电子科技大学数学实验实验五 Monte Carlo方法计算Viviani体体积

1、1/12实验五实验五:蒙特卡罗方法实验蒙特卡罗方法实验 面积、体积计算问题面积、体积计算问题Viviani体的体积计算体的体积计算思考题与练习题思考题与练习题2/12蒙特卡罗方法蒙特卡罗方法随机投点试验求近似解随机投点试验求近似解引例引例. 给定曲线给定曲线y =2 x2 和曲线和曲线y3 = x2，曲线的交点为曲线的交点为：P1( 1，1 )、P2( 1，1 )。曲线围成平面有限区域，用曲线围成平面有限区域，用蒙特卡罗方法计算区域面积。蒙特卡罗方法计算区域面积。 P=rand(10000,2);x=2*P(:,1)-1;y=2*P(:,2);II=find(y=x.2);M=length(I

2、I);S=4*M/10000plot(x(II),y(II),g.)S = 2.11361532)2(11322dxxxS3/12例例5.14 计算计算 其中其中D为为y= x 2与与y2 = x 所围所围 D的边界曲线交点为的边界曲线交点为：(1，-1)，(4，2)，被积函数在求被积函数在求积区域内的最大值为积区域内的最大值为1616。积分值是三维体积，该三维积分值是三维体积，该三维图形位于立方体区域图形位于立方体区域0 x 4，1 y 2，0 z 16内，立方体区域的体积为内，立方体区域的体积为1 192。 data=rand(10000,3); x=4*data(:,1); y=-1+3

3、*data(:,2); z=16*data(:,3); II=find(x=y.2&x=y+2&zsqrt(x.2+y.2)&z=1&u=x.2+y.2+z.2); M=length(II); V=8*M/100005/12实验实验:蒙特卡罗方法计算蒙特卡罗方法计算Viviani体体积体体积( , , )|02, 11,02x y zxyz x=2*rand产生产生0到到2之间的随机数之间的随机数y=2*rand-1产生产生-1到到1之间的随机数之间的随机数z=2*rand产生产生0到到2之间的随机数之间的随机数含于体积含于体积 = 8 的六面体的六面体NmV8

4、由于由于rand 产生产生0 到到1之间的随机数之间的随机数,所以所以N个点均匀分布于六面体中个点均匀分布于六面体中, Viviani体中体中占有占有m个个,则锥体与六面体体积之比近似为则锥体与六面体体积之比近似为 m : N222222&2xyzRxyRxR ，2222xyzR22xyRx 求球体求球体 被圆柱面被圆柱面所割下部分的体积所割下部分的体积 ( 称为维维安尼称为维维安尼 (Viviani) 体体 ). 解解 由所求立体的对称性，只要求出在第由所求立体的对称性，只要求出在第 一卦限内的部分体积一卦限内的部分体积, ,再乘以再乘以4, ,即得所求立体的体即得所求立体的体 yx

5、zR(图图21-32), ,而曲顶的方程为而曲顶的方程为 222.zRxy 所以所以 2224d,DVRxy 222223042.323RRx xRx xVRxy dydxR 0y 22xyRxxy 平面内由平面内由和和所确定的区域所确定的区域 D 积积. 在第一卦限内的立体是一个曲顶柱体在第一卦限内的立体是一个曲顶柱体, 其底为其底为 其中其中 22( ,)0,.Dx yyxyRx4)2(222RyRx8/12syms x y;f=sqrt(4-x2-y2);y1=-sqrt(2*x-x2);y2=sqrt(2*x-x2);S1=int(f,y,y1,y2);S2=int(S1,x,0,2)

6、V=double(S2)P=rand(10000,3);X=2*P(:,1);Y=2*P(:,2)-1;Z=2*P(:,3);II=find(X-1).2+Y.2=1&Z=sqrt(4-X.2-Y.2);V1=8*length(II)/10000Error=V-V1实验参考程序实验参考程序 蒙特卡罗方法计算体积蒙特卡罗方法计算体积9/12实验任务一实验任务一：记录：记录L次实验的实验数据及误差次实验的实验数据及误差实验任务二实验任务二：修改实验程序修改实验程序MonteC计算计算L次实验数次实验数据均值及均值误差据均值及均值误差( mean 计算平均值计算平均值 )序号序号 1 2 3

7、 4 5 6 7 数据数据误差误差 L 8 16 32 64 128 256均值均值误差误差10/12圆柱面在圆柱面在 平面的投影用极坐平面的投影用极坐标表示为标表示为theta=(-180:10:1800)*pi/180;r=0:0.1:1;X=r*(1+cos(theta);Y=r*sin(theta);Z=sqrt(4-X.2-Y.2);meshz(X,Y,Z)axis offcolormap(0 0 0)view(130,30)Viviani体绘制程序体绘制程序xy0.5 (1cos ),0.5 sin ,0,2 xRyR 11/12思考题与练习题思考题与练习题5. 说明说明L次蒙特卡

8、罗实验平均值计算次蒙特卡罗实验平均值计算Viviani的体积误的体积误差与实验次数之间关系差与实验次数之间关系1.蒙特卡罗方法计算面积和计算体积方法有何差异？蒙特卡罗方法计算面积和计算体积方法有何差异？2.说明蒙特卡罗方法计算说明蒙特卡罗方法计算Viviani的体积误差与哪些因的体积误差与哪些因素有关。素有关。3.概率论中的贝努里大数定律在本次实验中体现如何概率论中的贝努里大数定律在本次实验中体现如何4.叙述概率论中著名独立同分布大数定律，并以这一叙述概率论中著名独立同分布大数定律，并以这一大数定律解释实验的数据变换规律。大数定律解释实验的数据变换规律。12/125.下面程序绘出二维图形填下面程序绘出二维图形填充图充图(右图右图)。分析每条语句功。分析每条语句功能能,给程序中语句写注记给程序中语句写注记x1=-1:0.