第1章--波导的模式

1、精选优质文档-倾情为你奉上第1章 波导的模式1. 简述光波导模式理论在优化设计和分析模拟光波导器件方面的重要性。光波导是许多光电子器件的基本结构，如滤波器、波分复用器、路由器、波长变换器、调制器、开关、放大器、激光器等等，这些光电子器件在光通信网络中具有十分广泛的应用。在优化设计和分析模拟这些光电子器件时都要涉及到有关光波导模式的基本理论，因此了解和掌握光波导模式理论就显得十分重要。2. 光波导是怎样的一种器件？我们知道，光束在介质中传输时，由于介质的吸收和散射而引起损耗，由于衍射而引起发散，这些情况都会导致光束中心部分的强度随传输距离的增大不断地衰减。光波导是这样一种器件，它能使光束的能量在

2、横的方向上受到限制，从而能够引导光束沿特定的方向传输，并使损耗和噪声降到最小。光波导简称波导。3. 简述三层平板波导的基本结构。结构最简单的波导是由三层均匀介质组成的，中间的介质层称为波导层或芯层，芯层两侧的介质层称为包层或限制层。芯层的折射率要比两侧包层的折射率大，使得光束能够集中在芯层中传输，从而起到导波的作用。令e1、e2、e3分别为波导芯、下包层和上包层的相对介电常数，n1、n2、n3分别为相应的折射率。当n1、n2、n3各自为常数时，称为陡变式折射率分布，或称为阶梯式折射率分布。为了分析方便，常令。当时，称为对称型三层平板波导，当时，称为非对称型三层平板波导。三层平板波导的横截面及相

3、对介电常数分布如图所示。(a) 横截面图 (b) 非对称型 e1 e2 e3 (c) 对称型 e1 e2 = e3(3题图) 三层平板波导的横截面及相对介电常数分布4. 对光波导模式特性的分析，可以采用那些方法？各有什么特点?对光波导模式特性的分析，可以采用射线光学理论。射线光学理论的优点是对平板波导的分析过程简单直观，对某些物理概念能给出直观的物理意义，容易理解。缺点是对于其他结构更为复杂的波导，射线光学理论不便于应用，或只能得出粗糙的结果。光在本质上是一种电磁波。研究光在波导中传输的最基本的方法是采用电磁理论，亦即波动光学理论。这种方法是从麦克斯韦方程组出发导出波动方程和亥姆霍兹方程，在一

4、定的边界条件下求其解。一般而言，若想全面、正确地分析各种结构波导的模式特性，必须采用电磁理论，才能够给出波导模式全面、正确的解析结果或数值结果。5. 什么是波导的模式？波导的模式类型有那些？并说明各种模式的入射角、有效折射率和传播常数的变化范围。我们把波导中所能传输的电磁场型称为波导的模式。波导中的模式分为空间辐射模、衬底辐射模、导模和表面模等几大类。空间辐射模、衬底辐射模和导模的入射角q1、效折射率N和传播常数b的变化范围为折射率分布 模式类型 q1 N bn1n2n3 空间辐射模 衬底辐射模 导 模 . n1n2=n3 空间辐射模 导 模 6. 什么是空间辐射模？光在三层平板波导中传输时，

5、从射线的角度来看，要不断地在波导的两个界面上发生反射和折射，如图所示。当入射角q1较小时，使得光在上下两个界面上都不发生全反射。在这种情况下，光在传输过程中不断地有折射光进入上下包层，即光能量不断地从上下包层中辐射出去，这种模式称为空间辐射模。(6题图) 空间辐射模7. 什么是衬底辐射模？如果入射角q1增大到使光在上界面发生全反射但在下界面还没发生全反射，如图所示，此时光在传输过程中不断地有折射光进入下包层，即光能量不断地从下包层(有时也为衬底)中辐射出去，这种模式称为衬底辐射模。(7题图) 衬底辐射模8. 什么是导模？如果入射角q1增大到使光在上下两个界面上都发生全反射，此时上下包层中不再有

6、折射光，如图所示。在这种情况下，光能量不再向包层中辐射，光被限制在波导芯中以锯齿波的形式沿z方向传输，这种模式称为导模。(8题图) 导模9. 什么是表面模？导模的有效折射率N不可能大于波导芯的折射率n1，传播常数不可能大于k0n1，但是对于某些特殊结构的波导，如金属包层型波导和非线性波导，会出现其有效折射率N大于波导芯折射率n1的情况。这种N n1的模式称为表面模。10. 什么是“快波”？什么是“慢波”？令真空中光波长为l0，频率为f，角频率为w，在波导中光波长为l，则波导中模式传播的相速度为在上面讨论的几种模式中，辐射模的传播常数最小，因此辐射模的相速度最大，称为“快波”，而表面模的传播常数

