2025-2026学年北师大版高一数学上学期期末常考题之随机现象与随机事件

20252026学年上学期高一数学北师大期末必刷常考题之随机

现象与随机事件

一.选择题（共6小题）

I.依次抛掷两枚质地均匀的骰子，观察骰子朝上面的点数，事件A1="第一次抛掷骰子的点数为奇数”,

事件42="第一次抛掷骰子的点数为2”，事件A3="两次抽掷骰子的点数之和为5”，事件44="两

次抛掷骰子的点数之和为7"，则下列说法正确的是（）

A.4与A2为对立事件

B.A2与4为互斥事件

C.A2与加为相互独立事件

D.A2与A4为相互独立事件

2.掷两枚均匀的骰子，观察所得点数.设“两个点数都是偶数”为事件4,“两个点数都是奇数”为事件

8,“两个点数之和是偶数”为事件C,“两个点数之积是奇数”为事件。，则（）

A.事件A与事件8互为对立事件

B.事件C与事件。相互独立

C.事件人与事件CUO不相互独立

D.事件8与事件CA。互斥

3.某小组有4名男同学和3名女同学，从中任选3名同学去参加座谈会，则与事件”3名同学全是女生”

是对立事件的是（）

A.恰有1名同学是女生

B.恰有两名同学是女生

C.至少有1名同学是男生

D.至少有I名同学是女生

4.抛掷一颗质地均匀的骰子，有如下随机事件：A="点数不大于3"，B="点数大于4"，C="点数为

奇数”，D="点数为偶数”，下列结论正确的是（）

A.A,。为互斥事件B.B,。为对立事件

C.A,。为互斥事件D.C,。为对立事件

5.依次抛掷两枚质地均匀的骰子，4表示事件“第一次抛掷骰子的点数为奇数”，上表示事件“第一次抛

掷骰子的点数为2”，A3表示事件“两次抛掷骰子的点数之和为7”，4表示事件“两次抛掷骰了•的点数

之和为6”，则（）

A.A3与4为对立事件

B.4与A3为相互独立事件

C.A2与A4为相互独立事件

D.A2与4为互斥事件

6.从装有3个红球和5个黄球的口袋内任取3个球，那么“至少有1个红球”的对立事件是（）

A.至少有2个红球B.至少有2个黄球

C.都是黄球D.至多1个红球

二.多选题（共3小题）

（多选）7.某公交公司有公交车50辆，按车型大小分为大巴车与中巴车2种，按燃油类型分为汽油车与

柴油车2种，其车辆数如表所示.

项目汽油车柴油车合计

大巴车102030

中巴车51520

合计153550

记事件M为“在该公司公交车里随机选一辆，选到大巴车”，事件N为“在该公司公交车里随机选一辆,

选到汽油车”.下列说法正确的是（）

A.事件M的对立事件为“在该公司公交车里随机选一辆，选到中巴车”

B.事件M与事件N互斥

C.P（M）=g,P（N）遥

D.事件M与事件N相互独立

（多选）8.若P（AB）=1P6）=京P（B）=g则事件A与B的关系是（）

A.事件A与8不互斥

B.事件A与8对立

C.事件A与8相互独立

D.事件A与8既互斥又独立

3

（多选）9.某A/机器人投送包裹，成功投放一次包裹的概率为二.若它连续尝试投送两次，则（）

7

A.事件“两次都成功投放”与“恰好成功一次”是互斥事件

B.事件“两次都未成功投放”与“至少成功一次”是对立事件

C.事件“第一次成功投放”与“两次都成功投放”相互独立

33

D.该机器人至少成功投放一次的概率为大

49

三,填空题(共4小题)

10.已知随机事件A,B相互独立，且PG4)=1—P(B),P(A)・P⑻=上则P(AUB)的值

为.

II.已知随机事件A,8,C,A和8互斥，8和C对立，且P(4+8)=0.7,户(4)=0.3,则P(C)=.

12.从一副不包含大小王牌的52张扑克牌中随机抽取一张，设事件A=“抽到红心”，事件3="抽到方

块"，P(A)=P(B)=/,C="抽到红花色”，则尸(C)=.

