重庆市铜梁中学2012-2013学年高二数学下学期第一次月考试题 理 新人教A版

1、2012-2013学年重庆市铜梁中学高二（下）第一次月考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（每题5分，共50分）1（5分）函数f（x）=（x2）2，则f（1）=（）A2B2C1D1考点：导数的运算；函数的值专题：计算题分析：首先求出函数的导函数，在导函数解析式中把x取1即可求得f（1）解答：解：由f（x）=（x2）2，得：f（x）=2（x2）（x2）=2x4所以，f（1）=2×14=2故选A点评：本题考查了简单的复合函数求导法则，考查了基本初等函数导数公式，解答时也可把原函数展开后再求导，是基础题2（5分）（2005安徽）函数f（x）=x3+ax2+3x9，已知f（x）在x

2、=3时取得极值，则a=（）A2B3C4D5考点：利用导数研究函数的极值专题：计算题分析：因为f（x）在x=3是取极值，则求出f（x）得到f（3）=0解出求出a即可解答：解：f（x）=3x2+2ax+3，又f（x）在x=3时取得极值f（3）=306a=0则a=5故选D点评：考查学生利用导数研究函数极值的能力3（5分）已知物体的运动方程是（t表示时间，单位：秒；s表示位移，单位：米），则瞬时速度为0米每秒的时刻是（）A0秒、2秒或4秒B0秒、2秒或16秒C2秒、8秒或16秒D0秒、4秒或8秒考点：导数的几何意义专题：计算题分析：对物体的运动方程求导为瞬时速度，令其为0得瞬时速度为0米每秒的时刻解答

3、：解：s=t312t2+32t令s=t312t2+32t=0得t=0或 t=4或t=8故选项为D点评：考查导数在物理中的应用：位移求导为瞬时速度4（5分）由y=sinx，y=cosx，x=0，x=所围成的图形面积可表示为（）ABCD考点：定积分专题：导数的综合应用分析：如图所示，利用定积分的几何意义即可得出解答：解：如图所示：当x0，时，由sinx=cosx，解得则由y=sinx，y=cosx，x=0，x=所围成的图形面积可表示为+故选B点评：正确理解定积分的几何意义是解题的关键5（5分）抛物线y=x2+bx+c在点（1，2）处的切线与其平行直线bx+y+c=0间的距离是（）ABCD考点：抛物

4、线的简单性质专题：计算题分析：求出函数f（x）=x2+bx+c在点x=1处的导数值，这个导数值即函数图象在该点处的切线的斜率，然后根据两直线平行的条件列方程求解b，a，最后利用平行直线间的距离求解即可解答：解：由题意得：f'（x）=2x+b，f（1）=2+b，即函数在点x=1处的切线的斜率是2+b，直线bx+y+c=0的斜率是b，所以2+b=b，解得b=1抛物线y=x2+bx+c过点（1，2），2=11+c，c=2，故切线xy3=0与其平行直线xy2=0间的距离是=故选B点评：本题考查导数的几何意义、两直线平行的条件，把握好这两个知识，列式易求解问题6（5分）若在区间（a，b）内有f（

5、x）0且f（a）0，则在（a，b）内有（）Af（x）0Bf（x）0Cf（x）=0D不能确定考点：函数的单调性与导数的关系分析：利用导函数的符号，判断出函数f（x）在区间（a，b）内的单调性，利用单调性判断出函数值的大小解答：解：在区间（a，b）内有f（x）0f（x）在区间（a，b）内递增x（a，b）f（x）f（a）f（a）0f（x）0故选A点评：利用导数求函数的单调区间：遵循当导函数为正，函数单调递增；当导函数为负，函数单调递减7（5分）已知任意数x满足f（x）为奇函数，g（x）为偶函数，且x0时，f（x）0，g（x）0，则x0时（）Af（x）0，g（x）0Bf（x）0，g（x）0Cf（x）0

6、，g（x）0Df（x）0，g（x）0考点：利用导数研究函数的单调性；奇偶性与单调性的综合专题：计算题；函数的性质及应用分析：通过函数的奇偶性与函数的导数的符号，判断x为负时，函数的导数的符号即可解答：解：因为任意数x满足f（x）为奇函数，对称区间上函数的单调性相同，当x0时，f（x）0，则x0时，f（x）0，任意数x满足g（x）为偶函数，对称区间上函数的单调性相反，当x0时，g（x）0，则x0时g（x）0，故选B点评：本题考查函数的单调性与函数的奇偶性的关系，单调性与函数的导数的符号的关系，考查基本知识的应用8（5分）方程2x36x2+7=0在（0，2）内根的个数有（）A0个B1个C2个D3个