7、最大，因此表面模的相速度最小称为“慢波”。11. 给出平板波导的标量亥姆霍兹方程的表达式，并阐述其在分析平板波导模式特性方面的重要性。平板波导的标量亥姆霍兹方程的形式为式中f 代表电磁场6个分量Ex、Ey、Ez、Hx、Hy、Hz中的任何一个分量。分析各种结构的波导的模式特性都是从亥姆霍兹方程出发，在一定边界条件下求其解，得到波导的特征方程和场分布函数，进一步数值求解特征方程则可得到波导的模有效折射率N和相应的模传播常数。因此亥姆霍兹方程在分析平板波导模式特性方面具有十分重要性的意义。12. 什么是本征模？本征模的作用是什么？在一定的电磁场边界条件下求解波导的横向亥姆霍兹方程，可得到其一系列特解

8、：场函数和传播常数，这些特解称为本征模。在平板波导中存在两种基本的本征模式，一种称为TE模，另一种称为TM模。而波导中其他形式的电磁场都可以按这两种基本模式进行傅里叶展开来表达。13. 简述平板波导中的两种基本模式TE模和TM模。平板波导中存在两种基本的本征模式TE模和TM模，用光的电场和磁场的偏振方向来定义比较直观。选择电场只沿平行于波导界面的y方向偏振，此时电场垂直于光的传输方向z，是横向的，因而把这种模式称为横电模(Transverse Electric Mode)，又称为TE模。选择磁场只沿平行于波导界面的y方向偏振，此时磁场垂直于光的传输方向z，是横向的，因而把这种模式称为横磁模(T

9、ransverse Magnetic Mode)，又称为TM模。14. 平板波导TE模的电磁场分量的表达式为试阐述它们之间的相互关系。由上面公式可知，TE模电磁场的6个分量中有3个分量为零，另外3个分量不为零，即Ex0(x) = 0，Ez0(x) = 0，Hy0(x) = 0，Ey0(x) 0，Hx0(x) 0，Hz0(x) 0。还可看出，只要知道Ey0(x)的表达式，Hx0(x)、Hz0(x)的表达式都可以用Ey0(x)表示出来。因此对于TE模我们只要求出Ey0(x)的表达式，则Hx0(x)和Hz0(x)的表达式亦可求出。15. 给出平板波导TE模的边界条件。在波导介质层的分界面处，电场和磁

10、场的切线分量都是连续的。y方向和z方向都是介质分界面的切线方向，因此Ey0(x)、Hz0(x) 在介质分界面处都是连续的。由分量关系式可知，Hz0(x)连续相当于连续。令第i层介质与第j层介质在x = a处存在一个介质分界面，则TE模在x = a处的边界条件可写为 16. 平板波导TM模的电磁场分量的表达式为试阐述它们之间的相互关系。由上面公式可知，TM模电磁场的6个分量中有3个分量为零，另外3个分量不为零，即Hx0(x) = 0，Hz0(x) = 0，Ey0(x) = 0，Hy0(x) 0，Ex0(x) 0，Ez0(x) 0。还可看出，只要知道Hy0(x)的表达式，Ex0(x)、Ez0(x)

11、的表达式都可以用Hy0(x)表示出来。因此对于TM模我们只要求出Hy0(x)的表达式，则Ex0(x)、Ez0(x)的表达式亦可求出。17. 给出平板波导TM模的边界条件。在波导介质层的分界面处，电场和磁场的切线分量都是连续的。y方向和z方向都是介质分界面的切线方向，因此Hy0(x)和Ez0(x)在介质分界面处都是连续的。由分量关系式可知，Ez0(x)连续相当于连续。令第i层介质与第j层介质在x = a处存在一个介质分界面，则TM模在x = a处的边界条件可写为 18. 试由平均能流密度公式和平板波导TE模电磁场的分量关系导出TE模在y方向单位波导宽度上的传输功率P的表达式 19. 试由平均能流

12、密度公式和平板波导TM模电磁场的分量关导出TM模在y方向单位波导宽度上的传输功率P的表达式 20. 令三层平板波导的相对介电常数分布为式中b为波导层厚度，。试由亥姆霍兹方程求出其TE导模电场的场分布函数和特征方程。(1) 场分布函数 (2) 特征方程 式中 21. 令三层平板波导的相对介电常数分布为式中b为波导层厚度，。试由亥姆霍兹方程求出其TM导模磁场的场分布函数和特征方程。(1) 场分布函数 (2) 特征方程为 式中 22. 什么是三层平板波导导模的功率限制因子?导模的功率限制因子G 定义为波导芯中的传输功率P1与波导中的传输总功率P之比。功率限制因子是一个衡量波导对光场限制程度的参量，功

