概率论1-4章课后习题讲解

1、上一页上一页下一页下一页1概率论与数理统计习题解答概率论与数理统计习题解答课件课件上一页上一页下一页下一页2第一章第一章 随机事件及概率随机事件及概率上一页上一页下一页下一页3P P2323习题习题1.1 有数字有数字0,1,2,3,4,50,1,2,3,4,5能组成多少个没有能组成多少个没有重复数字的五位数？重复数字的五位数？这这6 6个数字选出个数字选出5 5个来排列的方法有个来排列的方法有56A解解：由题意可知，：由题意可知，种；而种；而首位为首位为0 0的有的有45A种，故首位不能为种，故首位不能为0 0的为：的为：5465600AA上一页上一页下一页下一页4P P2323习题习题1.

2、2 从含从含3 3件次品、件次品、7 7件正品的产品中任取件正品的产品中任取 5 5件，其中有件，其中有4 4件正品与件正品与1 1件次品，试问有多少种取法？件次品，试问有多少种取法？解解：由题意可知，：由题意可知， 任取任取5 5件，其中有件，其中有4 4件正品与件正品与1 1件次品的取件次品的取法为：法为：4173105C C 上一页上一页下一页下一页5P P2323习题习题1.3 试证试证()( )( )( )() ()()()P ABCP AP BP CP ABP ACP BCP ABC 证明：证明：由概率的加法公式得任意的两个事件由概率的加法公式得任意的两个事件A,B有有故故()()

3、()()P ABP AP BP AB ()()P ABCPABC ()( )() )P ABP CPAB C ()()()()()P AP BP ABP CP ACBC ( )( )( )()P AP BP CP AB ()()()P ACP BCP ABC 上一页上一页下一页下一页6P P2323习题习题1.4 从含从含4545件正品、件正品、5 5件次品的产品中任取件次品的产品中任取 3 3件产品，试求其中恰有一件次品的概率件产品，试求其中恰有一件次品的概率. .解解：由题意可知，：由题意可知， A A表示任取表示任取3 3件中有一件为次品事件，件中有一件为次品事件，5050件件21455

4、C C330C中任取中任取3 3件的取法为件的取法为。而有一件为次品的取法为而有一件为次品的取法为21455350( )C CP AC 故故上一页上一页下一页下一页7P P2323习题习题1.5 一袋中装有一袋中装有6 6只白球，只白球，4 4只红球，只红球，2 2只黑球，只黑球，求：求：解解（1 1）任取）任取4 4个球都是白球的取法为个球都是白球的取法为45C（1）从中任取）从中任取4个球都是白球的概率；个球都是白球的概率；46412133CC 4个球的取法有个球的取法有（2）从中任取）从中任取6个球恰好个球恰好3白、白、2红、红、1黑的概率；黑的概率；，而任取，而任取412C，故任取，故

5、任取4个球都是白球的概率个球都是白球的概率:（2）从中任取）从中任取6个球恰好个球恰好3白、白、2红、红、1黑的概率：黑的概率：4216426122077C C CC 上一页上一页下一页下一页8P P2323习题习题1.6 将将1010个不同的质点随机地放入个不同的质点随机地放入1010只不同只不同的盒子中，求：的盒子中，求：解解（1 1）每个盒子都放有的方法有）每个盒子都放有的方法有10!（1）没有一个空盒子的概率；）没有一个空盒子的概率；法有法有（2）至少有一个空盒子的概率；）至少有一个空盒子的概率；，而总共的方，而总共的方1010,故没有一个空盒子的概率故没有一个空盒子的概率: P(A)

6、=1010!10（2）至少有一个空盒子的概率为：）至少有一个空盒子的概率为： P(B)=1-P(A)=1010!110 上一页上一页下一页下一页9251715454211)56(YXPP P2323习题习题1.7 在区间在区间(0,1)中随机地抽取两个数，求事件中随机地抽取两个数，求事件“两数之和小于两数之和小于6/5”6/5”的概率。的概率。解：用解：用x,y分别表示从分别表示从(0,1)中取出的中取出的2个数，个数，则样本空间则样本空间为正形：为正形：01, 01.xy 如图所示，如图所示，K为区域：为区域：01,01,5 / 6xyxy K所以由几何概型得所以由几何概型得: :x+y=6

7、/5上一页上一页下一页下一页10P P2323习题习题1.8 设一质点落在设一质点落在解解：如右图所示：如右图所示, ,由题意可知所求由题意可知所求的概率为：的概率为：x轴、轴、y轴及直线轴及直线1xy所围成的三角形区域内各点是等可能的，求这点在所围成的三角形区域内各点是等可能的，求这点在直线直线 左边的概率左边的概率.13x ABSxyoBA1311AOBA OBAOBAOBSSSPSS 11222233121 151 19 上一页上一页下一页下一页11解：解：设设A=第一次取得红球第一次取得红球 ，B=第二次取得红球第二次取得红球 P23习题习题1.9 袋中有袋中有1010个球，其中个球，

