【教案】北师大版七年级数学下册1.7 第2课时多项式除以单项式 教案

1、7整式的除法第2课时多项式除以单项式情景导入置疑导入归纳导入复习导入类比导入悬念激趣情景导入同学们,我这儿有一道题,看看你们能不能利用现有的知识解决呢?张大爷家有一块长方形的田地,它的面积是6a2+2a,宽为2a,聪明的你能帮张大爷求出田地的长吗?图1-7-3说明与建议 说明:从学生熟悉的生活情景出发,找准新知识的起点,提出疑问,激发学生的学习兴趣和求知欲,不仅使学生快速地进入学习状态,同时又让学生觉得数学源于生活又应用于生活,使学生在不知不觉中感受学习数学的乐趣.建议:学生看图读题后回答并说明理由:长方形的面积=长×宽,从而得出已知面积和宽,则田地的长=(6a2+2a)÷

2、2a.教师板书:(6a2+2a)÷2a,然后教师手指算式追问:这是何种类型的运算?我们以前学过吗?学生通过观察、思考,容易得出“多项式除以单项式”,教师顺势板书课题:第2课时多项式除以单项式.复习导入活动内容1:同底数幂的除法的运算性质是什么?活动内容2:计算:(1)-12a5b3c÷(-4a2b);(2)(-5a2b)2÷5a3b2;(3)4(a+b)7÷(a+b)3;(4)(-3ab2c)3÷(-3ab2c)2.说明与建议 说明:同底数幂的除法与单项式除法是学习多项式除以单项式的基础,只有熟练掌握同底数幂的除法与单项式除法,才能正确地进行多

3、项式除以单项式的运算.同底数幂的除法是学习整式除法的基础,在复习过程中一定要落实好同底数幂的除法法则.建议:活动内容1由学生口答,活动内容2通过课件展示,学生独立做题,教师巡视并指导.类比导入提出问题:(1)我们前几天学习了单项式与多项式相乘的法则,请你计算:(a+b+c)m=ma+mb+mc. (2)根据除法的意义,你能描述下面的这个式子的意义吗?这个商是多少?(ma+mb+mc)÷m.说明与建议 说明:用乘法与除法的意义,归纳得出运算法则.建议:教学时教师主要注意对学生从特殊到一般的认识方法的培养,提示归纳新规律的意识,提高学生的积极参与性.教学时,可以设计成如下环节:

4、根据除法的意义,上面的算式就是要求一个式子,使它与m相乘的积等于ma+mb+mc,也就是()·m=ma+mb+mc.因为(a+b+c)·m=ma+mb+mc,所以(ma+mb+mc)÷m=a+b+c. 教材母题第30页例2计算:(1)(6ab+8b)÷2b;(2)(27a3-15a2+6a)÷3a;(3)(9x2y-6xy2)÷3xy;(4)(3x2y-xy2+12xy)÷(-12xy).【模型建立】多项式除以单项式法则类似多项式与单项式的乘法法则,将其转化为已学的单项式的除法,过程中注意关注符号的变化.【变式变形

5、】1.计算(14a3b2-21ab2)÷7ab2等于(A)A.2a2-3B.2a-3C.2a2-3bD.2a2b-32.若3x2y2·M=6x2y4-3x4y2-3x2y2,则多项式M是(A)A.2y2-x2-1B.2y2-x2yC.3y2-xy2-1D.-x8+x63.当a=34时,代数式(28a3-28a2+7a)÷7a的值是(B)A.254B.14C.-94D.-44.计算:(16a2b4+8a4b2-4a2b2)÷(-4a2b2)=-4b2-2a2+1. 5.已知(6x4y5+)÷(-6x2y4)=-x2y+xy-2,则所遮住

6、的代数式为(-6x3y5+12x2y4). 6.一个长方形的面积为(6ab2+4a2b)cm2,一边长为2ab cm,则它的周长为(6b+4a+4ab) cm. 7.想一想,下列计算正确吗?(1)(3x2y-6xy)÷6xy=0.5x;(2)(5a3b-10a2b2-15ab3)÷(-5ab)=a2+2ab+3b2;(3)(2x2y-4xy2+6y3)÷(-12y)=-x2+2xy-3y2.答案:(1)不正确(2)不正确(3)不正确8.计算:(1)(3xy+y)÷y;(2)(ma+mb+mc)÷m;(3)(6c2d-c3d3

