江苏省专转本高数真题及答案

1、江苏省2012年普通高校“专转本”选拔考试高等数学试题卷(二年级)注意事项：出卷人：江苏建筑大学-张源教授1、考生务必将密封线内的各项目及第2页右下角的座位号填写清楚.2、考生须用钢笔或圆珠笔将答案直接答在试卷上，答在草稿纸上无效.120分钟.3、本试卷共8页，五大题24小题，满分150分，考试时间、选择题(本大题共6小题，每小题4分，满分24分)1、极限 lim (2xsin sn");x立 x xB. 2A.C. 3D.2、f(x)(x -2) sin x L2，则函数x(x1 2 -4)f (x)的第一类间断点的个数为3、A.f(x)A.只有B. 113= 2x2 -5x2 ,

2、则函数 个最大值C.f(x)(D.C.既有极大值又有极小值B.D.)只有一个极小值 没有极值8、设函数 y =x(x2 2x，1)2 - e2x,贝U y(0)二4、设z=ln(2x)+-在点(1,1)处的全微分为(yA. dx -3dyB. dx 3dy1 ,C. 3 dx 3dy1，D. - dx-3dy5、A.sec?04d!f(cosi'sin*dPB.sec?o'd二！f(Pcosi”sin)D.,sec1C.北d0f(Pcos日，Psin日)dP4,sec11我叫f(*cos日，Psin)PdP46、卜列级数中条件收敛的是QOnnA.(-1)-:nd2n1B(7)n

3、(3)n12C.O0Znl(-1)n2nDOnD.nw-n二、填空题(本大题共6小题，每小题4分，共124分)f(0) =7要使函数f(x)=(1-2x)x在点x=0处连续，则需补充定义9、设y=xx(x>0),则函数y的微分dy=T TT10、设向量a, b互相垂直，且 a3,ba 2b二x111、设反常积分edx=,则常数a=a2二(_1)nn12、哥级数£-一"-3)n的收敛域为n4n3三、计算题(本大题共8小题，每小题8分，共64分)13、求极限2x2cosx-2x3ln(1x)14、设函数y=y(x)由参数方程*12Xt所确定，求,-yy=t221ntdxd

4、x15、求不定积分2x12cos一dxx17、已知平面口通过M(1,2,3)与x轴，求通过N(1,1,1)且与平面n平行，又与x轴垂直的直线方程.18、设函数z=f(x,xy)+中(x2+y2),其中函数f具有二阶连续偏导数，函数中具有二阶2z连续导数，求.：:x：:y19、已知函数f(x)的一个原函数为xex,求微分方程y"+4y'+4y=f(x)的通解.一120、计算二重积分JJydxdy,其中D是由曲线y=<x-1,直线y=x及x轴所围成的平d2面闭区域.四、综合题(本大题共2小题，每小题10分，共20分)221、在抛物线y=x(xa0)上求一点P,使该抛物线与其

5、在点P处的切线及x轴所围成的2平面图形的面积为2,并求该平面图形绕x轴旋转一周所形成的旋转体的体积.3x_322、已知定义在(，,一)上的可导函数f(x)满足方程xf(x)-41f(t)dt=x3,试求:(1)函数f(x)的表达式；(2)函数f(x)的单调区间与极值；(3)曲线y=f(x)的凹凸区间与拐点.五、证明题(本大题共2小题，每小题9分，共18分)1323、证明：当0<x<1时，arcsinx>x+-x.0 g(t)dt24、设 f (x) = <2,g(0)6x#0,其中函数g(x)在(q,+=c)上连续，且limg(x)=3x101一cosxx=0一.一.1

6、证明：函数f(x)在x=0处可导，且f(0)=1一.选择题1-5 B C C A B D二.填空题7-12 e 128xn(1 ln x)dx 5 1n 2 (0,6三.计算题13、求极限史)2 ccx 2cosx -2x3 ln(1 x)原式=limx_02x 2cosx -22x-2sin xx - sin x4x32x3=limx_01 - cosx6x2=limxQ 6x1214、设函数= y(x)由参数方程=t42 一 .y =t +2lnt所确定，求%d2ydx2dy原式=一dxdydtdxdt22t - t1±t22td俘)dxdtdxdt21 t22t2t2 12x