8、其中8 8个红球，个红球，2 2个白球，个白球，现从中任取两次，每次一球，作不放回抽样，求下现从中任取两次，每次一球，作不放回抽样，求下列事件的概率：列事件的概率： (1) (1) 两次都取红球；两次都取红球； (2) (2) 两次中一次取得红球，另一次取得白球；两次中一次取得红球，另一次取得白球； (3) (3) 至少一次取得白球；至少一次取得白球； (4) (4) 第二次取得白球。第二次取得白球。上一页上一页下一页下一页12解解 (1) P(AB)=P(A)P(B|A)118711109CCCC28.45 2 ()()( ) (|)( ) (|)P ABP ABP A P B AP A P

9、 B A 111188221111109109CCCCCCCC 1645 2817(3) 1()14545P ABP AB (4) ( )( ) (|)( ) (|)P BP A P B AP A P B A 111182211111109109CCCCCCCC 822109 15 上一页上一页下一页下一页13解：解：设设A=甲译出密码甲译出密码,B =乙译出密码乙译出密码,P(A)=1/5,P(B)=1/3,P(C)=1/4则则A,B,C相互独立，且相互独立，且C=丙译出密码丙译出密码.则此密码被译出的概率为则此密码被译出的概率为()( )( )( )() ()()()P ABCP AP B

10、P CP ABP ACP BCP ABC 11111110.6.53415122060 P23习题习题1.10 甲、乙、丙三人独立地翻译一个密码，甲、乙、丙三人独立地翻译一个密码，他们译出的概率分别是他们译出的概率分别是1/5，1/3，1/4，试求此密码被试求此密码被译出的概率。译出的概率。上一页上一页下一页下一页14P23习题习题1.11 玻璃杯成箱出售，每箱玻璃杯成箱出售，每箱2020只，假设各箱只，假设各箱含含0 0，1 1，2 2只残次品的概率相应为只残次品的概率相应为0.80.8，0.10.1和和0.10.1，一顾客欲购买一箱玻璃杯，在购买时时，售货员随一顾客欲购买一箱玻璃杯，在购买

11、时时，售货员随意取一箱，而顾客随机地查看意取一箱，而顾客随机地查看4 4只，若无残次品，则只，若无残次品，则购买下该箱玻璃杯购买下该箱玻璃杯, ,否则退回，求：否则退回，求：(1) (1) 顾客买下该箱的概率；顾客买下该箱的概率； (2) (2) 在顾客买下的一箱中，确实没有残次品的概率。在顾客买下的一箱中，确实没有残次品的概率。上一页上一页下一页下一页15解解 (1)(1)设设Ai 一箱玻璃杯中含有一箱玻璃杯中含有i个残次品个残次品,i=0,1,2;B=从一箱玻璃杯中任取从一箱玻璃杯中任取4只无残次品只无残次品,由题设可知由题设可知20( )() (|)iiiP BP A P B A P(A

12、0)=0.8, P(A1)=0.1, P(A2)=0.1.根据全概率公式得根据全概率公式得4442019184442020CCCCCC 448475 00()0.895(2) (|)448()112475P A BP ABP B 上一页上一页下一页下一页16P23习题习题1.12 设设8 8支枪中有支枪中有3 3支未经试射校正，支未经试射校正， 5 5支支已经试射校正，一射手用校正的枪射击时，中靶已经试射校正，一射手用校正的枪射击时，中靶概率为概率为0.80.8，而用未校正过的枪射击时，中靶概率，而用未校正过的枪射击时，中靶概率为为0.30.3，现假定从，现假定从8 8支

13、枪中任取一支进行射击，结支枪中任取一支进行射击，结果中靶，求所用的枪是已校正过的概率。果中靶，求所用的枪是已校正过的概率。上一页上一页下一页下一页17解解 设设A 经过校正的枪经过校正的枪,C=射击中靶射击中靶,由题设可知由题设可知( )( ) (|)( ) (|)P CP A P C AP B P C B P(A)=5/8, P(B)=3/8, P(C|A)=0.8, P(C|B)=0.3.根据全概率公式得根据全概率公式得49.80 () (|)40 (|).()49P A P C AP A CP C B 未未经校正的枪经校正的枪, , 上一页上一页下一页下一页18P23习题习题1.13 对

14、飞机进行对飞机进行3 3次独立射击次独立射击, , 第第1 1次射击的命次射击的命中率为中率为0.4、第、第2次为次为0.5、第、第3次为次为0.7. 飞机被击中飞机被击中1 1次次而坠落的概率为而坠落的概率为0.2,被击中被击中2 2次而坠落的概率为次而坠落的概率为0.6, 若若被击中被击中3 3次飞机必坠落次飞机必坠落, ,求射击求射击3 3次使飞机坠落的概率次使飞机坠落的概率. .设设B=飞机坠落飞机坠落，Ai=飞机被击中飞机被击中i次次, i=1,2,3由全概率公式由全概率公式 则则 B=A1B+A2B+A3B,解解: :依题意，依题意，P(B|A1)=0.2, P(B|A2)=0.6