13.已知某艺术协会的会员中，有三的会员喜爱书画或戏曲，有;的会员喜爱书画，有二的会员同时喜爱书

1232

画、戏曲.现从该协会中随机抽取一名会员，该会员喜爱戏曲的概率为.

四.解答题(共2小题)

14.美国男子职业篮球联盟(NBA)每支队伍有5名主力队员，按场上位置可分为后卫队员与锋线队员两

种类型，其中2名后卫队员(标号为1和2),3名锋线队员(标号为3、4和5),新赛季开始前联盟要

抽检队员的身体健康状况，从5名主力队员中依次随机抽取2名进行检查，设事件M="第一次抽到后

卫队员"，事件N="第二次抽到锋线队员"，事件Q="抽到的2名队员类型相同”，事件。的对立事

件为Q.

(1)用集合的形式写出试验的样本空间Q,并求出P(0)：

(2)求P(M+N)和P(M・AO.

15.同时转动如图所示的两个转盘，记转盘①得到的数为x,转盘②得到的数为y.

(1)写出这个试验的样本点；

(2)“x+)，=5”这一事件包含哪几个样本点？“x＜3且)，＞1”呢？

(3)“xy=4”这一事件包含哪几个样本点？“％=＞，”呢？

①②

20252026学年上学期高一数学北师大版（2019）期末必刷常考题之随机

现象与随机事件

参考答案与试题解析

一,选择题（共6小题）

题号123456

答案DCCDBC

二.多选题（共3小题）

题号789

答案ACACABD

一.选择题（共6小题）

1.依次抛掷两枚质地均匀的骰子，观察骰子朝上面的点数，事件4="第一次抛掷骰子的点数为奇数”,

事件42=”第一次抛掷骰子的点数为2”，事件A3="两次抽掷骰子的点数之和为5"，事件4="两

次抛掷股子的点数之和为7"，则下列说法正确的是（）

A.4与42为对立事件

B.A2与A4为互斥事件

C.A2与①为相互独立事件

D.A2与4为相互独立事件

【考点】事件的互斥（互不相容）及互斥事件；相互独立事件的概率乘法公式.

【专题】方程思想；定义法；概率与统计；运算求解.

【答案】D

【分析】确定所有基本事件，结合对立事件、互斥事件、独立事件的概念进而逐项判断即可.

【解答】解：C为样本空间，

对于A,A1UA22。，

比如第一次第一次抛掷骰子的点数为4,该事件既不在4中，也不在A2中，

・・・Ai与A2不为对立事件，故A错误；

对于事件A2nA4为{（2,5）},，A2与4不为互斥事件，故B错误；

对于于P(42)=^=i,PC43)=^r=i，PQM3)=表AP(A2)P(43)，

・・・上与A3不相互独立，故C错误；

对于于P(42)=2P(4)==2PGM4)=»P(A2)P(4)，

，A2与A4相互独立，故D正确.

故选：D.

【点评】本题考查基本事件、对立事件、互斥事件、独立事件的概念等基础知识，考查运算求解能力,

是基础题.

2.掷两枚均匀的骰子，观察所得点数.设“两个点数都是偶数”为事件人，”两个点数都是奇数”为事件

以”两个点数之和是偶数”为事件C,“两个点数之积是奇数”为事件D,则()

A.事件4与事件B互为对立事件

B.事件C与事件。相互独立

C.事件A与事件CU。不相互独立

D.事件8与事件cn。互斥

【考点】互斥事件与对立事件.

【专题】整体思想；综合法；概率与统计；运算求解.

【答案】C

【分析】根据题意列出事件A,事件B,再根据对立事件、独立事件、互斥事件的概念判断即可.

【解答】解：依题意，可用(x,y)表示掷两枚骰子得到的点数,则Q={(x,>>)|x,网1,2,3,4,

5,6}}.