7、)÷(-2c2d);(4)(4x2y+3xy2)÷7xy;(5)(8x3y2+12x3y4x2)÷(4x2);(6)(a+b)(ab)(ab)2+2b(ab)÷4(ab).答案:(1)3x+1(2)a+b+c(3)-3+12cd2(4)47x+37y(5)2xy23xy+1  (6)b 命题角度1 多项式除以单项式多项式除以单项式的基本思想是“转化”,即把多项式除以单项式转化为单项式除以单项式.例计算:(12a3b2c3-6a2b+3ab)÷(-3ab).解:(12a3b2c3-6a2b+3ab)÷(-3ab)=1

8、2a3b2c3÷(-3ab)+(-6a2b)÷(-3ab)+3ab÷(-3ab)=-4a2bc3+2a-1.命题角度2 整式的混合运算整式的混合运算,首先要确定运算顺序,再确定运算的性质.(1)在含有括号的运算中,先算括号内的,后算括号外的,也可以去括号后再进行计算;(2)先算乘方,再算乘除,最后算加减,有同类项时必须合并同类项,从而得到最简结果;(3)在运算中能简便运算的要简便运算.注意整体思想的应用.当底数互为相反数时,要首先将底数化为相同的底数,一般有:当n为偶数时,(-a)n=an;当n为奇数时,(-a)n=-an,如(b-a)3=-(a-b)3;(b-a

9、)4=(a-b)4.例1化简:(2x+y)2-y(y+4x)-8x÷2x.答案:2x-4例2计算:4(a-b)5+6(b-a)4+5(b-a)3÷-12(b-a)2.解:16(a-b)3+24(a-b)2-20(a-b).命题角度3 利用多项式除以单项式的法则进行化简计算整式的化简计算要严格按照运算顺序和运算法则逐步计算,在混合运算中要慎用运算律.例如图1-7-4是一个简单的运算程序,当输入的m值为-0.17时,输出的结果为-0.17. 输入m平方-m÷m+1输出图1-7-4解析 依题意,得(m2-m)÷m+1=m-1+1=m=-0.17.命题

10、角度4 利用整式的运算解决实际问题实际问题中用字母表示相关数据可以得到对应的一般情况,更容易得到相应的规律,在具体的运算中会涉及整式的运算.如课本第32页习题1.14中第2题.例小明在爬一小山时,第一阶段的平均速度为v,所用时间为t1;第二阶段的平均速度为12v,所用时间为t2.下山时,小明的平均速度保持为4v.已知小明上山的路程和下山的路程是相同的,那么小明下山用了多长时间?解:vt1+12vt2÷4v=vt1÷4v+12vt2÷4v=14t1+18t2.P29随堂练习计算：(1)2a6b3÷a3b2；(2)x3y2÷x2y；(3)3m2n3

11、÷(mn)2；(4)(2x2y)3÷6x3y2.解：(1)2a3b.(2)xy. (3)3n.(4)x3y.P29习题1.131计算：(1)(2r2s)2÷4rs2；(2)(5x2y3)2÷25x4y5；(3)(xy)3÷(xy)；(4)7a5b3c5÷14a2b3c.解：(1)r3.(2)y.(3)x22xyy2. (4)a3c4.2计算：(1)8a4b3c÷2a2b3·；(2)(3x2y)2·(15xy3)÷(9x4y2)解：(1)a5bc3.(2)5xy3.3把下图左圈里的每一个整式分别除

12、以xy2，并将商写在右圈的相应位置上解：4我们都知道“先看见闪电，后听见雷声”，那是因为在空气中光的传播速度比声音快. 科学家们发现，光在空气中的传播速度约为3×108 m/s，而声音在空气中的传播速度约为300 m/s. 你能进一步算出光的传播速度是声音的多少倍吗？解：3×108÷300106.5一圆柱形桶内装满了水，已知桶的底面直径为a，高为b. 又知另一长方体形容器的长为b，宽为a. 若把圆柱形桶中的水倒入长方体形容器中(水不溢出)，水面的高度是多少？解：a.P31随堂练习计算：(1)(3xyy)÷y；(2)(mambmc)÷m；(3)(