13、率限制因子越大，进入包层中的倏逝场就越小，光场就越集中在波导芯中，芯中的传输功率就越大，因而波导对光场的限制就越好。23. 解释三层平板波导的穿透深度和有效波导芯厚度的物理意义。在以前的讨论中，当光在波导界面上发生全反射时，认为光就在入射点上发生反射，入射和反射在同一点上发生，也就是说认为入射点和反射点是同一个点。这时光在波导中的轨迹是一个锯齿波，但实际上却不然。Goos和二人曾于1947年在试验中发现，光的反射并不发生在入射点上，光的反射点和入射点并不是同一点，反射点离入射点有一段距离或位移，如图1-5所示。这是因为任何相移都要与一定的光程或位移相联系，光在界面上产生的全反射相移也不例外。这

14、样看来，光在波导上下界面处发生全反射时，入射光似乎并不是在实际界面上发生反射，而好像是深入到折射率较低的包层中的某一点A或B，然后再反射回来。点A和B到其相邻的波导界面的垂直距离x3和x2称为穿透深度。波导芯的真实厚度b与场在上下包层中的穿透深度x3、x2之和称为有效波导芯厚度。正因为场可以穿过芯与包层的分界面而进入包层，其结果相当于增大了波导芯的真实厚度，这就是有效波导芯厚度的物理意义。(23题图) 穿透深度和有效波导芯厚度24. 试阐述导模和辐射模的传播常数谱的特点。导模的特征方程是传播常数b的超越方程，由它不可能得到b的解析解，只能得到b的数值解。又因为这一方程中含有整数m，取值不连续，

15、因而b的取值也不连续，取分立值，即导模的传播常数组成分立谱。辐射模的特征方程中含有连续变化的参量，因而辐射模的传播常数取连续值，即辐射模的传播常数组成连续谱。25. 对称型三层平板波导中导模的有效折射率随波导芯厚度的变化曲线如图所示，试阐述其变化规律。(25题图) 对称型三层平板波导中TE(实线)和TM(虚线)导模的有效折射率N随波导芯厚度b的变化曲线图中可以看出，有效折射率N随波导芯厚度b的增大而增大，随模阶数m的增大而减小，其中0阶导模的传播常数为最大。当波导芯厚度给定后，传播常数取分立值，并组成分立谱。在此算例中芯层与上下包层的折射率差较小，模阶数相同的TE和TM导模的传播常数趋于相同而

16、接近简并，相应的TE和TM导模的传输曲线近于重合。所谓简并，是指同一个有效折射率的值对应两个或两个以上的模式。如果芯层与上下包层的折射率差增加到足够大，这种简并将会被消除，相应的TE和TM导模的传输曲线将会分离。当导模的有效折射率N等于包层的折射率n2时，变为零，此时导模不再存在，辐射模产生，称为导模截止，图中传输曲线与横轴的交点称为导模的截止点，这些截止点等间距分布。图中可以看出，0阶导模的传输曲线通过坐标原点，即0阶导模的截至芯厚度等于0，这意味着对于任何芯厚度的对称型平板波导，TE0和TM0基模总能在其中传输，永不截止。26. 对称型三层平板波导中导模的场分布如图所示，试阐述其特点。(2

17、6题图) 对称型三层平板波导中TE和TM导模的场分布Ey0(x) (实线)和Hy0(x) (虚线)随波导横截面坐标x的变化曲线，竖直的虚线为波导芯界面对称型三层平板波导中，场分布以为对称轴，由于介电常数是对称分布的，因此场有对称和反对称两种分布。图中可见，对于偶阶模(m = 0, 2, 4,)场是对称分布的，对于奇阶模(m = 1, 3, 5,)场是反对称分布的。电磁场分量的表达式可表示为，其振幅y(x)即为TE和TM导模的场分布函数，与空间位置有关，其相位因子具有平面波的形式，波导中的这种电磁波称为本地平面波。对于导模，由场分布函数可知，x方向的横场在波导芯中为余弦或正弦分布，而在芯两侧的包