对于A,A={(2,2),(2,4),(2,6),(4,2),(4,4),(4,6),(6,2),(6,4),(6,6)},

而8={(1,I),(I,3),(I.5),(3,1),(3,3),(3,5),(5,1),(5,3),(5,5)},

显然事件A与事件B互斥但不对立，in(I,2)en,但(I,2)0人，(1,2)08,故4错误；

对于易得C=4U〃,故，

因为4=。，所以P(B)=P(D)=1,

而CO=O,则P(CO)=P(。)=*,

则。(C。)HP(C)P(。)，即。与。不相互独立，故3错误；

对于C,P(4)=i,P(C)=P(CUD)=1,

因为AC(CUD)=A,所以P[4n(CUD)]=P(/l)J

而P(4)-P(CUD)=ix|=LP[An(CUD)]*P⑷♦P(CUD),

所以事件A与事件CUO不相互独立，故。正确；

对于。，cn£>=8=。，则8与事件eno不互斥，故。错误.

故选：C.

【点评】本题主要考查了互斥事件，相互独立事件的判断，属于基础题.

3.某小组有4名男同学和3名女同学，从中任选3名同学去参加座谈会，则与事件”3名同学全是女生”

是对立事件的是()

A.恰有1名同学是女生

B.恰有两名同学是女生

C.至少有1名同学是男生

D.至少有1名同学是女生

【考点】事件的互为对立及对立事件.

【专题】对应思想；综合法；概率与统计；运算求解.

【答案】C

【分析】根据已知，结合对立事件的定义即可求解.

【解答】解：由对立事件的定义可知，与事件“3名同学全是女生”是对立事件的是事件“至少有1名

同学是男生”.

故选：C.

【点评】本题考查对立事件的概念，属于基础题.

4.抛掷一颗质地均匀的骰子，有如下随机事件：A="点数不大于3"，4="点数大于4"，C="点数为

奇数”，D="点数为偶数”，下列结论正确的是()

A.A,。为互斥事件B.B,C为对立事件

C.A,。为互斥事件D.C,。为对立事件

【考点】互斥事件与对立事件.

【专题】计算题：方程思想；转化思想；综合法；概率与统计；运算求解.

【答案】。

【分析】根据题意，由互斥事件、对立事件的定义，依次分析选项，综合可得答案.

【解答】解：根据题意，依次分析选项：

对于A,APC="点数为1或3”，A、C不是互斥事件，A借误；

对于B,BPC="点数为5”，8、C不是对立事件，B错误；

对于C,AQD="点数为2”，4、。不是互斥事件，C错误；

对于。，4、。为对立事件，。正确.

故选：D.

【点评】本题考查互斥事件、对立事件的判断，注意互斥事件、对立事件的定义，属于基础题.

5.依次抛掷两枚质地均匀的骰子，4表示事件“第一次抛掷骰子的点数为奇数”，A2表示事件“第一次抛

掷骰子的点数为2”，加表示事件“两次抛掷骰子的点数之和为7"，人表示事件“两次抛掷骰子的点数

之和为6”，则()

A.A3与4为对立事件

B.Ai与①为相互独立事件

C.A2与4为相互独立事件

D.A2与4为互斥事件

【考点】互斥事件与对立事件；相互独立事件的概率乘法公式.

【专题】计算题；方程思想；转化思想；综合法；概率与统计；运算求解.

【答案】B

【分析】对立事件是指两个事件不能同时发生且必有一个发生；互斥事件是指两个事件不能同时发生;

相互独立事件是指一个事件的发生与否对另一个事件的发生没有影响，即户(48)=P(A)P(«).

【解答】解：根据题意，依次分析选项：

对于A,A3UA4HQ,所以A3与A4不为对立事件，A错误；

对于8,P(&)=}P(A3)=1,PGM3)=务”(4)尸(4)，则Al与A3为相互独立事件，B正确；

1C1

对于c,P(4)二卷，P(4)=去PGM4)二看工呻2)呻4)，则A2与4不是相互独立事件，c错

误；

对于/),第一次抛掷骰子的点数为2,第二次抛掷骰子的点数为4时，人2和A4同时发生，42与A4不为

互斥事件，。错误.

故选：B.

【点评】本题考查相互独立事件、互斥事件的判断，涉及古典概型的计算，属于基础题.