15、, P(B|A3)=1 P(B)=P(A1)P(B |A1)+ P(A2)P(B|A2) + P(A3)P(B |A3)上一页上一页下一页下一页19可求得可求得: : 为求为求P(Ai ) , 将数据代入计算得将数据代入计算得: :3123()()P AP H H H 2123123123()()P AP H H HH H HH H H 1123123123()()P AP H H HH H HH H H 设设 Hi=飞机被第飞机被第i次射击击中次射击击中, i=1,2,3 P(A1)=0.36;P(A2)=0.41;P(A3)=0.14.上一页上一页下一页下一页20于是于是=0.458 =0

16、.360.2+0.41 0.6+0.14 1即飞机坠落的概率为即飞机坠落的概率为0.458.P(B)=P(A1)P(B |A1)+ P(A2)P(B|A2)+P(A3)P(B |A3)上一页上一页下一页下一页21P24习题习题1.14 某人每次射击的命中率为某人每次射击的命中率为0.6，独立射，独立射击击5次，求：次，求：（1）击中击中3 3次的概率；次的概率；（2 2）至少有）至少有1 1次未击中的概率次未击中的概率. .解解 (1)(1)33255(3)0.6(10.6)0.3456PC (2) (2) 考虑至少有考虑至少有1 1次未击中的对立事件，次未击中的对立事件，即每次都击中，其概率

17、为：即每次都击中，其概率为： 5550.6C 故至少有故至少有1 1次未击中的概率为次未击中的概率为55510.60.92224C 上一页上一页下一页下一页22P24习题习题1.15 某车间有某车间有1212台车床，由于工艺上的原因，台车床，由于工艺上的原因，时常发生故障，设每台车床在任一时刻出故障的概率时常发生故障，设每台车床在任一时刻出故障的概率为为0.30.3，且各台车床的工作是相互独立的，计算在任，且各台车床的工作是相互独立的，计算在任一指定时刻有一指定时刻有3 3台以上车床发生故障的概率台以上车床发生故障的概率. .解：解：设设A=任一指定时刻有任一指定时刻有3 3台以上车床发生故障

18、台以上车床发生故障,又因为又因为则则A=在任一指定时刻有少于在任一指定时刻有少于3 3台车床发生故障台车床发生故障 上一页上一页下一页下一页23有有0 0台车床发生故障的概率为台车床发生故障的概率为有有1 1台车床发生故障的概率为台车床发生故障的概率为有有2 2台车床发生故障的概率为台车床发生故障的概率为故故0012120.30.7C1111120.30.7C 2210120.30.7C ( )1( )P AP A 有有3 3台车床发生故障的概率为台车床发生故障的概率为923127 . 03 . 0C93312102212111112127 . 03 . 07 . 03 . 07 . 03 .

19、 07 . 01CCC上一页上一页下一页下一页24P24习题习题1.16 若若1 1人负责维修同类型的设备人负责维修同类型的设备2020台，台，设各台设备的工作是相互独立的，在一天内发生设各台设备的工作是相互独立的，在一天内发生故障的概率都是故障的概率都是0.010.01，维修用不了多长时间，求，维修用不了多长时间，求设备发生故障而不能得到及时处理的概率，若设备发生故障而不能得到及时处理的概率，若3 3人人共同负责维修共同负责维修8080台呢？台呢？上一页上一页下一页下一页25解解: (1) 设设A=设备发生故障而不能得到及时处理设备发生故障而不能得到及时处理,则则A=在任一时刻至多有在任一时

20、刻至多有1 1台设备发生故障台设备发生故障 2011920( )(0.99)(0.99)0.01,P AC 故故( )1( )P AP A 20119201(0.99)(0.99)0.01C 0.01686. 上一页上一页下一页下一页26(2) 设设A=设备发生故障而不能得到及时处理设备发生故障而不能得到及时处理,则则A=在任一时刻至多有在任一时刻至多有3 3台设备发生故障台设备发生故障 8017980( )(0.99)(0.99)0.01P AC故故( )1( )P AP A 0.00866. 278280(0.99)(0.01)C 377380(0.99)(0.01)C 上一页上一页下一页

21、下一页27第二章第二章 随机变量及其分布随机变量及其分布上一页上一页下一页下一页28 P P4343习题习题2.1 2.1 设在设在1515只同类型的零件中有只同类型的零件中有2 2只只次品次品, ,在其中取在其中取3 3次次, ,做不放回抽样做不放回抽样, ,以以X X表示取表示取出次品的个数，求出次品的个数，求X X的分布率。的分布率。解：解：设设X X表示取出次品的个数，则表示取出次品的个数，则 X X的取值可的取值可能是能是0 0，1 1，2 2， pX=0= pX=1=3522315313CC351231512213CCC上一页上一页下一页下一页29 pX=2= 所以所以X X的分布

22、律为的分布律为 351315212113CCCX012P35223512351上一页上一页下一页下一页30P43习题习题2.2 一实习生用一台机器接连独立地一实习生用一台机器接连独立地制造了制造了3 3个不同的零件，第个不同的零件，第i i个零件是不合个零件是不合格的概率为格的概率为Pi=1/(i+1),(i=1Pi=1/(i+1),(i=1、2 2、3),3),以以X X表示表示3 3个零件中合格品的个数，求个零件中合格品的个数，求X X的分布的分布律。律。解解： 设设AiAi为第为第i i个零件为不合格品事件，显个零件为不合格品事件，显 然然A1A1、A2A2、A3A3为相互独立事件。为相