18、层中具有指数衰减的形式，在无限远处变为零，包层中这种指数衰减的场称为倏逝场或消失场。包层中的倏逝场衰减的快慢随而定，包层的介电常数或折射率越大，就越小，场衰减得越慢。当x等于包层中的穿透深度即和时，包层中的场强衰减到边界场强的。在此算例中由于芯层和上下包层的折射率差较小，TE和TM导模的场分布曲线基本重合。如果芯层与上下包层的折射率差增加到足够大，TE和TM导模的场分布曲线将会相互分离。27. 非对称型三层平板波导中导模的有效折射率随波导芯厚度的变化曲线如图所示，试阐述其变化规律。(27题图) 非对称型三层平板波导中TE(实线)和TM(虚线)导模的有效折射率N随波导芯厚度b的变化曲线图中可以看

19、出，有效折射率N随波导芯厚度b的增大而增大，随模阶数m的增大而减小，其中0阶导模的传播常数为最大。当波导芯厚度给定后，传播常数取分立值，并组成分立谱。当导模的有效折射率N等于下包层的折射率n2时，变为零，此时导模不再存在，辐射模产生，称为导模截止，图中传输曲线与横轴的交点称为导模的截止点，这些截止点等间距分布。图中还可看出，与对称型平板波导的情况不同的是，非对称型平板波导0阶导模的传输曲线不通过坐标原点，即0阶导模的截至芯厚度大于0，这意味着对于非对称型平板波导，若要在其中进行模式传输，其波导芯厚度必须大于0阶导模的截至芯厚度，否则波导中不能进行光的传输。在此算例中芯层与上包层的折射率差较大，

20、模阶数相同的TE和TM导模的传播常数不再相同，简并被消除，因而相应的TE和TM导模的传输曲线已分开。28. 非对称型三层平板波导中导模的场分布如图所示，试阐述其特点。(28题图) 非对称型三层平板波导中TE和TM导模的场分布Ey0(x) (实线)和Hy0(x) (虚线)随波导横截面坐标x的变化曲线，竖直的虚线为波导芯界面非对称型三层平板波导中，由于介电常数是非对称分布的，因此场不再有对称和反对称之分，场呈现非对称分布。电磁场分量的表达式可表示为，其振幅y(x)即为TE和TM导模的场分布函数，与空间位置有关，其相位因子具有平面波的形式，波导中的这种电磁波称为本地平面波。对于导模，由场分布函数可知

21、，x方向的横场在波导芯中为余弦或正弦分布，而在芯两侧的包层中具有指数衰减的形式，在无限远处变为零，包层中这种指数衰减的场称为倏逝场或消失场。下包层和上包层中的倏逝场衰减的快慢随、而定，由于下包层的介电常数或折射率比上包层的介电常数或折射率大，比小，因而场在下包层中衰减地比在上包层中慢。当x等于包层中的穿透深度即和时，下包层和上包层中的场强衰减到边界场强的。在此算例中由于芯层和上包层的折射率差较大，TE和TM导模的场分布曲线已经分离。29. 什么是导模截止？ 导模的有效折射率N的变化范围为，在此范围内导模能够在波导中传输。当导模的有效折射率N等于下包层折射率n2时，即N = n2，导模不复存在，

22、辐射模产生，称为导模截止。30. 导模截止时，其有效折射率N等于下包层折射率n2，即N = n2，试由对称型三层平板波导的特征方程 式中 s = 0对应于TE导模，s = 1对应于TM导模，导出下述物理量的表达式，并阐述其与相关参量的关系：(1) 波导中能够传输的导模数量；(2) 第m阶导模截止时的波导芯厚度;(3) 第m阶导模的截止条件；(4) 相邻两个导模截止点的间距。(1) 给定波导芯厚度b，当第m阶导模截止时，波导中能够传输的导模数量为可以看出，芯厚度b越大，或芯与包层的折射率差越大，或工作波长越小，则波导中所能传输的导模数量就越多。当m不为整数时，波导中所能传输的最高导模阶数为mma

23、x = int(m)，考虑到0阶模，因此波导中所能传输的导模数量为M = mmax +1 = int(m)+1。当m恰为整数时，mmax = m-1，考虑到0阶模，因此波导中所能传输的导模数量为M = mmax +1 = m。(2) 给定波导芯厚度b，波导中第m阶导模截止时的波导芯厚度为 可以看出，模阶数m越高，或工作波长越大，或芯与包层的折射率差越小，则第m阶导模截止芯厚度就越大，因而第m阶导模就越容易截止。(3) 给定波导芯厚度b，波导中第m阶导模的截止条件为上式说明，当芯厚度b等于或小于第m阶导模的截止芯厚度时，第m阶导模截止。对于0阶导模，称为基模，m = 0，由上式知其截止芯厚度为，