6.从装有3个红球和5个黄球的口袋内任取3个球，那么“至少有I个红球”的对立事件是()

A.至少有2个红球B.至少有2个黄球

C.都是黄球D.至多1个红球

【考点】事件的互为对立及对立事件.

【专题】转化思想；定义法；概率与统计：运算求解.

【答案】C

【分析】先对至少有1个红球进行情况分析，再结合对立事件的定义求解即可.

【解答】解：从装有3个红球和5个黄球的口袋内任取3个球，

由题意得若发生“至少有1个红球”，

则取出红球的数量为1个，2个，3个，

由对立事件的性质得“至少有1个红球”的对立事件为取不到红球，

即取到的都是黄球，故C正确.

故选：C.

【点评】本题考查对立事件的定义等基础知识，考查运算求辞能力，是基础题.

二.多选题（共3小题）

（多选）7.某公交公司有公交车50辆，按车型大小分为大巴车与中巴车2种，按燃油类型分为汽油车与

柴油车2种，其车辆数如表所示.

项目汽油车柴油车合计

大巴车102030

中巴车51520

合计153550

记事件M为“在该公司公交车里随机选一辆，选到大巴车”，事件N为“在该公司公交车里随机选一辆，

选到汽油车”.下列说法正确的是（）

A.事件M的对U事件为“在该公司公交车里随机选一辆，选到中巴车”

B.事件M与事件N互斥

C.P（M）=g3,呐）=击3

D.事件M与事件N相互独立

【考点】事件的互斥（互不相容）及互斥事件；相互独立事件和相互独立事件的概率乘法公式.

【专题】方程思想；定义法；概率与统计；运算求解.

【答案】AC

【分析】根据对立事件、互斥事件的定义判断人和以利用古典概型公式可判断C；根据相互独立事件

概率乘法公式判断D.

【解答】解：对于A,事件”的对立事件为“在该公司公交车里随机选一辆，选到的不是大巴车”，

即“在该公司公交车里随机选一辆，选到中巴车”，故A正确；

对于8,,・•存在既是大巴车又是汽油车的车，

・•・事件M与事件N可能同时发生，

・•・事件M与事件N不是互斥事件，故B错误；

对于C，总车辆数为50,大巴车30辆，汽油车15辆，

则P(M)=|§=|,尸(N)=磊=白，故C正确；

对于。，总车辆数为50,既是大巴车又是汽油车的车数为10,

101

・・・P(MN)二9飞，

结合选项C可知尸(MN)WP(M)P(N),故事件M与事件N不相互独立，故。错误.

故选：AC.

【点评】本题考查互斥事件、相互独立事件概率乘法公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题.

(多选)8.若P(AB)=J,P(A)=I，P(B)=I则事件A与8的关系是()

A.事件A与5不互斥

B.事件A与8对立

C.事件人与“相互独立

D.事件4与8既互斥乂独立

【考点】互斥事件与对立事件；由两事件交事件的概率判断两事件的相互独立性.

【专题】计算题；整体思想；综合法：概率与统计；运算求解.

【答案】AC

【分析】根据概率即可依次判断.

【解答】解：因为PG4B)=3,所以A与8能同时发生，不是互斥事件，故A正确，。错误；

因为P(4)=卷所以PQ4)=4因为P(B)=〈，则PQ4)+P(8)=狂1,所以事件A与8不是互为对

JJJJ

立事件，故8错误；

因为PQ48)=2=P(")P(B)，所以事件A与B相互独立，故C正确.

故选：AC.

【点评】本题考查了互斥事件和刈立事件，属于基础题.

3

(多选)9.某A/机器人投送包裹，成功投放一次包裹的概率为3若它连续尝试投送两次，则()

A.事件“两次都成功投放”与“恰好成功一次”是互斥事件

B.事件“两次都未成功投放”与“至少成功一次”是对立事件

C.事件“第一次成功投放”与“两次都成功投放”相互独立

33

D.该机器人至少成功投放•次的概率为二；

【考点】互斥事件与对立事件：相互独立事件和相互独立事件的概率乘法公式.