23、互独立事件。 由题设可知由题设可知:X:X的取值只能是的取值只能是0 0、1 1、2 2、3,3, P(A1)=1/2 P(A2)=1/3P(A1)=1/2 P(A2)=1/3 P(A3)=1/4 P(A3)=1/4 上一页上一页下一页下一页31 P(X=0)=1/24 P(X=1)=6/24 P(X=0)=1/24 P(X=1)=6/24 P(X=2)=11/24 P(X=3)=1/4 P(X=2)=11/24 P(X=3)=1/4 所以所以X X的分布列为的分布列为: : X 0 1 2 3 P1/24 6/2411/24 1/4上一页上一页下一页下一页32P43习题习题2.3 一汽车沿一

24、街道行驶，需要通过三个均一汽车沿一街道行驶，需要通过三个均设有红绿灯的路口，每个信号灯为红或绿与其他信设有红绿灯的路口，每个信号灯为红或绿与其他信号灯为红或绿相互独立，且红绿两种信号显示的概号灯为红或绿相互独立，且红绿两种信号显示的概率为率为1/21/2。以。以X表示该汽车首次遇到红灯前已通过的表示该汽车首次遇到红灯前已通过的路口数。路口数。上一页上一页下一页下一页33解解: : X的取值为的取值为0,1, 2, 3PX=0=1/2X的概率分布为的概率分布为X 0 1 2 3P 1/2 1/4 1/8 1/8PX=1=1/21/2=1/4PX=2=1/21/21/2=1/8PX=3=1/21/

25、21/2=1/8上一页上一页下一页下一页34P P4343习题习题2.42.4 将一枚硬币连投将一枚硬币连投n n次，次，X X表示表示n n次中出现正面的次数，求次中出现正面的次数，求X X的分布律。的分布律。解：解：X XB(n,1/2),则则X的分布律为的分布律为 X 0 1 2 . n-1 n P.12n12nnc22nnc12nnnc2nnnc上一页上一页下一页下一页35求求X X的分布函数的分布函数P P4343习题习题2.5 2.5 已知离散型随机变量已知离散型随机变量X X的分布率为的分布率为 10.2P X 20.3P X 30.5P X 上一页上一页下一页下一页36 解解：

26、由分布函数的定义，则：由分布函数的定义，则X X的分布函数的分布函数 00.2()0.51F X112233xxxx上一页上一页下一页下一页37 （1 1）求系数）求系数A A （2 2）X X的分布函数的分布函数F(x)F(x)P P4343习题习题2.62.6 设随机变量设随机变量X X的密度为的密度为 cos( )20.Axxf x，其他上一页上一页下一页下一页38 所以所以 A=1/2A=1/2（2 2）因为）因为（1 1）因为）因为 22( )cos1f x dxAxdx( )( )cosxxF xf t dtAtdt上一页上一页下一页下一页39 所以所以0211( )sin2222

27、12xF xxxx上一页上一页下一页下一页40求求X X的分布函数。的分布函数。解：解： 当当 X0 X0 X0 时时( )( )xF xf x dx001122xttedte dt112xe 102( )1012xxexF xxe上一页上一页下一页下一页42P44习题习题2.8 设连续型随机变量设连续型随机变量X的分布函数为的分布函数为求求:(:(1)A; (2)P0.3X0.7; (3)X的概率密度的概率密度f(x)解解:(:(1)F(x)在在x=1点连续点连续, ,由连续性得由连续性得: :所以所以, , A=1200( )011 1xF xAxxx 1) 1 ()(lim1FAxFx上

28、一页上一页下一页下一页430， x02x， 0 x3,3, 则则P P( (A A)=)=P P X X3=3= 5331dx2/3125( )30 xXf x 其其它它设设Y Y表示三次独立观测中表示三次独立观测中A A出现的次数出现的次数, ,则则. r v(3,2 3)YB(2,5)XU上一页上一页下一页下一页54故所求为：故所求为：PY=2+PY=30333223)31()32()31()32(CC =20/27PY2=上一页上一页下一页下一页55P P4444习题习题2.13 2.13 设顾客在某银行窗口等待服务设顾客在某银行窗口等待服务的时间的时间X(X(单位单位: :分分) )服

29、从参数为服从参数为1/51/5的指数分布，的指数分布，若等待的时间超过若等待的时间超过1010分钟，则他就离开，设分钟，则他就离开，设他一个月内要来银行他一个月内要来银行5 5次，以次，以Y Y表示一个月内表示一个月内他没有等到服务而离开窗口的次数，求他没有等到服务而离开窗口的次数，求Y Y的分的分布律及布律及PY=1PY=1。上一页上一页下一页下一页56解解（1 1）因为因为 所以所以 5( )1xF xe (10)(10)P XF102511ee ()P Yk2255() (1)kkkC ee,0,1,2,3,4,5k 上一页上一页下一页下一页57（2 2）Y Y是表示是表示1010分钟内

