Dimensional analysis：量纲分析

1、 Dimensional analysis is a method for helping determine how the selected variables are related and for reducing significantly the amount of the experimental data that must be collected. DA provides qualitative information about the model. Unit? mph m/s -v(t)Dimensional Analysis 量纲是物理学中的一个重要问题。它可以定性地

2、表示出物理量与基本量之间的关系； 可以有效地应用它进行单位换算；可以用它来检查物理公式的正确与否；还可以通过它来推知某些物理规律。 一、单位与量纲一、单位与量纲1 1、单位、单位 数学建模的目的是解决实际问题，而实际问题中的量都有数学建模的目的是解决实际问题，而实际问题中的量都有相应的单位。数学中纯粹的数在实际问题中不具有明确的含义。相应的单位。数学中纯粹的数在实际问题中不具有明确的含义。如在实际问题中谈某个长度量，在关注其数值的同时还必须关如在实际问题中谈某个长度量，在关注其数值的同时还必须关注其单位，否则，我们便没有把这个量完全弄清楚。但实际问注其单位，否则，我们便没有把这个量完全弄清楚。

3、但实际问题中的诸多量并非全是相互独立的，其中一些量能起到基本量题中的诸多量并非全是相互独立的，其中一些量能起到基本量的作用，其它量是这些基本量的符合某种规律的组合，如速度的作用，其它量是这些基本量的符合某种规律的组合，如速度是长度与时间这两个基本量的一种规定的组合。是长度与时间这两个基本量的一种规定的组合。如果规定了基本量的单位，其它量的单位也随之确定。如果规定了基本量的单位，其它量的单位也随之确定。量纲量纲 是物理量的单位种类，又称因次，如长度、宽度、高度、是物理量的单位种类，又称因次，如长度、宽度、高度、深度、厚度等都可以用米、英寸、公尺等不同单位来度量，深度、厚度等都可以用米、英寸、公尺

4、等不同单位来度量，但它们属于同一单位，即属于同一单位量纲但它们属于同一单位，即属于同一单位量纲( (长度量纲），用长度量纲），用L L表示。表示。定义定义：一组物理量，若彼此相互独立，且其它物一组物理量，若彼此相互独立，且其它物理量均是这些物理量的合乎某种规律的组合，理量均是这些物理量的合乎某种规律的组合，则称这些物理量为基本物理量。则称这些物理量为基本物理量。2 2、基本物理量、基本物理量导出量：由基本量通过自然规律导出的量。例如：导出量：由基本量通过自然规律导出的量。例如：速度、加速度、力、速度、加速度、力、定义：一物理量与基本物理量之间的规定关系，称定义：一物理量与基本物理量之间的规定关

5、系，称为该量的量纲。这种规定关系常为该量的量纲。这种规定关系常，因此也称为量纲积。即任一物理，因此也称为量纲积。即任一物理量量Q的量纲皆可表示成的量纲皆可表示成Q=LM TIJN其中，其中，L，M，T，I，J，N是基本物理量的量纲；是基本物理量的量纲；称量纲指数均为称量纲指数均为0 0的物理量为无量纲量。的物理量为无量纲量。基本物理量 名称 量纲 单位 符号 长度 L 米 m 质量 M 千克 kg 时间 T 秒 s电流强度 I 安培 A 温度 开尔文 K 光强 J 坎德拉 cd物质的量 N 摩尔 mol, , , , , , , , , , , , 称为量纲指数。称为量纲指数。基本量 导出量一

6、个物理问题中诸多的物理量分成基本物理量（基本量）和其他物理量（导出量），后者可由前者通过某种关系得到，前者互为独立的物理量。基本量个数取基本量纲个数，所取定的基本量必须包括三个基本量纲在内，这就是选取基本量的原则。 如、v 、l可以构成一组基本量，包含了L 、M 、T这三个基本量纲，而a 、v 、l就不能构成基本量，因为不包含基本量纲M。物物理理量量的的量量纲纲长度长度 l 的量纲记的量纲记 L=l质量质量 m的量纲记的量纲记 M=m时间时间 t 的量纲记的量纲记 T=t动力学中动力学中基本量纲基本量纲 L, M, T速度速度 v 的量纲的量纲 v=LT-1导出量纲导出量纲221rmmkf 加

7、速度加速度 a 的量纲的量纲 a=LT-2力力 f 的量纲的量纲 f=LMT-2引力常数引力常数 k 的量纲的量纲 k对无量纲量对无量纲量 ， =1(=L0M0T0)=fl2m-2=L3M-1T-24 4、量纲与单位的关系、量纲与单位的关系1 1）、量纲和单位都在反映物理量的特征，反映该物理量与基）、量纲和单位都在反映物理量的特征，反映该物理量与基本物理量间的关系。本物理量间的关系。2 2）、任何物理量的量纲是唯一的，但单位可以有多个。）、任何物理量的量纲是唯一的，但单位可以有多个。)./(),/()/(,1hkmskmsmLT还可以是也可以是但其单位可以是如速度的量纲是3 3）、有的量可以没