【专题】方程思想；定义法；概率与统计；运算求解.

【答案】ABD

【分析】利用互斥事件、对立事件、相互独立事件的定义判断ABC；利用对立事件的概率公式求出概

率判断

【解答】解：某A/机器人投送包裹，成功投放一次包裹的概率为*它连续尝试投送两次，

对于4,“两次都成功投放”与“恰好成功一次”不可能同时发生，是互斥事件，故A正确；

对于从“两次都未成功投放”与“至少成功一次”不可能同时发生，

但必有一个发生，是对立事件，故8正确；

对于C,设“第一次成功投放”为事件A，“两次都成功投放”为事件从

3339

-=-X-=

则P(A)=777

49

P(AB)=云。P(A)P(B),•••两个事件相互不独立,故C错误;

对于。，“至少成功一次”的对立事件是“两次都未成功投放”，

“两次都未成功”的概率为(1-/2=翳

，'至少成功一次”的概率为1-招=碧，故。正确.

故选：ABD.

【点评】本题考查互斥事件、对立事件、相互独立事件的定义、对立事件的概率公式等基础知识，考杳

运算求解能力，是基础题.

三,填空题(共4小题)

10.已知随机事件A,8相互独立，且P(4)=l—P(8),P(71)-P(B)=i,则P(AU/3)的值为：.

【考点】事件的并事件(和事件).

【专题】转化思想；转化法；概率与统计；运算求解.

7

【答案】

8

【分析】利用尸(AU8)=P(A)+P(B)-PCAB)求解.

【解答】解：P(4)=1-P(B),P(A)♦P⑻=

17

则P(AUF)=P(A)+P(B)-P(4B)=1一者=(.

7

故答案为：

8

【点评】本题主要考查事件的并事件，属于基础题.

II.已知随机事件A,B,C,4和B互斥，B和C对立，且尸(A+B)=0.7,P(A)=0.3,则P(C)=

0.6.

【考点】事件的互斥(互不相容)及互斥事件；事件的互为对立及对立事件.

【专题】对应思想：综合法；概率与统计：运算求解.

【答案】0.6.

【分析】利用互斥事件和对立事件的概率公式求解即可.

【解答】解：因为随机事件A和B互斥，所以P(A+B)=P(4)+P(B),

则?(A+B)=P(A)+P(B),所以尸(B)=0.7-03=0,4.

又因为8和C对立，所以P(C)=1-P(B)=0.6.

故答案为：0.6.

【点评】本题考查互斥事件与对立事件的概率公式，属于基础题.

12.从一副不包含大小王牌的52张扑克牌中随机抽取一张，设事件A=“抽到红心”，事件8="抽到方

11

块”，p(4)=p(B)=*c="抽到红花色”，则P(C)=-.

【考点】事件的并事件(和事件).

【专题】转化思想；综合法；概率与统计.

【答案】

【分析】根据己知，应用互斥事件加法求P(C).

【解答】解：设事件A=“抽到红心"，事件B="抽到方块”，

则。=41^且A,B为互斥事件，P(A)=P(F)=

1

则P(C)=P(4)+P(B)=亍

故答案为：I

【点评】本题考查了互斥事件，属于基础题.

13.已知某艺术协会的会员中，有旻的会员喜爱书画或戏曲，有;的会员喜爱书画，有之的会员同时喜爱书

1232

3

画、戏曲.现从该协会中随机抽取一名会员，该会员喜爱戏曲的概率为.

【考点】事件的并事件(和事件).

【专题】计算题；方程思想；综合法；概率与统计；运算求解.

3

【答案】丁

【分析】应用概率的性质列方程求会员喜爱戏曲的概率即可.

【解答】解：根据题意，记事件A="该会员喜爱书画”，事件8="该会员喜爱戏曲”，

1171

则有P(AU8)=接P(A)=；,PG4n8)=1,

1121a

则P(AUB)=P(A)+P(£)-PCADB),即石=]+2(8)—1解得产⑻=%,

3

即要求概率为

4

故答案为：7*

4

【点评】本题考查和事件的概率计算，注意分析事件之间的关系，属于基础题.