7、考点：根的存在性及根的个数判断专题：计算题分析：令f（x）=2x36x2+7，由导数判断函数在（0，2）上的单调性，再结合函数零点的存在性定理求解即可解答：解：令f（x）=2x36x2+7，=6x（x2），f（x）=6x212x，由f（x）0得x2或x0；由f（x）0得0x2；又f（0）=70，f（2）=10，方程在（0，2）内只有一实根故选B点评：本题考查方程根的个数的判断、函数性质的应用、零点的存在性定理等知识，考查利用所学知识解决问题的能力9（5分）若关于x的方程x33x+m=0在0，2上有根，则m的取值范围（）Am2B2m0Cm2D2m2考点：函数零点的判定定理专题：函数的性质及应用分

8、析：由题意可得m=x33x，x0，2，利用导数判断函数在0，1上增，在1，2上减，由此求得函数m在0，2上的值域，从而求得m的范围解答：解：由题意可知方程x33x+m=0在0，2上有解，则函数m=x33x，x0，2求出此函数的值域，即可得到实数m的取值范围令y=x33x，x0，2，则 y'=3x23，令y'0，解得x1，故此函数在0，1上增，在1，2上减，又当x=1，y=2； 当x=2，y=2； 当x=0，y=0函数y=x33x，x0，2的值域是2，2，故m2，2，m2，2，故选 D点评：本题考查学生对一元三次方程的图象的认识，以及对函数值正负与图象关系的利用，体现了转化的数学

9、思想，属于基础题10（5分）（2009湖南）设函数y=f（x）在（，+）内有定义对于给定的正数K，定义函数 取函数f（x）=2xex若对任意的x（+，），恒有fk（x）=f（x），则（）AK的最大值为2BK的最小值为2CK的最大值为1DK的最小值为1考点：函数恒成立问题专题：计算题；压轴题；转化思想分析：根据新定义的函数建立fk（x）与f（x）之间的关系，通过二者相等得出实数k满足的条件，利用导数或者函数函数的单调性求解函数的最值，进而求出k的范围，进一步得出所要的结果解答：解：由题意可得出kf（x）最大值，由于f（x）=1+ex，令f（x）=0，ex=1=e0解出x=0，即x=0，当x0时，

10、f（x）0，f（x）单调递减，当x0时，f（x）0，f（x）单调递增故当x=0时，f（x）取到最大值f（0）=21=1故当k1时，恒有fk（x）=f（x）因此K的最小值是1故选D点评：本题考查学生对新定义型问题的理解和掌握程度，理解好新定义的分段函数是解决本题的关键，将所求解的问题转化为求解函数的最值问题，利用了导数的工具作用，体现了恒成立问题的解题思想二、填空题（每题5分，共25分）11（5分）曲线y=ln（2x1）上的点到直线2xy+8=0的最短距离是考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；两条平行直线间的距离专题：计算题分析：对曲线y=ln（2x1）进行求导，令y=2，解出这个点，再根据点

11、到直线的距离进行求解；解答：解：曲线y=ln（2x1），y=，分析知直线2xy+8=0与曲线y=ln（2x1）相切的点到直线2xy+8=0的距离最短，y=2，解得x=1，把x=1代入y=ln（2x1），y=0，点（1，0）到直线2xy+8=0的距离最短，d=2，故答案为2点评：此题主要利用导数研究曲线上某点的切线方程，还考查点到直线的距离，此题是一道基础题；12（5分）圆柱形金属饮料罐的表面积为定值S，要使饮料罐的容积最大，则它的底面半径R为考点：基本不等式；棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积；棱柱、棱锥、棱台的体积专题：计算题；不等式的解法及应用；空间位置关系与距离分析：由圆柱体的表面积s，可

12、得高h与底面半径R的关系，代入柱体体积公式，利用求导法，得体积最大时s与R的关系，从而可求解答：解：圆柱体的表面积为S=2R2+2Rh，h=； 柱体的体积为V=R2h=R2=RsR3；对V求导，得：V=s3R2，令V0，则s3R2=0，此时体积最大；R=故答案为：点评：本题利用柱体的表面积，体积公式，考查了利用导数求函数最大值的问题，是基础题13（5分）已知函数f（x）的导函数为f（x），且满足f（x）=3x2+2xf（2），则f（5）=6考点：导数的运算专题：计算题分析：将f（2）看出常数利用导数的运算法则求出f（x），令x=2求出f（2）代入f（x），令x=5求出f（5）解答：解：f（x）

