第八章期权定价二叉树模型

1、.第八章 期权定价二叉树模型.第一节 二叉树模型 一、为什么要对基础资产的价格模型进行假设？ 所谓价格模型，实际上就是基础资产价格的运行模型 基础资产价格模型是后续推导的前提 假设的好坏从根本上影响着后续推到结论的合理性。. 二、二叉树模型S0S0uS0dS0u2S0udS0d2S0u3S0u2dS0ud2S0d3其中，0d1u.三、单步二叉树定价模型 构造由 单位的股票多头和一个单位衍生证券的空头形成的投资组合，则 如股票价格上升，则投资组合的价值为： 若下跌，则组合的价值为： 0uS uf 0dS df . 如果 取特殊值，使得股价无论上升还是下降，其价值都相等，即0000ududSufS

2、 dfffSu S d此时. 这样，该组合就是无风险的。在无套利约束下，收益应该为无风险利率，即： 解方程，可得：-rT000euSfS uf（）-rT0rTe(1)edudfpfp fpud其中，. 四、多步二叉树期权定价模型(以欧式、两步为例) 基本思路:利用前述单步二叉树模型,先求出f11和f12 ,再求出f0即可。S0S0uS0dS0u2S0udS0d2f0fufdfuufudfddS0uS0u2S0udfufuufud. 推理如下：22112-r T-r T-r T02-rTT22-rT22-rT222e(1)e(1)e(1)e2 (1)(1)e2 (1)(1)emax(,0)2 (

3、1)max(,0)(1) max(,0)uuuudduddduduuuddduuudddfpfp ffpfp ffpfp fp fpp fpfp fpp fpfpu SKppudSKpd SK（）,代入得： . 五、n步二叉树模型（欧式） 随着n的增加，二叉树模型的定价结果将趋近于B-S-M定价模型结果-rT00e(1)max(,0)njjnjjnjnjfC ppu dSK.第二节 u、d和p的确定 一、问题的提出 在前面关于二叉树定价模型中，我们都假设了u和d，并在此基础上推出了风险中性概率p，但在实际中，u和d到底应该为多少呢？. 二、u、d、p值的确定 在风险中性世界中，所有股票的收益率

4、都为无风险利率r。因此，在经过时间间隔 后，股票的期望值为t222r222r22(1)e(e1)u(1) d(1)e(e1)u(1) d(1)r tttttSepSup SdB Spppup dpppup d 22222222在股票价格服从模型所假定的几何布朗运动下，其方差为：S。而在S二叉树模型下的方差为： SSS。故：SSSS.22r22(1)eu(1)dCoxRossRubinstein1u=dp=r tttttr tepup dppaduduedeae 将上述两个方程简化，有：在加入、和用的第三个条件可解出方程其中，.第三节 利用二叉树模型给美式期权定价 一，基本方法 在每个节点都将二

5、叉树模型所计算出来的值与提前执行所得的收益进行比较，取较大者。 二、例1. 一份2年期的美式股票看跌期权，期权执行价格为52，当前价格为50。假设用两步二叉树模型，每步长一年，每步股票价格或上升20%，或下跌20%。无风险利率为5%。见下图506040724832. 对于1.4147点，提前执行受益为-8，提前执行不合算。但对9.4636，提前执行受益却为12，所以要提前执行。故该点应为12。即f 1.4147120420f 1.41479.46360420. 这样，该美式看跌期权价值为：0.05 112ef=（0.6282 1.4147+0.3718）=5.0894. 3、例、例2 假设标的资产为不付红利股票，其当前市场价假设标的资产为不付红利股票，其当前市场价为为5050元元, ,波动率为每年波动率为每年40%40%，无风险连续复利年，无风险连续复利年利率为利率为10%10%，该股票，该股票5 5个月期的美式看跌期权协个月期的美式看跌期权协议价格为议价格为5050元，求该期权的价值。元，求该期权的