四.解答题(共2小题)

14.美国男子职业篮球联盟(NBA)每支队伍有5名主力队员，按场上位置可分为后卫队员与锋线队员两

种类型，其中2名后卫队员(标号为1和2),3名锋线队员(标号为3、4和5),新赛季开始前联盟要

抽检队员的身体健康状况，从5名主力队员中依次随机抽取2名进行检查，设事件M=”第一次抽到后

卫队员"，事件N="第二次抽到锋线队员"，事件Q="抽到的2名队员类型相同”，事件Q的对立事

件为口

(1)用集合的形式写出试验的样本空间C，并求出P(Q)；

(2)求P(M+N)和P(M・AO.

【考点】样本点与样本空间；对立事件的概率关系及计算：古典概型及其概率计算公式.

【专题】整体思想；综合法；概率与统计；运算求解.

【答案】(1)C={(1,2),(I,3),(1,4),(1,5),(2,1),(2,3),(2,4),(2,5),(3,1),

(3,2),(3,4),(3,5),

、、、3

(4,I),(4,2),(4,3),(4,5),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4)},-；

5

73

(2)P(M+N)=为P(MN)=寿

【分析】（1）利用列举法可以写出样本空间，根据古典概型以及对立事件的概率公式即可得答案；

（2）根据古典概型的概率公式，即可求得答案.

【解答】解：（1）由题设可得，从5名主力队员中依次随机抽取2名队员，抽法总数构成的集合为:

C={(1,2),(I,3),(1,4),(I,5),(2,I),(2,3),(2,4),(2,5),(3,I),(3,2),(3,

4),(3,5),

(4,I),(4,2),(4,3),(4,5),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4)),Q中共有20个基本事件.

。中含有的基本事件为：(1，2),(2,1),(3,4),(3,5),(4,3),(4,5),(5,3),(5,4),共8

个基本事件，

故P(Q)=[=*P@=1-1=?

(2)事件M所含抽法为：(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(2,1),(2,3),(2,4),(2,5),

事件N所含抽法为：(1,3),(1,4),(1,5),(2,3),(2,4),(2,5),(3,4),(3,5),(4,3),

(4,5),(5,3),(5,4),

事件M+N中含有的基本事件为：

(1,2),(I,3),(I,4),(1,5),(2,I),(2,3),(2,4),(2,5),(3,4),(3,5),(4,3),

(4,5),(5,3),(5,4),共14个基本事件，则P(M+N)=芸=心

M・N中含有的基本事件为：(1,3),(2,3),(1,4),(2,4),(1,5),(2,5),共6个基本事件，

则P(MN)=券=烹

【点评】本题考杳样本点及样本空间，考查古典概型及其概率的求法，是基础题.

15.同时转动如图所示的两个转盘，记转盘①得到的数为人转盘②得到的数为)，.

(1)写出这个试验的样本点；

(2)“x+)，=5”这一事件包含哪几个样本点？“xV3且)，＞1”呢？

(3)“孙=4”这一事件包含哪几个样本点？'“=)，”呢？

①②

【考点】随机事件.

【专题】对应思想；定义法；概率与统计；运算求解.

【答案】(1)答案见解析；

(2)答案见解析；

(3)答案见解析.

【分析】用列举法求解(1)(2)(3).

【解答】解：(1)这个试验的样本点有(1,1),(1,2),(I,3),(1,4),(2,1),(2,2),(2,3),

(2,4),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4).

(2)“x+y=5”包含的样本点有(1,4),(2,3),(3,2),(4,1)；“xV3且/>1”包含的样本点有

(1,2),(1,3),(1,4),(2,2),(2,3),(2,4).

(3)“孙=4”包含的样本点有(1,4),(2,2),(4,1)；“x=y”包含的样本点有(1,1),(2,2),

(3,3),(4,4).

【点评】本题考查样本空间、样本点的求法，考查样本空间、样本点的定义、性质等基础知识，考查运

算求解能力，是基础题.

考点卡片

1.样本点与样本空间

【知识点的认识】

样本点：我们把随机试验E的每个可能的基本结果成为样本点，一般地，用3表示样本点.