13、=6x+2f（2）令x=2得f（2）=12f（x）=6x24f（5）=3024=6故答案为：6点评：本题考查导数的运算法则、考查通过赋值求出导函数值14（5分）设函数f（x）=ax33x+1（xR），若对于任意的x1，1都有f（x）0成立，则实数a的值为4考点：利用导数求闭区间上函数的最值专题：计算题分析：弦求出f（x）=0时x的值，进而讨论函数的增减性得到f（x）的最小值，对于任意的x1，1都有f（x）0成立，可转化为最小值大于等于0即可求出a的范围解答：解：由题意，f（x）=3ax23，当a0时3ax230，函数是减函数，f（0）=1，只需f（1）0即可，解得a2，与已知矛盾，当a0时，令

14、f（x）=3ax23=0解得x=±，当x时，f（x）0，f（x）为递增函数，当x时，f（x）0，f（x）为递减函数，当x时，f（x）为递增函数所以f（ ）0，且f（1）0，且f（1）0即可由f（ ）0，即a3+10，解得a4，由f（1）0，可得a4，由f（1）0解得2a4，综上a=4为所求故答案为：4点评：本题以函数为载体，考查学生解决函数恒成立的能力，考查学生分析解决问题的能力，属于基础题15（5分）（2012青岛二模）已知函数f（x）的定义域为1，5，部分对应值如下表，f（x）的导函数y=f（x）的图象如图示x1045f（x）1221下列关于f（x）的命题：函数f（x）的极大值点

15、为0，4；函数f（x）在0，2上是减函数；如果当x1，t时，f（x）的最大值是2，那么t的最大值为4；当1a2时，函数y=f（x）a有4个零点；函数y=f（x）a的零点个数可能为0、1、2、3、4个其中正确命题的序号是考点：利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的极值专题：综合题；压轴题；导数的综合应用分析：由导数图象可知，函数的单调性，从而可得函数的极值，故可得，正确；因为在当x=0和x=4，函数取得极大值f（0）=2，f（4）=2，要使当x1，t函数f（x）的最大值是4，当2t5，所以t的最大值为5，所以不正确；由f（x）=a知，因为极小值f（2）未知，所以无法判断函数y=f（x）

16、a有几个零点，所以不正确，根据函数的单调性和极值，做出函数的图象如图，即可求得结论解答：解：由导数图象可知，当1x0或2x4时，f'（x）0，函数单调递增，当0x2或4x5，f'（x）0，函数单调递减，当x=0和x=4，函数取得极大值f（0）=2，f（4）=2，当x=2时，函数取得极小值f（2），所以正确；正确；因为在当x=0和x=4，函数取得极大值f（0）=2，f（4）=2，要使当x1，t函数f（x）的最大值是4，当2t5，所以t的最大值为5，所以不正确；由f（x）=a知，因为极小值f（2）未知，所以无法判断函数y=f（x）a有几个零点，所以不正确，根据函数的单调性和极值，做

17、出函数的图象如图，（线段只代表单调性），根据题意函数的极小值不确定，分f（2）1或1f（2）2两种情况，由图象知，函数y=f（x）和y=a的交点个数有0，1，2，3，4等不同情形，所以正确，综上正确的命题序号为故答案为：点评：本题考查导数知识的运用，考查导函数与原函数图象之间的关系，正确运用导函数图象是关键三、解答题（共6题，共75分）16（12分）已知x=是函数f（x）=ln（x+1）x+x2的一个极值点（）求a的值；（）求曲线y=f（x）在点（1，f（1）处的切线方程考点：利用导数研究函数的极值；利用导数研究曲线上某点切线方程专题：计算题分析：（）先求导函数，再利用x=是函数f（x）的一个

18、极值点，即f（）=0，从而可求a的值；（）由（）知：f（x）=+2x1，从而可求y=f（x）在点（1，f（1）处的切线的斜率k=，进而可求曲线y=f（x）在点（1，f（1）处的切线方程解答：解：（）f（x）=ln（x+1）x+x2，f（x）=1+axx=是函数f（x）的一个极值点f（）=0，21=0，故a=2（）由（）知：f（x）=+2x1从而曲线y=f（x）在点（1，f（1）处的切线的斜率k=，又f（1）=ln2，故曲线y=f（x）在点（1，f（1）处的切线方程为y=x+ln2点评：本题以函数为载体，考查导数的运用，考查导数的几何意义，有一定的综合性17（12分）（2010江西）设函数f（x