30、等不到的次数，则分钟内等不到的次数，则 (1)P Y 251(1)0.5167e 上一页上一页下一页下一页58P P4444习题习题2.14 2.14 设随机变量设随机变量XN(108,3XN(108,32 2),),求：求：(1)(1)常数常数a a，使，使PXa=0.90;PXa=0.90;(2)P101.1x11.76.(2)P101.1x11.76.解解: :(1)(1)由题设可知由题设可知查表可知查表可知所以所以()( )P XaF a108()0.90,3a 1081.283a111.84a 上一页上一页下一页下一页59(2)(2)因为因为 又因为又因为 所以所以(101.1117

31、.6)PX(117.6)(101.1)FF117.6 108101.1 108()()33 ()1( )xx (101.1117.6)0.988PX上一页上一页下一页下一页60P44习题习题2.15 某产品的质量指标若要求某产品的质量指标若要求2(160,)XN , ,若要求若要求1202000.8PX , ,问许最大的多少？问许最大的多少？解：解：因为因为1202000.8PX ，即，即(200)(120)FF200 160120 160()()4040()() 4040()1() 上一页上一页下一页下一页6140()0.90 401.2831.20402 () 10.8 查表可知查表可知所

32、以所以上一页上一页下一页下一页62P44习题习题2.16 测量到某一目标的距离发生的随机误测量到某一目标的距离发生的随机误差差X(m)具有概率密度具有概率密度 求：在三次测量中至少有一次误差的绝对值不超过求：在三次测量中至少有一次误差的绝对值不超过30m的概率。的概率。(20)320021( )40 2xf xe上一页上一页下一页下一页63 解：误差的绝对值不超过解：误差的绝对值不超过30米的概率为米的概率为 所以误差超过所以误差超过30米的概率为：米的概率为： 1-0.4931=0.5069所以三次误差绝对值都超过所以三次误差绝对值都超过30米的概率为米的概率为( 3030)PX(30)(

33、30)FF30203020()()0.49314040 333(0.5069)C上一页上一页下一页下一页64 因此三次测量中至少有一次误差绝对值不超因此三次测量中至少有一次误差绝对值不超过过30的概率为的概率为 3331(0.5069)0.869C上一页上一页下一页下一页65内任一子区间上取值的条件概率与该子区间内任一子区间上取值的条件概率与该子区间的长度成正比的长度成正比. .P44习题习题2.17 设随机变量设随机变量X的绝对值不大于的绝对值不大于1 1 ；在事件在事件-1-1X11出现的条件下，出现的条件下， X在在(- -1,1)试求试求: :(2)(2) X取负值的概率取负值的概率P

34、 (1)1/8 ,(1)1/4;P XP X (1)(1)X的分布函数的分布函数F(x) 上一页上一页下一页下一页66解解由题设知由题设知设设于是于是(1) 当当1,x ( )()( )0F xP XxP 当当1,x ( )()()1F xP XxP 当当11,x ( 11)( 11)(1)(1)PXPXP XP X 11/81/45/8 ( 111)(1)PXxXk x 上式中令上式中令 得得1x 12k 1/2k( 111)(1)/2PXxXx 推导较复杂先做准备工作推导较复杂先做准备工作.上一页上一页下一页下一页67) 11,1( XxXP)1() 1()(xXPFxF ) 11(XP)

35、 111( XxXP2/ ) 1)(8/5( x又又) 1() 1() 1() 1( XPXPXPF8/18/10 于是当于是当 时，时，11 x.16/ )75() 1()1()( xFxXPxF16/ ) 55 (x上一页上一页下一页下一页681,0 x1,1 x11,16/ )75( xx )(xF1011)(xFx(2)(2).16/ 7) 00 ()00 () 0 () 0 ( FFFF)0()0()0( XPXPXPp上一页上一页下一页下一页69P45习题习题2.18 设设XB(3,0.4),求下列随机变量的分布律求下列随机变量的分布律 1、Y1=X2 2、Y2= X2- -2X

36、3、Y3=3X- -X22解：解：X的概率分布为的概率分布为PX=k= 列表如下：列表如下：X0123X20149X2- -2X0- -1033X- -X220110概率概率0.2160.4320.2880.064. 3 , 2 , 1 , 0;6 . 04 . 033kCkkk上一页上一页下一页下一页70Y1 0 1 4 9P0.216 0.432 0.288 0.064Y2 - -1 0 3P0.432 0.504 0.064Y3 0 1P0.28 0.72则有则有Y1 ，Y2 ，Y3的分布律分别为的分布律分别为上一页上一页下一页下一页71P45习题习题2.19 设随机变量设随机变量X的概

37、率密度函数为的概率密度函数为求随机变量求随机变量Y= 的概率密度函数。的概率密度函数。解：解：先求先求Y的分布函数的分布函数FY(y)=PY y=P y0( )00 xexf xx （1）当）当y1时时， =P(X0)=0(2) 当当y 1时时,FY(y)= P(X lny)=XeXe)(yFYydxedxeyyxx11lnln0上一页上一页下一页下一页72所以所以Y的概率密度函数为的概率密度函数为即即yYFY110)(11yy210)(yxf11yy上一页上一页下一页下一页73第三章第三章 多维随机变量及其分布多维随机变量及其分布上一页上一页下一页下一页74P72习题习题3.1 箱子里装有箱

