添辅助线的规律

1、添辅助线的规律 （一）添辅助线的目的：    解证几何问题的基本思路就是要利用已知几何条件求得所求几何关系。这往往需要将已知条件与所求条件集中到一个或两个几何关系十分明确的简单的几何图形之中。如一个三角形（特别是直角三角形、等腰三角形），一个平行四边形（特别是矩形、菱形、正方形），一个圆，或两个全等三角形，两个相似三角形之中。这种思路可称为条件集中法。    为了达到条件集中的目标，我们需要将远离的、分散的已知条件和所求条件，通过连线、作线、平移、翻转、旋转等方法来补全或构造一个三角形、一个平行四边形、一个圆、或两个全等三角

2、形、两个相似三角形。以便于运用这些图形的几何关系（性质定理）解题，这就需要添加辅助线。    添加什么样的辅助线，总由以下三方面决定：    由所求决定：问什么，先要作什么。    由已知决定：已知什么，作出什么，并为充分运用已知条件提供的性质定理添加辅助线。    由条件集中的需要决定：为补全或构造几何关系十分明确的一个三角形、一个平行四边形、一个圆，或两个全等三角形、两个相似三角形而添加辅助线。（二）添辅助线的规律：    （1）三角形中：&

3、#160;   等腰：常连底边上的中线或高或顶角的平分线（构造两个全等的直角，或便于运用等腰三线合一的性质。如图1）    直角斜边上有中点：连中线（构造两个等腰，或便于运用直角斜边上的中线的特殊性质。如图2）    斜有中点或中线：连中线(构造两个等底同高的等积。如图3）；    或自左右两顶点分别作中线的垂线（构造两个全等直角三角形。如图4）；    或连中位线、或过一中点作另一边的平行线（构造两个相似比为1：2的相似，或便于运用中位线定理。

4、如图5、6）；或延长中位线或中线的一倍（构造两个全等或补全为一个平行四边形。如图7、8）。或延长中线的1/3（构造两个全等或补全为一个平行四边形。如图9）。 有角平分线：过其上某一交点作角两边的垂线（构造两全等的直角。如图10）或一边或两边的平行线（构造一个或两个等腰或一菱形。如图11）。    有角平分线：在此角的一边上自顶点取一段等于另一边并作相关连线（构造两个全等。如图12、13）    有角平分线遇垂线：常延长垂线（构造等腰。如图14）。 （二）梯形：    延长两腰交于一点（构造两相似。如图15

5、），    由小底的一端作一腰的平行线（构造一集中有两腰及上下两底差的和一平行四边形。如图16）。    由小底的两端作大底的垂线（构造两直角和一矩形。如图17）。    有对角线时：由小底的一端作另一对角线的平行线（构造一集中有两对角线及上下两底和的和一平行四边形。如图18）。    连小底一端与另一腰中点并与大腰的延长线相交（构造两全等及一与梯形等高等积的。如图19）。    过一腰的中点作另一腰的平行线（构造两全等及与梯形等积的平行四边形。

6、如图20）。    过小底的中点分别作两腰的平行线（构造一集中有两腰及上下两底差的和两个平行四边形。如图21）。 （三）圆：    有弦：连过弦端点的半径，连垂直于弦的直径或弦心距（构造直角，便于运用垂径定理、勾股定理、锐角三角函数解题）；或作过弦一端点的切线及相关的圆心角、圆周角（便于运用弦切角定理。如图22）。    有直径及垂直直径的弦或半弦，连结弦与直径的端点（构造三个相似的直角，便于运用直角的性质及射影定理。如图23）。    有圆内接四边形：连对角线（构造较多相等

7、的圆周角。如图24）；或延长四边形的某一边（构造与内对角相等的外角。如图25）。    圆外有切线：连过切点的半径或直径（构造垂直关系）；或作过切点的弦及相关的圆心角、圆周角（便于运用弦切角定理。如图26）。    圆外有两条相交切线：连过切点的半径，并作切线交点与圆心的连线（构造两全等的直角三角形）；或作过交点和加以的割线（便于运用切线割线定理）；或连结两切点（构造一等腰、三对全等的直角、被切线交点与圆心的连线垂直平分的弦，便于运用等腰、直角、全等以及射影定理。如图27）。    有相交弦或相交于圆外的

8、割线切线：连结不同弦的端点或不同割线在圆上的交点（构造相似，便于运用比例线段及外角定理。如图28、29、30）。    两圆相交：作连心线、公共弦，甚至两圆心到公共弦两端点的连线（构造两等腰、补全一筝形，便于运用连心线垂直平分公共弦的定理。如图31）。    两圆外切：作连心线及内、外公切线、连切点、连半径（构造一集中有两条弦及外公切线长的直角、一集中有两圆半径、半径之和及外公切线长的直角梯形。如图32）。    两圆内切：作连心线及外公切线（便于运用连心线与公切线的垂直关系。如图33）。 &#

9、160;  两圆外离：作连心线及个公切线或内公切线，并过小圆圆心作公切线的平行线（构造一集中连心线长、公切线长、两圆半径差或和的直角。如图34、35）。1图中已知有中线，倍长中线把线连。 旋转构造全等形，等线段角可代换。 多条中线连中点，便可得到中位线。 倘若知角平分线，既可两边作垂线。 也可沿线去翻折，全等图形立呈现。 角分线若加垂线，等腰三角形可见。 角分线加平行线，等线段角位置变。 已知线段中垂线，连接两端等线段。2人说几何很困难，难点就在辅助线。 辅助线，如何添？把握定理和概念。 还要刻苦加钻研，找出规律凭经验。 题中有角平分线，可向两边作垂线。 线段垂直平分线，可向两端把线

10、连。 三角形中两中点，连结则成中位线。 三角形中有中线，延长中线同样长。 成比例，正相似，经常要作平行线。 圆外若有一切线，切点圆心把线连。 如果两圆内外切，经过切点作切线。 两圆相交于两点，一般作它公共弦。 是直径，成半圆，想做直角把线连。 作等角，添个圆，证明题目少困难。 辅助线，是虚线，画图注意勿改变。 图中有角平分线，可向两边作垂线。 也可将图对折看，对称以后关系现。 角平分线平行线，等腰三角形来添。 角平分线加垂线，三线合一试试看。 线段垂直平分线，常向两端把线连。 要证线段倍与半，延长缩短可试验。 三角形中两中点，连接则成中位线。 三角形中有中线，延长中线等中线。 平行四边形出现，对称中心等分点。 梯形里面作高线，平移一腰试试看。 平行移动对角线，补成三角形常见。 证相似，比线段，添线平行成习惯。 等积式子比例换，寻找线段很关键。 直接证明有困难，等量代换少麻烦。 斜边上面作高线，比例中项一大片。 半径与弦长计算，弦心距来中间站。 圆上若有一切线，切点圆心半径连。 切线长度的计算，勾股定理最方便。 要想证明是切线，半径垂线仔细辨。 是直径，成半圆，想成直角径连弦。 弧有中点圆心连，垂径定理要记全。 圆周角边两条弦，直径和弦端点连。 弦切角边切线弦，同弧对角等找完。 要想作个外接圆，各边作出中垂线。 还要作个内接圆，内角平分线梦圆 如果遇到相交圆，不要忘作