19、）=lnx+ln（2x）+ax（a0）（1）当a=1时，求f（x）的单调区间（2）若f（x）在（0，1上的最大值为，求a的值考点：利用导数研究函数的单调性分析：（1）已知a=1，f（x）=+1，求解f（x）的单调区间，只需令f（x）0解出单调增区间，令f（x）0解出单调减区间（2）区间（0，1上的最值问题，通过导数得到单调性，结合极值点和端点的比较得到，确定待定量a的值解答：解：对函数求导得：，定义域为（0，2）（1）当a=1时，f（x）=+1，当f（x）0，即0x时，f（x）为增函数；当f（x）0，x2时，f（x）为减函数所以f（x）的单调增区间为（0，），单调减区间为（，2）（2）函数f（

20、x）=lnx+ln（2x）+ax（a0），0，所以函数为单调增函数，（0，1为单调递增区间最大值在右端点取到所以a=点评：考查利用导数研究函数的单调性，利用导数处理函数最值等知识18（12分）（2009江西）设函数，（1）对于任意实数x，f'（x）m恒成立，求m的最大值；（2）若方程f（x）=0有且仅有一个实根，求a的取值范围考点：函数恒成立问题；一元二次方程的根的分布与系数的关系专题：计算题分析：（1）先求函数f（x）的导数，然后求出f'（x）的最小值，使f'（x）minm成立即可（2）若欲使方程f（x）=0有且仅有一个实根，只需求出函数的极大值小于零，或求出函数的极

21、小值大于零即可解答：解：（1）f（x）=3x29x+6=3（x1）（x2），因为x（，+），f（x）m，即3x29x+（6m）0恒成立，所以=8112（6m）0，得，即m的最大值为（2）因为当x1时，f（x）0；当1x2时，f（x）0；当x2时，f（x）0；所以当x=1时，f（x）取极大值；当x=2时，f（x）取极小值f（2）=2a；故当f（2）0或f（1）0时，方程f（x）=0仅有一个实根、解得a2或点评：本题主要考查了一元二次函数恒成立问题，以及函数与方程的思想，属于基础题19（13分）设aR，函数f（x）=ax33x2（）若x=2是函数y=f（x）的极值点，求a的值；（）若函数g（x）=

22、f（x）+f'（x），x0，2，在x=0处取得最大值，求a的取值范围考点：函数在某点取得极值的条件；利用导数研究函数的极值；利用导数求闭区间上函数的最值专题：压轴题分析：（）导函数在x=2处为零求a，是必要不充分条件故要注意检验（）利用最大值g（0）大于等于g（2）求出a的范围也是必要不充分条件注意检验解答：解：（）f'（x）=3ax26x=3x（ax2）因为x=2是函数y=f（x）的极值点，所以f'（2）=0，即6（2a2）=0，因此a=1经验证，当a=1时，x=2是函数y=f（x）的极值点（）由题设，g（x）=ax33x2+3ax26x=ax2（x+3）3x（x+2

23、）当g（x）在区间0，2上的最大值为g（0）时，g（0）g（2），即020a24故得反之，当时，对任意x0，2，=0，而g（0）=0，故g（x）在区间0，2上的最大值为g（0）综上，a的取值范围为点评：极值点处的导数等于零是此点为极值点的必要不充分条件，所以解题时一定注意检验20（13分）已知函数f（x）=x2+lnx（1）求函数f（x）在1，e上的最大值，最小值；（2）求证：在区间1，+）上，函数f（x）的图象在函数g（x）=x3图象的下方考点：利用导数求闭区间上函数的最值专题：计算题；证明题；压轴题；转化思想分析：（1）先求导，由导数研究函数的单调、极值，计算端点函数值，比较极值与端点函数值，进而求出函数的最大值、最小值；（2）构造函数设F（x）=x2+lnxx3，利用导数可知函数F（x）的单调性为递减，从而可得F（x）F（1）=0可证解答：解：（1）由f（x）=x2+lnx有f（x）=x+（2分）当x1，0时，f（x）0fmax（x）=f（e）=e2+1，fmax（x）=f（1）=（6分）（2）设F（x）=x2+lnxx3，则F（x）=x+2x2=当x1，+）时，F（x）0，且F（1）=0故x1，+）时F（x）0x2+lnxx3，得证（12分）点评：本题主要考查了导数的应用：求单调区间，求极值、最值，利用单调性证明不等式，解（2）的关键是构造函数，