38、子里装有1212只开关，其中只有只开关，其中只有2 2 只只次品，从箱中随机地取两次，每次取一只，且设随次品，从箱中随机地取两次，每次取一只，且设随机变量机变量X X，Y Y为为 .1,0,Y;1,0,X若第二次取得次品若第二次取得正品，若第一次取得次品若第一次取得正品，试就放回抽样与不放回抽样两种情况，写出试就放回抽样与不放回抽样两种情况，写出X与与Y的联合分布律的联合分布律.上一页上一页下一页下一页75解解:先考虑放回抽样的情况先考虑放回抽样的情况.3611221221Y1,PX,36512101220Y1,PX,36512212101Y0,PX,3625121012100Y0,PXXY0

39、1025/365/3615/361/36则则X,Y的联合分布律为：的联合分布律为：上一页上一页下一页下一页76再考虑不放回抽样的情况再考虑不放回抽样的情况 .6611111221Y1,PX,33511101220Y1,PX,33511212101Y0,PX,221511912100Y0,PXXY01015/225/3315/331/66则此种情况下，则此种情况下，X与与Y的联合分布律为：的联合分布律为：上一页上一页下一页下一页77P72习题习题3.2 将一硬币连掷三次，以将一硬币连掷三次，以X表示在三次中表示在三次中出现正面的次数，以出现正面的次数，以Y表示在三次中出现正面次数表示在三次中出现

40、正面次数与出现反面次数之差的绝对值，试写出与出现反面次数之差的绝对值，试写出（X,Y）的的联合分布律及边缘分布律联合分布律及边缘分布律. 解解: : 已知可得：已知可得：X的取值可能为的取值可能为0，1，2，3；Y= Y 的取值可能为的取值可能为1，3；硬；硬币出现正面和反面的概率各为币出现正面和反面的概率各为 ，可知，可知21| 32 | | )3 (|XXX上一页上一页下一页下一页78.812121213Y3,PX0;1Y3,PX0;3Y2,PX;83212121C1Y2,PX0;3Y1,PX;83212121C1Y1,PX;812121213Y0,PX);0(1Y0,PX2313发生此情

41、况不可能上一页上一页下一页下一页79Y13X 0 1 2 3 0 3/8 3/8 0 6/8 1/8 0 0 1/8 2/8 1/8 3/8 3/8 1/8 1联合概率分布表为联合概率分布表为: :jp ip上一页上一页下一页下一页80解：解：由已知可得：由已知可得：X的取值可能为的取值可能为0，1，2，3；Y的取值可能为的取值可能为0，1，2，3；则；则;2713131313Y0,PX;91313131C2Y0,PX;91313131C1Y0,PX;2713131310Y0,PX2313P72习题习题3.3 把三个球随机地投入三个盒子中去，把三个球随机地投入三个盒子中去，每个球投入各个盒子的

42、可能性是相同的，每个球投入各个盒子的可能性是相同的，设随机变量设随机变量X与与Y分别表示投入第一个及第分别表示投入第一个及第二个盒子中的球的个数，求二维随机变量二个盒子中的球的个数，求二维随机变量(X,Y)的概率分布及边缘分布的概率分布及边缘分布. .上一页上一页下一页下一页810.3Y3,PX2Y3,PX1Y3,PX;271313131C0Y3,PX0;3Y2,PX2Y2,PX;91313131C1Y2,PX;91313131C0Y2,PX0;3Y1,PX;91313131C2Y1,PX;92313131CC1Y1,PX;91313131C0Y1,PX33232313121313上一页上一页

43、下一页下一页82则二维随机变量则二维随机变量（X,Y）的概率分布及边缘分布为的概率分布及边缘分布为XY012301/271/9 1/9 1/278/2711/9 2/9 1/904/921/9 1/9002/931/270001/278/274/9 2/9 1/271jp ip上一页上一页下一页下一页83P72习题习题3.4 设设(X,Y)的概率密度为的概率密度为.0,4,y22,x0y),x(681y)f(x,其它求：求： (1) P(x,y)D, 其中其中D=(x,y)|x1,y3; (2) P(x,y)D, 其中其中D=(x,y)|x+y3.上一页上一页下一页下一页8483y)dxdyx

44、(681y)dxdyf(x,Dy)P(x,103213 245y)dxdyx(681y)dxdyf(x,Dy)P(x,10 x32D 解：解：（1） （2） 上一页上一页下一页下一页85其它.0,Ryx),yxc(Ry)f(x,22222Rrryx222P72习题习题3.5 设设(X,Y)的概率密度为的概率密度为 求：求： (1)系数系数c； (2)(X,Y)落在圆落在圆内的概率内的概率.上一页上一页下一页下一页86, 1y)dxdyf(x,1,dxdy)yxc(R222Ryx223R3c ,222ryx|y)(x,D)3R2r(1R3)dxdyyx(RR3y)dxdyf(x,DY)P(X,3

