恒定。 短期业务一般单利计息。 长期业务一般复利计息。()niPS+1=()1+1=niPI（二）现值和终值 为了在一个特定时期为了在一个特定时期末取得一定

10、金额而现末取得一定金额而现在需要投资的本金称在需要投资的本金称现值。现值即本金，现值。现值即本金，终值即本利和。终值即本利和。 1 1、单利的现值和终值、单利的现值和终值 在单利中，现值公式在单利中，现值公式为：为：P= 2 2、复利的现值和终值、复利的现值和终值 复利的现值公式为：复利的现值公式为： P=inS+1niS)+1 (二、生命表二、生命表生命表：生命表：又称死亡表，根据一定时期某一国家或地区的特定人群的有关生存、死亡的统计资料，加以分析整理形成的表格。 几个基本栏目：x：被观察的人口年龄 ：生存数，指x岁的生存人数 ：死亡数，指x岁的人在一年内死亡的人数 ：年生存率，指x岁的人在

11、一年后仍生存的概率 ：年死亡率，指x岁的人在一年内死亡的概率xlxdxpxq生命表的选择生命表的选择 按对象：国民生命表、经验生命表 按性别：男子表、女子表、男女混合表 不同寿险业务的精算，应结合不同分类，选择适当的生命表作为预定死亡率的基础 选择生命表作为精算基础时，应考虑生命表人群的死亡状况与计算对象的死亡状况接近。 国民生命表：以一个国家或特定地区人口为对象，根据该国或地区人口统计等资料编制的一种反映特定区域普通国民的生死状况的生命表。 经验生命表：根据人身保险被保险人的死亡经验制成的一种生命表。被保险人的生死状况比同年龄普通民众生死状况好。三、人身保险费的支付方式趸缴保费：一次性付清（

12、除年金保险以外，很少有人寿保险是以趸缴的方式购买，但趸缴是费率计算的基础）定期缴纳均衡保费：定期缴纳固定款额定期缴纳非均衡保费（自然保费）：定期缴纳可变款额第三节 财产保险费率的厘定 一、损失率 损失率指保险财产价值遭受损失的比率，是计算纯费率的关键。 损失率 保险金额损失率是保险费率的最低限度。保险金额保险赔偿二、计算均值、均方差 为避免偶然性，不能以某一次或某一很短时期的损失率作为制定纯费率的依据，通常保险人根据以往若干年（至少5年）资料计算损失率，求均值，得平均损失率，再加上一定的安全加成作为纯费率。例 下表为过去十年某财产险的损失率资料。 则均值为：年份12345678910损失率%4

13、.8 4.55.65.34.64.85.24.15.35.8%5=10%8 . 5+%3 . 5+%1 . 4+%2 . 5+%8 . 4+%6 . 4+%6 . 5+%5 . 4+%8 . 4=nX 从上表的实际损失率看，没有一年为5%，最高年份达5.8%，最低年份达4.1%，具有不稳定性，这种不稳定性，在统计学上称为某种指标的波动率，测定波动率的方法就是计算均方差，这就是计算损失率的波动幅度。 均方差的公式为： 其中X为过去每一年的损失率，a为均值，n为计算损失率的年数。()nX2a 求出均方差为0.00529 即过去十年中损失率的波动幅度为0.00529。 三、计算稳定系数 偏差系数为：

14、10.58%，波动幅度与算术平均数的比率为偏差系数。 在具体操作中，为抵消实际损失对于往年损失率均值的偏差，要在算术平均数上加个稳定系数，这个稳定系数基本上相当于偏差系数，为避免每次计算均方差的麻烦，实际工作中常将稳定系数取值确定在1020%，可保证保险财务的稳定。四、确定纯费率 纯费率损失率算术平均数（1+稳定系数） 上例：纯费率0.05（1+0.1058）5.529% 或损失率+均方差=0.05+0.00529=0.05529 毛费率纯费率+附加费率 在国际保险业务中，为便于计算，附加费率经常表示为纯费率（而不是保险总金额）的一定比例，这时毛费率的计算公式是： 毛费率纯费率（1+附加费率） 当保险公司收取保费后，多将其中的一部分资金用于投资，投资收益可以充当保费收入，使保险的毛费率降低，增强保险产品的竞争力。 毛费率投资收益率附加费率）纯费率（+1+1作业五 1、已知某保险公司在四年后要支付某被保险人1万元保险金，求此保险金的现值。