8、有量纲，但它可能有单位。如角度）、有的量可以没有量纲，但它可能有单位。如角度4 4）、物理量的量纲及其相互关系反映了各量之间的内在属）、物理量的量纲及其相互关系反映了各量之间的内在属性，这是量纲关系能用于建立数学模型的理论基础。性，这是量纲关系能用于建立数学模型的理论基础。量纲分析在实际问题中的应用量纲分析在实际问题中的应用假设假设任务任务Ex：A simple pendulum)1 (321glmt 321glmt lmgmwhat is the expression of the period t ?Assume t, m, l, g2/ 12/ 10321gltglt2Result332

9、12TLMT12003321设设 f(q1, q2, , qm) = 0 mjXqniaijij, 2 , 1,1ys = (ys1, ys2, ,ysm)T , s = 1,2, m-rF( 1, 2, m-r ) = 0 与与 f (q1, q2, , qm) =0 等价等价, F未定未定Pi定理定理 (Buckingham)是与量纲单位无关的物理定律，是与量纲单位无关的物理定律，X1,X2, , Xn 是基本量是基本量纲纲, n m, q1, q2, , qm 的量纲可表为的量纲可表为,mnijaA量纲矩阵记作量纲矩阵记作rA rank若线性齐次方程组线性齐次方程组0Ay有有 m-r 个

10、基本解，记作个基本解，记作mjyjssjq1为为m-r 个相互独立的无量纲量个相互独立的无量纲量, 且且则则)()()()()()()(201002)(100100)(121311fsvlgTMLAg = LT-2, l = L, = L-3M, v = LT-1, s = L2, f = LMT-2量纲分析示例：量纲分析示例：波浪对航船的阻力波浪对航船的阻力航船阻力航船阻力 fmjXqniaijij, 2 , 1,1航船速度航船速度v, 船体尺寸船体尺寸l, 浸没面积浸没面积 s, 海水密度海水密度 , 重力加速度重力加速度g。mnijaAm=6, n=30),(fsvlg0),(21mqq

11、qfTTTyyy) 1, 0, 0()0, 1, 0()0, 0, 1(32111221221313glvlsg lf11,0,220,2,0,1,3, 1,Ay=0 有有m-r=3个基本解个基本解rank A = 3rank A = rAy=0 有有m-r个基本解个基本解ys = (ys1, ys2, ,ysm)T s = 1,2, m-rmjyjssjq1m-r 个无量纲量个无量纲量0),(21mqqqf0),(fsvlg F( 1, 2 , 3 ) = 0与与 (g,l, ,v,s,f) = 0 等价等价flgslvl得到阻力为得到阻力 f 的显式表达式的显式表

12、达式F=0),(213 未定未定mjyjssjq1F( 1, 2, m-r ) = 0 与与 f (q1, q2, , qm) =0 等价等价221213,),(lsglvglf四、案例原子弹爆炸的能量估计四、案例原子弹爆炸的能量估计1 1、问题的提出、问题的提出 19451945年年7 7月月1616日，美国科学家在墨西哥州阿拉日，美国科学家在墨西哥州阿拉莫戈多沙漠进行了莫戈多沙漠进行了“三位一体实验三位一体实验”，试爆了全球，试爆了全球第一颗原子弹。人们想了解这次爆炸的威力究竟有第一颗原子弹。人们想了解这次爆炸的威力究竟有多大。英国物理学家多大。英国物理学家Taylor(1886-1975

13、)Taylor(1886-1975)通过研究通过研究爆炸时的录像带，建立数学模型对这次爆炸所释放爆炸时的录像带，建立数学模型对这次爆炸所释放的能量进行了估计，得到的结果为的能量进行了估计，得到的结果为19.219.2千吨。这次千吨。这次爆炸所释放的实际能量为爆炸所释放的实际能量为2121千吨。千吨。 那么，那么，TaylorTaylor是如何对是如何对原子弹爆炸的能量进行原子弹爆炸的能量进行估计的呢？估计的呢？ TaylorTaylor认为，爆炸的能量与爆炸形成的认为，爆炸的能量与爆炸形成的“蘑菇蘑菇云云”半径大小有关，他根据录影带，测出不同时刻半径大小有关，他根据录影带，测出不同时刻爆炸所产

14、生的爆炸所产生的“蘑菇云蘑菇云”半径见下表。半径见下表。 表1 时刻t(ms)所对应的“蘑菇云”半径r(m) t r(t) t r(t) t r(t) t r(t) t r(t)0.10 11.10.80 34.2 1.50 44.43.53 61.115.0 106.50.24 19.90.94 36.31.65 46.03.80 62.925.0 130.00.38 25.41.08 38.91.79 46.94.07 64.334.0 145.00.52 28.81.22 41.01.93 48.74.34 65.653.0 175.00.66 31.91.36 42.83.26 59.