45、ryx223D222解：解：（1 1） 由由得得可求得可求得（2 2） 设设则则上一页上一页下一页下一页87P72习题习题3.6 已知随机变量已知随机变量X和和Y的联合概率密的联合概率密度为度为其他.0,1,y1,0 x04xy,y)f(x,求求X和和Y的联合分布函数的联合分布函数 。解：解：随机变量随机变量X和和Y的联合概率密度为的联合概率密度为其他.0,1,y1,0 x04xy,y)f(x,当当x0,x0,或或y0y0时，时，F(x,y)=0;F(x,y)=0;当当1y1,0 x0时时，;22x0y0yx4XYdXdY=y Yx, PX=y)F(x, 上一页上一页下一页下一页881y1,x

46、0;2x010 x4XYdXdY=y Yx, PX=y)F(x, 1y1,0 x;210y0y4XYdXdY=y Yx, PX=y)F(x, 1;4XYdXdY=y Yx, PX=y)F(x,1010 1y1,x 11y1,0 x y1y1,x0 x1y1,0 x0 yx0y0,x0=y)F(x,2222或当当时时，当当时时，综上可得，综上可得，X X和和Y Y的联合分布函数为的联合分布函数为1y1,x当当时时，上一页上一页下一页下一页89P72习题习题3.7 设二维随机变量设二维随机变量(X,Y)的概率密度为的概率密度为其他.0,6,y6,0 x0y),k(xy)f(x,（1）求常数）求常数

47、k；（2）求）求 P0 x2,1y3;（3）求）求X,Y的边缘概率密度；的边缘概率密度；（4）判断）判断X与与Y是否相互独立是否相互独立.上一页上一页下一页下一页90 1y)dxdyf(x,1,y)dxdyk(x6060 2161=k1216k解：解：（1 1） 由概率密度的性质有由概率密度的性质有 即即有有（2） 2031181y)dxdy(x21613y2,1xP0上一页上一页下一页下一页91y)dyf(x,(x)fX;363xy)dy(x2161(x)f60X0.(x)fX.0,6,x0,363x(x)fX其他 (3) X (3) X的边缘概率密度为的边缘概率密度为当当0 x60 x6时

48、，时，当当x0 x0或或x6x6时，显然有时，显然有上一页上一页下一页下一页92y)dxf(x,(y)fYY Y的边缘概率密度为的边缘概率密度为;363yy)dy(x2161(y)f60Y0.(y)fY其他.0,6,y0,363y(y)fY当当0y60y0时时,( )( , )Xfxf x y dy yxedy .xe , 0( )0, 0 xXexfxx P73习题习题3.10 设设 (X,Y)的概率密度为的概率密度为上一页上一页下一页下一页1011( , )( , )|1DP XYf x y dxdyDx yxy 其其中中y)dxf(x,(y)fY0(y)fYy0yyYyedxe(y)f0

49、yye0y0 (y)fyYY的边缘概率密度的边缘概率密度为为当当y0时，时，当，当y0时，时，所以所以Y的边缘概率密度的边缘概率密度而而11/2112012xyxdxedyee 上一页上一页下一页下一页102P73习题习题3.11 设设X,Y相互独立，其概率密度为相互独立，其概率密度为0.y, 00,y ,e(y)f其他;0,1,x01,(x)fyYX求求Z=X+Y的概率密度的概率密度. . x)dx(z(x)ff(z)fYXZ0)xz ,1x00(z)fZ时当解：解：由已知得由已知得 当当z1z1时，时，Z=X+YZ=X+Y的概率密度为的概率密度为上一页上一页下一页下一页104此种类型的题目

50、建议先求分布函此种类型的题目建议先求分布函 数在求导得密度函数数在求导得密度函数 解：解：X与与Y独立，则独立，则 其它00, 10)()(),(yxeyfxfyxfyYX则则 zyxZdxdyyxfzYXPzF),()()(上一页上一页下一页下一页105易求 100100110)(xzzzyzxzzyZeedyedxezdyedxzF1100zzz上一页上一页下一页下一页106从而从而1z1)e(e1z0e10z0(z)fzzZ上一页上一页下一页下一页107P73习题习题3.12 设随机变量设随机变量（X,Y）的概率密度为的概率密度为其他.0,1,xx,0y03x,y)f(x,求求Z=X-Y

51、的概率密度的概率密度. .zYXzxZy)dyf(x,dxy)dxdyf(x,zYPXzPZ(z)F解：解： Z=X-Y的分布函数为的分布函数为 上一页上一页下一页下一页108其他.0,1,xx,0y03x,y)f(x,.0,1,z0),z(123(z)f2Z其他Z=XYZ=XY的概率密度为的概率密度为 12123330)(0013zxzxzxZzzxdydxxdydxzF1100zzz上一页上一页下一页下一页109 222221, ,2xyfx yex y P73习题习题3.13 设随机变量设随机变量(X,Y)的联合概率密度的联合概率密度为为求求Z=X2+Y2的的概率密度。概率密度。上一页上