13、6c2dc3d3)÷(2c2d)；(4)(4x2y3xy2)÷7xy.解：(1)3x1.(2)abc.(3)3cd2.(4)xy.P31习题1.141计算：(1)(5m3n26m2)÷3m；(2)(6a2b5a2c2)÷(3a2)；(3)(16x44x2x)÷x；(4)(3a2b2ab2ab2)÷ab；(5)(4a36a2b33a3b3)÷(4a2)；(6)÷n2；(7)÷y；(8)(x1)(x2)2÷x.解：(1)m2n22m.(2)2bc2.(3)16x34x1.(4)3a22b.(5)ab

14、3ab3.(6)mnm2n2.(7)xyy.(8)x3.2图(1)的瓶子中盛满了水，如果将这个瓶子中的水全部倒入图(2)的杯子中，那么一共需要多少个这样的杯子？(单位：cm)解：(2Hh)个3任意给一个非零数，按下列程序进行计算，写出输出结果解：略专题一 与单项式除以单项式相关的运算1计算：（1）(-3m2x2y3)2÷(-2mxy2)3；（2）(2x+y)4÷（-2x-y）2÷（2x+y）.专题二 与整式除法相关的规律探究题2 观察下列单项式：x，-2x2，4x3，-8x4，16x5， （1）计算这里任意一个单项式与它前面相连的单项式的商是多少？据此规律请你写出

15、第n个单项式；（2）根据你发现的规律写出第10个单项式3 观察下列各式：（x2-1）÷（x-1）=x+1； （x3-1）÷（x-1）=x2+x+1； （x4-1）÷（x-1）=x3+x2+x+1； （x5-1）÷（x-1）=x4+x3+x2+x+1； （1） 写出（x6-1）÷（x-1）的结果； （2）将x6-1表示成两个多项式乘积的形式专题三 与乘除互逆运算相关的问题4已知一个多项式与单项式-7x2y3的积为21x4y5-28x7y4+14x6y6，试求这个多项式.5已知被除式为x3+3x2-1，商式是x，余式是-1，求除式【知识要点】1单项

16、式除以单项式法则：单项式相除，把系数、同底数幂分别相除后，作为商的因式；对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数一起作为商的一个因式.2多项式除以单项式法则：多项式除以单项武，先把这个多项式的每一项分别除以这个单项式，再把所得的商相加，即（a+b+c)÷m=a÷m+b÷m+c÷m【温馨提示】1计算单项式除以单项式时要注意：(1)商的符号；(2)运算顺序与有理数运算顺序相同2在进行多项式除以单项式时，一定要注意符号，不要漏除每一项多项式除以单项式的关键是逐项去除，结果的项数与多项式的项数相同，这是检验是否漏项的重要方法3注意多项式带单位时要加括号.【方法

17、技巧】1单项式除以单项式的具体步骤如下：(1)把系数相除，所得结果作为商的系数；(2)把同底数幂分别相除，所得结果作为商的因式；(3)把只在被除式里出现的字母，连同它的指数作为商的一个因式.2多项式除以单项式时，用单项式除多项式的每一项，从而“转化”为单项式除以单项式可见多项式除以单项式的运算实质上是把多项式除以单项式的运算转化为单项式除以单项式的运算.由于（am+bm+cm)÷m=(am+bm+cm)×，所以多项式除以单项式也可以看成是乘法对加法的分配律的应用.答案：1解：（1）（-3m2x2y3）2÷（-2mxy2）3=9m4x4y6÷（-8m3x3

18、y6）= （2）（2x+y）4÷（-2x-y）2÷（2x+y）=（2x+y）4÷（2x+y）2÷（2x+y）=2x+y2解：（1）-2x，（-2）n-1xn；（2）第n个单项式为（-2）n-1xn，则第10个为-512x103解：（1）（x2-1）÷（x-1）=x+1，（x3-1）÷（x-1）=x2+x+1，（x4-1）÷（x-1）=x3+x2+x+1，（x5-1）÷（x-1）=x4+x3+x2+x+1， （xn-1）÷（x-1）=xn-1+xn-2+1， （x6-1）÷（x-1）=x5+x4+x3+x2+x+1；（2）（x6-1）÷（x-1）=x5+x4+x3+x2+x+1， x6-1=（x-1）（x5+x4