专题强化训练3　空间向量与立体几何

1、.专题强化训练三空间向量与立体几何老师独具根底达标练1长方体ABCD­A1B1C1D1中，假设3i，2j，5k，那么AijkBijkC3i2j5kD3i2j5kC3i2j5k.2空间向量a，b，且a2b，5a6b，7a2b，那么一定共线的三点是AA，B，DBA，B，CCB，C，DDA，C，DA5a6b7a2b2a4b，a2b，2，A，B，D三点共线，应选A.3平面内有一个点A2，1,2，它的一个法向量为n3,1,2，那么以下点P中，在平面内的是A1，1,1BC.DB对于选项A，1,0,1，那么·n1,0,1·3,1,250，故排除A；对于选项B，那么·n

2、·3,1,20.4如图3­6所示，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，PQ是异面直线A1D和AC的公垂线，那么直线PQ与BD1的关系是【导学号：33242329】图3­6A异面直线B平行直线C垂直不相交D垂直且相交B设正方体的棱长为1.，PQA1D，PQB1C.又PQAC，PQ平面AB1C.又，····110，BD1AC.同理，BD1B1C.BD1平面AB1C.所以PQ与BD1垂直于同一平面AB1C，故PQBD1.5在正方体ABCD­A1B1C1D1中，E是C1C的中点，那么直线BE与平面B1BD所成角

3、的正弦值为ABCDB建立如下图的空间直角坐标系，设正方体的棱长为2，那么D0,0,0，B2,2,0，B12,2,2，E0,2,1，那么2，2,0，0,0,2，2,0,1设平面B1BD的法向量为nx，y，z因为n，n，所以，即，令y1，那么n1,1,0为平面B1BD的一个法向量于是cosn，那么直线BE与平面B1BD所成角的正弦值为.6如图3­7所示，在三棱锥A­BCD中，AB平面BCD，BCCD，且ABBC1，CD2，点E为CD的中点，那么AE的长为_图3­7因为，|1，且···0，所以223，即AE的长为.73a2b2,0,4，c2

4、,1,2，a·c2，|b|4，那么b·c_.33a2b·c2,0,4·2,1,212，即3a·c2b·c12.由a·c2，得b·c3.8在正四棱锥P­ABCD中，高为1，底面边长为2，E为BC的中点，那么异面直线PE与DB所成的角为_. 【导学号：33242330】建立如下图空间直角坐标系，那么B1,1,0，D1，1,0，E0,1,0，P0,0,1，2,2,0，0,1，1，cos，.PE与DB所成的角为.9如图3­8所示，在四棱锥P­ABCD中，PA底面ABCD，ABAD，ABC60&

5、#176;，PAABBC，ADAB，E是PC的中点图3­8求证：PD平面ABE.证明PA底面ABCD，ABAD，AB、AD、AP两两垂直，建立如下图的空间直角坐标系，设PAABBC1，那么P0,0,1、A0,0,0、B1,0,0、D.ABC60°，ABC为正三角形C，E.1,0,0，设平面ABE的一个法向量为nx，y，z，那么即令y2，那么z，n0,2，显然n，n，平面ABE，即PD平面ABE.10如图3­9所示，四棱柱ABCD­A1B1C1D1中，侧面ABCD是梯形，ADBC，底面ABB1A1为菱形，DABDAA1.图3­91求证：A1BAD

6、；2假设ADAB2BC，A1AB60°，求平面DCC1D1与平面ABB1A1所成锐二面角的余弦值【导学号：33242331】 解1证明：如图，连接AB1，A1D，BD，设AB1交A1B于点O，连接OD.由AA1AB，DABDAA1，ADAD，可得AA1DABD，所以A1DBD.由于O是线段A1B的中点，所以DOA1B.又根据菱形的性质得AOA1B，所以A1B平面ADO，从而A1BAD.2由题意知DO平面ABB1A1.因为底面ABB1A1为菱形，所以AB1A1B，分别以射线OB，射线OB1，射线OD为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系O­xyz.如图设ADAB2BC2

7、a，由A1AB60°可知OBa，OAOB1a，所以ODa，从而A0，a,0，Ba,0,0，B10，a,0，D0,0，a，所以a，a,0，0，a，a由可得C，所以.设平面DCC1D1的法向量为mx0，y0，z0，由m·0，m·0，得取y01，那么x0，z03，所以m，1,3又平面ABB1A1的一个法向量为0,0，a，所以cos，m.故平面DCC1D1与平面ABB1A1所成锐二面角的余弦值为.才能提升练1如图3­10所示，矩形ABCD与矩形ABEF全等，二面角D­AB­F为直二面角，M为AB的中点，FM与BD所成的角为，且cos ，那么【

8、导学号：33242332】图3­10A1 BC. DC不妨设BC1，AB，那么.记a，b，c，那么ba，cb，根据题意，|a|c|1，|b|，a·bb·cc·a0，·b22，而|，|，|cos，|，得.应选C.2在棱长为a的正方体ABCD­A1B1C1D1中，M是AA1的中点，那么点A1到平面MBD的间隔 是 A. B. C. D. A建立如下图的空间直角坐标系，那么D0,0,0，M，Ba，a,0，A1a,0，a，a，a,0，a,0，a设平面MBD的法向量为nx，y，z，那么令x1，那么可得n1，1，2da.3如图3­11所

9、示，在60°的二面角­AB­内，AC，BD，ACAB于A，BDAB于B，且ACABBD1，那么CD的长为_图3­11，22222·32·1·1·cos 120°2，|，即CD.4直角ABC中，C90°，B30°，AB4，D为AB的中点，沿中线将ACD折起使得AB，那么二面角A­CD­B的大小为A60° B90° C120° 50°C取CD中点E，在平面BCD内过B点作BFCD，交CD延长线于F.据题意知AECD，AEBF，EF

10、2，AB.且，为二面角的平面角，由|2·得133342×3×cos，cos，.，120°.即所求的二面角为120°.5如图3­12所示，在长方体ABCD­A1B1C1D1中，AA1AD1，E为CD的中点图3­121求证：B1EAD1.2在棱AA1上是否存在一点P，使得DP平面B1AE？假设存在，求AP的长；假设不存在，请说明理由3假设二面角A­B1E­A1的大小为30°，求AB的长【导学号：33242333】解1以A为坐标原点，的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系如图设ABa，那么A0,0,0，D0,1,0，D10,1,1，E，B1a,0,1，故0,1,1，a,0,1，.·01×11×10，B1EAD1.2假设在棱AA1上存在一点P0,0，z0，使得DP平面B1AE.此时0，1，z0设平面B1AE的法向量为nx，y，z，取x1，得平面B1AE的一个法向量为n.要使DP平面B1AE，只需n，即az00，解得z0.又DP平面B1AE，存在点P，满足DP平面B1AE，此时AP.3连接A1D，B1C，由长方体ABCD­A1B1C1