15、04.61 67.362.0 185.02、建立数学模型、建立数学模型 TaylorTaylor建立计算建立计算爆炸能量的数学模型所采用的是爆炸能量的数学模型所采用的是量纲分析法。记爆炸能量为量纲分析法。记爆炸能量为E E，将，将“蘑菇云蘑菇云”半径近半径近似看成一个球形。除时刻似看成一个球形。除时刻t t和能量和能量E E外，外， 与与“蘑菇云蘑菇云”半径半径r r有关的物理量还可能有有关的物理量还可能有“蘑菇云蘑菇云” ” 周围的空周围的空气密度（记为气密度（记为 ）和大气压强）和大气压强P P，将要寻求的关系为：，将要寻求的关系为：) 1 (),(pEtr记作更一般的形式 )2(0),(

16、pEtrf21322 , , , ,MTLPMLMTLETtLr20210111001320153A 取3个基本量纲：长度L，质量M和时间T，（2）中各个物理量的量纲分别是 由此得到量纲矩阵为齐次方程 Ay=0的基本解为TTyy) 1 , 5/3, 5/2, 5/6 , 0()0 , 5/1 , 5/1, 5/2, 1 ( 根据量纲分析的Bucking-ham Pi定理，由这2个基本解可以得到2个无量纲量2/51/51/51/512656/52/53/51/5223()()rtErt Et PrEPE（3）（4） 1212且存在某个函数F使得 F(,)=0与（2）等价。取（5）的特殊形式= (

17、)，由（3）（4）有（5）651/51/52232651/51/523()()()()t Prt EEt Et PrE于是（6）3 3、数值计算、数值计算 为了利用表为了利用表1中中t和和r的数据由（的数据由（6）确定原子弹爆炸的能）确定原子弹爆炸的能量量E，必先估计，必先估计 的大小。的大小。 2（）651/5223()01t PTaylorE认为，建议（0）21/5()t Er由（6）有（7）P上式表明，半径与大气压强 无关，而当E， 一定时2 /5rt与成正比。现检验这个关系，设brat（8） 其中其中 是待定系数，对（是待定系数，对（8 8）取对数后用线性最小）取对数后用线性最小二乘拟

18、合，根据表二乘拟合，根据表1 1中中t t和和r r的数据得到的数据得到, a b0.4052b 2量纲分析得到的结果一致5101010,51logloglog ()(9)22Ert3为了由（7）和表1的数据估计E，Taylor对（8）两边取对数作线性最小二乘拟合，取 1.25kg/m 有xc10101051,log,log,log ( )(10)22Eyc yrx xt c6.9038c 138.0276 10cE由 和 容易算出焦耳1214.184 10千吨TNT的核子能量焦耳原子弹爆炸原子弹爆炸的能量是的能量是19.1863千吨千吨原子弹爆炸能量的实际值原子弹爆炸能量的实际值21千吨千吨

19、基本一致基本一致建模实例：空间点热源的扩散问题建模实例：空间点热源的扩散问题。一、问题的提出一、问题的提出设初始时刻设初始时刻(t=0)(t=0)在空间中有一热量为在空间中有一热量为e e的瞬时热源位的瞬时热源位于原点处于原点处(r=0),(r=0),热量通过介质向无穷远空间扩散，试热量通过介质向无穷远空间扩散，试研究点热源的扩散规律。研究点热源的扩散规律。二、模型假设二、模型假设1.1.任意时刻任意时刻t,t,空间任意一点空间任意一点( (径向距离为径向距离为r)r)的温度是的温度是u u。2 2、介质的初始温度为、介质的初始温度为0 0。3 3、问题的基本量纲为长度、质量、时、问题的基本量

20、纲为长度、质量、时间和温度的量纲；即间和温度的量纲；即L,M,T,u=L,M,T,u=。三、模型的建立三、模型的建立 空间任意一点的温度为空间任意一点的温度为u=u(r,t,e,c,k)u=u(r,t,e,c,k)其中其中c c为介质的体积比热，即单位体积的介为介质的体积比热，即单位体积的介质温度升高一度所需热量。质温度升高一度所需热量。K K为介质的热扩为介质的热扩散系数，即由散系数，即由q=-kq=-ku/ru/r确定（确定（q q是单位时是单位时间通过单位面积的热量）。间通过单位面积的热量）。据据Buckingham PiBuckingham Pi定理设定理设f(u,r,t,e,c,k)=0f(u,r,t,e,c,k)=0r=l,t=T,e=Lr=l,t=T,e=L2 2MTMT-2-2为热量为热量e e的量纲，的量纲，c = e/Lc = e/L3 3u= Lu= L-1.-1.M M. .T T-2.-2.-1-1 k=Lk=L. .M M. .T T-3.-3.-1-12,TLerukqLLuru1322LMTTLeLTL