52、一页下一页下一页11022( )()ZFzP XYz 222220012rzderdr 222201rzerdr 222222212xyxyzedxdy 221.ze ( )( )ZZfzFz 2221,02zez 0,0z 0Z 0zYPXzPZ(z)F22Z时，时， Z 0时，时，解解: 当当 当当上一页上一页下一页下一页1111y2,0 x0|yx,G其他.0,1，y2,0 x0,21y)f(x,sxyy)dxdyf(x,sPXYsPSs)F(P73习题习题3.14 设二维随机变量设二维随机变量（X,Y）在矩形在矩形上服从均匀分布，试求边长为上服从均匀分布，试求边长为X和和Y的矩形面积的

53、矩形面积S的的概率密度概率密度f(s).解：解：由已知可得随机变量由已知可得随机变量（X,Y）的概率密度为的概率密度为设边长为设边长为X和和Y的矩形面积的矩形面积S的分布函数为的分布函数为F(s)，则，则上一页上一页下一页下一页1120.F(s)0S 时，当2slns)(ln22s2sdx2xsdy21dxdy21dxy)dyf(x,dxF(s)2s2sxs0s01020 xs01)xs1(dy21dxF(s)2S20 xs0时，当2s0,s0,2s0lns),(ln221f(s)或 矩形面积矩形面积S的概率密度为的概率密度为时，当2S0上一页上一页下一页下一页113P73P73习题习题3.3

54、.15 设设X和和Y为两个随机变量，且为两个随机变量，且,740PY0XP,730Y0,XP.0Y)max(X,P求求解：解：0Y0,XP0Y0,XP0PX173740Y0,XP0PX0Y0,XP710Y0,XP同理可得同理可得上一页上一页下一页下一页1140Y)max(X,P10Y)max(X,P.757210Y0,X0,XP0Y0,XP0Y0,XP0Y0,XP又又10Y0,XP上一页上一页下一页下一页115 22100100121, ,2100yxfx yex y 求求： (1) P X0的指数分布，当三个元件都无故障的指数分布，当三个元件都无故障时，电路正常工作

55、，否则整个电路不能正常工作。时，电路正常工作，否则整个电路不能正常工作。试求电路正常工作的时间试求电路正常工作的时间T的概率分布。的概率分布。 , 0,0, 0.xexfxx 解解：三个元件都无故障工作时间分别为三个元件都无故障工作时间分别为X,Y,Z,则则 T=min(X,Y,Z),且且X,Y,Z的概率密度都为的概率密度都为上一页上一页下一页下一页13031.te 则则 TFtP Tt 1P Tt 1 P Xt P Yt P Zt 311XFt 故故T服从参数为服从参数为30的指数分布的指数分布,即概率密度为即概率密度为 33, 0,0, 0.tetf tt 上一页上一页下一页下一页131第

56、四章第四章 随机变量的数字特征随机变量的数字特征上一页上一页下一页下一页132P89习题习题4.1解：设所需比赛场数为解：设所需比赛场数为X,则则X的分布律为的分布律为X45671/81/45/165/16P解：设所需比赛场数为解：设所需比赛场数为X,则则X的分布律为的分布律为169316571656415814)(XE上一页上一页下一页下一页133P89习题习题4.2解：由题意知，解：由题意知，10个电子元件中有个电子元件中有2个次品，所以个次品，所以在取得正品前已取出次品数在取得正品前已取出次品数X的取值有三种情况，的取值有三种情况，即即X=0, X=1 X=2. ,458910821,5

57、4019110181211018CCCCXPCCXP,45189108221819110181112CCCCCCXP上一页上一页下一页下一页134则则X的分布律为的分布律为X0124/58/451/45PX X的数学期望为的数学期望为92451045124581540)(XE上一页上一页下一页下一页135P89习题习题4.3解：乘客侯车时间的随机变量X在区间0,5服从均匀分布，其密度函数为505 . 25)(x)(dxxdxxfXE其他,0,50,51)(xXf上一页上一页下一页下一页136635)(12255 . 2325)()()(22XDXEXEXD502223255)(x)(dxxdx

58、xfXE5351330dxXP(2) （2）上一页上一页下一页下一页137解：由题意可知，04442sin21)()()(xdxxdxxfxXEYE0222sin21)()()(xdxxdxxfxXEYE2044)()()(2222YEYEYDP89习题习题4.4上一页上一页下一页下一页138P90习题习题4.5解：(1)由密度函数的性质得13)a, 1)(102abdxbxdxxf（即5324)a)()(102abdxbxxdxxxfXE（又由又由.56,53ba上一页上一页下一页下一页139（2）当x0时，F(x)=0, 当0 x1时， xxdxxfxFx5352)()(3故故X的分布函数

59、的分布函数.1, 1, 10,5352,0,0)(3xxxxxxF 上一页上一页下一页下一页140（3）（4）15352)(110dxxfXP2511| )5256()5653()(10351022xxdxxXE2522592511)()()(22XEXEXD上一页上一页下一页下一页141P90习题习题4.6解：随机变量X的密度函数为., 0,2 , 0,21)(其他xxf. 0| )cos(2121sin)(sinE2020 xdxxx上一页上一页下一页下一页142P90习题习题4.7解：由题意可知：解：由题意可知：00000212212)(2)(2)(2)2 (dxexdxexdxxxfdxxxfdxxxfXExx001)21()21()(|)(|dxexdxexdxxfxXExx0202|231)21()21()(dxeedx