样本空间：全体样本点的集合称为试验£的样本空间，一般地，用。表示样本空间.

有限样本空间：如果个随机试验有〃个可能结果31，32,…，则称样本空间。={3|,102,…，3〃}

为有限样本空间.

【解题方法点拨】

（1）试验不同，对应的样本空间也不同；

（2）同一试验，若试验目的不同，则对应的样本空间也不同；例如对于同一试验“将一枚硬币弛掷三次”，

若观察正面“、反面7出现的情况，则样本空间为S={“〃"，HHT,HTH,THH,HTT,TTH,THT,777},

若观察出现正面的次数，则样本空间为5={0,1,2,3）.

（3）建立样本空间，事实上就是建立随机现象的数学模型.因此一个样本空间可以概括许多内容大不相

同的实际问题.例如只包含两个样本点的样本空间S={从T},它既可以作为抛掷硬币出现正面或出现反

面的模型，也可以作为产品检验中合格与不合格的模型，又能用于排队现象中有人排队和无人排队的模型

等.

【命题方向】

样本空间和样本点是概率论中的重要概念，它们是描述随机试脸的基础.在明确样本空间和概率测度后，

我们可以将样本空间变成一个概率空间，从而进行概率的计算和推断.需要注意的是，样本空间和样本点

的定义需要根据具体的试验来确定，并遵循相关的公理和定理.考试题型通常以选择题、填空题为主.

2.随机事件

【知识点的认识】

1.定义：在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件称为随机事件.（或“偶然性事件”）

2.特点：

<1）随机事件可以在相同的条件下重复进行；

（2）每个试验的可能结果不止一个，并且能事先预测试验的所有可能结果；

（3）进行一次试验之前不能确定哪一个结果会出现.

3.注意：

（I）随机事件发生与否，事先是不能确定的；

（2）必然事件发生的机会是1：不可能事件发生的机会是0；随机事件发生的机会在0-1之间，0和1可

以取到.

（3）要判断一个事件是必然事件、随机事件、还是不可能事件，要从定义出发.

3.事件的并事件（和事件）

【知识点的认识】

一般地，事件A与事件8至少有一个发生，这样的一个事件中的样本点或者在事件A中，或者在事件B

中，我们称这个事件为事件A与事件B的并事件（或和事件），记作AUB.

【解题方法点拨】

-根据并事件的定义，对两个事件的并事件进行求解和辨析.

【命题方向】

-常用于求两个事件的并事件.

4.互斥事件与对立事件

【知识点的认识】

I.互斥事件

（I）定义：一次试验中，事件A和事件8不能同时发生，则这两个不能同时发生的事件叫做互斥事件.

如果Ai,A2,…，4；中任何两个都不可能同时发生，那么就说事件4,加，…4彼此互斥.

（2）互斥事件的概率公式:

在一个随机试验中，如果随机事件A和8是互斥事件，则有:

P（A+8）=P（A）+P（B）

注：上式使用前提是事件A与8互斥.

推广：一般地，如果事件4,A2,…，4〃彼此互斥，那么事件发生（即4,A2,…，A〃中有一个发生）

的概率等于这〃个事件分别发生的概率之和，即：

P(AI+A2+,・，+4〃)=P(AI)+P(A2)+---+P(An)

2.对立事件

（I）定义：一次试验中，两个事件中必有一个发生的互斥事件叫做对立事件，事件A的对立事件记做瓦

全集I

注：①两个对立事件必是互斥事件，但两个互斥事件不一定是对立事件;

②在一次试验中，事件A与彳只发生其中之一，并且必然发生其中之一.

（2）对立事件的概率公式：

P（彳）=1-P（A）

3.互斥事件与对立事件的区别和联系

互斥事件是不可能同时发生的两个事件，而对立事件除要求这两个事件不同时发生外，还要求二者之一必

须有一个发生.因此，对立事件是互斥事件的特殊情况，而互斥事件未必是对立事件，即“互斥”是“对

立”的必要但不充分条件，而“对立”则是“互斥”的充分但不必要条件.