7、1 .15、求不定积分 2一 dx. cos x 2x 1-原式= 2 dx = (2x 1)d tanx = (2x 1) tanx - tanxd(2x 1) cos x= (2x +1)tanx -2 Jtanxdx = (2x+1)tanx + 2ln cosx + C16、计算定积分21/哀t13冗原式二令v2x-1=t,则原式=f2dt=2f2dt=2arctant=11+t2.11+t216217、已知平面口通过M(1,2,3)与x轴，求通过N(1,1,1)且与平面n平行，又与x轴垂直的直线方程.S = n i -(0,-2,-3),解：平面n的法向量n=oM又不=(0,3,2)

8、,直线方向向量为4Ts-工口x-1y-1z-1直线万程：=2=0-2-318、设函数z=f(x,xy)+邛(x2+y2),其中函数f具有二阶连续偏导数，函数中具有二阶“一：2z连续导数，求.；x2y_2解：工=f1f2y+：泞2x-z=f12xf2xyf222x2y;；xFx：:y19、已知函数f(x)的一个原函数为xex,求微分方程y"+4y'+4y=f(x)的通解.x-x2斛：f(x)=(xe)=(x+1)e,先求y+4y+4y=0的通解，特征万程：r+4r+4=0,味2=2,齐次方程的通解为Y=(Ci+C2x)e".令特解为y*=(Ax+B)ex,代入原方程得

9、：9Ax+6A+9B=x+1,有待定系数法得:9A =1 丘/口,解得6A+9B =1A=111、,9，所以通解为Y=(Ci+C2x)e+(-x+)exB=19272720、计算二重积分JJydxdy,其中D是由曲线y=Jxi,直线y='x及x轴所围成的平d2面闭区域.1y2 11原式=10ydy.2ydx = -四.综合题221、在抛物线y=x(xa0)上求一点P,使该抛物线与其在点P处的切线及x轴所围成的2平面图形的面积为2,并求该平面图形绕x轴旋转一周所形成的旋转体的体积.322斛：设P点(,5)(x0A0),则k切=2x0,切线：，y%=2x0(x%)即，y +x0 =2%x,

10、x02由题意o (2yx02x07;)dy =2 ,得 x0 =23P(2,4)16n152422Vx-.xdx-二(4x-4)dx=x_322、已知定义在(,")上的可导函数f(x)满足方程xf(x)-4(f(t)dt=x-3,试求：(1)函数f(x)的表达式；(2)函数f(x)的单调区间与极值；(3)曲线y=f(x)的凹凸区间与拐点.x32斛：(1)已知xf(x)-4f(t)dt=x-3两边同时对x求导得：f(x)+xf(x)-4f(x)=3x323.23即.y-y=3x则y=-3x+cx由题息得：f(1)=-2,c=1,则f(x)=-3x+xx，(2) f(x)=3x26x=Q

11、x=0,x2=2列表讨论得在(-°o,0)u(2,+)单调递增，在(0,2)单调递减。极大值f(0)=0,极小值f(2)=4(3) f“(x)=6x-6=0,x=1列表讨论得在(8,1)凹，在(1,十至)凸。拐点(1-2)五、证明题1323、证明：当0<x<1时，arcsinx>x+x.613,112一.解：令f(x)=arcsinx-xx,f(0)=0f(x)：1x,f(0)=06.1.x22-一.，、x.1，、一一，fXx)=,x-x=x(.1-1)>0,在0cx<1,f'(x)单调递增,(1-x2)3(1-x2)3；g(t)dt24、设 f (x) = «2国(0)f'(x)>f(0)=0,所以在0<x<1,f(x)单调递增，则有f(x)>f(0)=0,得证。x#0,其中函数g(x)在(q,)上连续，且limg(x)=3x01-cosxx=0证明：函数f(x)