【命题方向】

1.考杳对知识点概念的掌握

例1：从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取2个球，那么互斥而不时立的两个事件是（）

儿“至少有一个红球”与“都是黑球”

B.“至少有一个黑球”与“都是黑球”

C.“至少有一个黑球”与“至少有1个红球”

D.“恰有1个黑球”与“恰有2个黑球”

分析：列举每个事件所包含的基本事件，结合互斥事件和对立事件的定义，依次验证即可

解答：对于4：事件：“至少有一个红球”与事件：“都是黑球”，这两个事件是对立事件，・・・A不正确

对于小事件；“至少有一个黑球”与事件：“都是黑球”可以同时发生，如；一个红球一个黑球，・•・力不

正痢

对于C：事件：“至少有一个黑球”与事件：“至少有1个红球”可以同时发生，如：一个红球一个黑球,

，C不正确

对于。：事件：“恰有一个黑球”与“恰有2个黑球”不能同时发生，，这两个事件是互斥事件，

又由从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取2个球，

得到所有事件为“恰有1个黑球”与“恰有2个黑球”以及“恰有2个红球”三种情况，故这两个事件是

不是对立事件，

・・・D正确

故选。

点评：本题考查互斥事件与对立事件.首先要求理解互斥事件和对立事件的定义，理解互斥事件与对立事

件的联系与区别.同时要能够准确列举某一事件所包含的基本事件.属简单题.

例2：下列说法正确的是()

A.互斥事件一定是对立事件，对立事件不一定是互斥事件

B.互斥事件不一定是对立事件，对立事件一定是互斥事件

C.事件A,8中至少有一个发生的概率一定比A,8中恰有一个发生的概率大

D.事件A,8同时发生的概率一定比A,8中恰有一个发生的概率小.

分析：根据对立事件和互斥事件的概率，得到对立事件一定是互斥事件，两个事件是互斥事件不一定是对

立事件，这两者之间的关系是一个包含关系.

解答：根据对立事件和互斥事件的概念，

得到对立事件一定是互斥事件，

两个事件是互斥事件不一定是对立事件，

故选B.

点评：本题考查互斥事件与对立事件之间的关系，这是一个概念辨析问题，这种题目不用运算，只要理解

两个事件之间的关系就可以选出正确答案.

2.互斥事件概率公式的应用

例：甲乙两人下棋比赛，两人下成和棋的概率是二乙获胜的概率是3则乙不输的概率是

23---

分析：记“两人下成和棋”为事件4,“乙获胜”为事件从则A,B互斥,且P(4)另，P(B)=1则乙

不输即为事件A+&由互斥事件的概率公式可得，P(人+B)=P(A)+P(B)可求.

解答：甲乙两人下棋比赛，记“两人下成和棋”为事件A,“乙获胜”为事件B,则A,B互斥，

则p(4)=，P(B)=4,

则乙不输即为事件A+8,

由互斥事件的概率公式可得，P(A+B)=P(A)+P(B)+1=

Z3b

故答案为：7

6

点评：本题主要考查互斥事件的关系，不可能同时发生的两个事件叫做互斥事件，也叫互不相容事件，考

查了互斥事件的概率的加法公式在概率计算中的应用.

3.对立事件概率公式的应用

例：若事件A与4是互为对立事件，且。（A）=0.4,则0（4）=（）

A.OR0.4C.0.6DA

分析：根据对立事件的概率公式p（A）=1-P（A）,解得即可.

解答：因为对立事件的概率公式p（彳）=\-P（A）=0.6,

故选C

点评：本题主要考查对立事件的定义，属于基础题.

5.事件的互斥（互不相容）及互斥事件

【知识点的认识】

一般地，如果事件人与事件8不能同时发生，也就是说是一个不可能事件，即则称事件

4与事件B互斥（或互不相容）.

【解题方法点拨】

■判断两个事件是否互斥，即它们的交是否为空.

【命题方向】.；

-常用于考察事件是否互斥的问题.

6.事件的互为对立及对立事件

【知识点的认识】

-对立事件：事件4的对立事件是指A不发生的情况，记