24、这意味着对于任何芯厚度的对称型波导，TE0和TM0基模总能在其中传输，永不截止。(4) 相邻两个导模截止点的间距为 可以看出，相邻两个导模截止点的间距与模阶数无关，即各阶导模的截止点等间距排列。还可看出，工作波长越大，或芯与包层的折射率差越小，则相邻两个导模截止点的间距就越大。31. 给出对称型三层平板波导中实现单模传输的条件。在波导器件的实际应用中，常要求在其中使高阶导模截止，只传输TE或TM基模，这种波导称为单模波导。因此在设计和制作单模波导时，其芯厚度要大于0并且小于或等于1阶导模的截止芯厚度，则对称型三层平板波导中实现单模传输的条件为：。32. 导模截止时，其有效折射率N等于下包层折射

25、率n2，即N = n2，试由非称型三层平板波导的特征方程 式中 s = 0对应于TE导模，s = 1对应于TM导模，导出下述物理量的表达式，并阐述与其相关参量的关系：(1) 波导中能够传输的导模数量；(2) 第m阶导模截止时的波导芯厚度;(3) 第m阶导模的截止条件；(4) 相邻两个导模截止点的间距。(1) 给定波导芯厚度b，当第m阶导模截止时，波导中能够传输的导模数量为 式中可以看出，芯厚度b越大，或芯与包层的折射率差越大，或工作波长越小，则波导中所能传输的导模数量就越多。当m不为整数时，波导中所能传输的最高导模阶数为mmax = int(m)，考虑到0阶模，因此波导中所能传输的导模数量为M

26、 = mmax +1 = int(m)+1。当m恰为整数时，mmax = m-1，考虑到0阶模，因此波导中所能传输的导模数量为M = mmax +1 = m。(2) 给定波导芯厚度b，波导中第m阶导模截止时的波导芯厚度为可以看出，模阶数m越高，或工作波长越大，或芯与包层的折射率差越小，则第m阶导模截止芯厚度就越大，因而第m阶导模就越容易截止。(3) 给定波导芯厚度b，波导中第m阶导模的截止条件为上式说明，当芯厚度b等于或小于第m阶导模的截止芯厚度时，第m阶导模截止。对于0阶导模即基模，m = 0，知其截止芯厚度为这一点与对称型波导不同。对于对称型波导，其0阶导模的截止芯厚度为零，这意味着对于任

27、何芯厚度的对称型波导，TE0和TM0基模总能在其中传输，永不截止。而对于非对称型波导，其0阶导模的截止芯厚度不为零。因此在波导器件的设计和制作中，波导芯厚度应大于0阶导模的截止芯厚度，否则波导将不能导波。(4) 相邻两个导模截止点的间距为 可以看出，相邻两个导模截止点的间距与模阶数无关，即各阶导模的截止点等间距排列。还可看出，工作波长越大，或芯与包层的折射率差越小，则相邻两个导模截止点的间距就越大。33. 给出非对称型三层平板波导中实现单模传输的条件。在波导器件的实际应用中，常要求在其中使高阶导模截止，只传输TE或TM基模，这种波导称为单模波导。因此在设计和制作单模波导时，其芯厚度要大于0阶导

28、模的截止芯厚度并且小于或等于1阶导模的截止芯厚度，则非对称型三层平板波导中实现单模传输的条件为34. 设三层对称平板波导的芯厚度为2a，芯层折射率为n1，芯两侧包层折射率为n2，其TE导模电场Ey0(x)满足的亥姆霍兹方程为 (芯内), (芯外)。试把上述方程与质量为 m 的粒子在阱宽为2a、势垒高度为U0的一维方势阱中波函数f(x)和能级E满足的薛定谔方程 (阱内), (阱外)相比较，利用势阱中只有单一能级的条件找出在这种波导中只传输TE0基模的条件。应用类比法：上两式相加有所以在三层对称平板波导中只传输TE0基模的条件为。35. 什么是一维限制的二维波导？什么是二维限制的三维波导？上面讨论

29、的三层平板波导，芯厚度是有限的，而芯宽度是无限的，光场仅在芯厚度方向上受到限制，在芯宽度方向上不受限制，光场沿z方向传输，属于一维限制的二维波导。但实际上常见的波导结构有很多都是芯厚度和芯宽度都是有限的，即光场在芯厚度和芯宽度两个方向上同时受到限制，这种结构属于二维限制的三维波导。36. 在什么情况下才可以把波导看成是二维平板波导？在什么情况下采用三维条形波导结构模型？实际上常见的波导结构的芯厚度和芯宽度都是有限的，仅当波导的芯宽度的尺寸远远大于芯厚度的尺寸时，才可以把波导看成是二维平板波导。当波导芯宽度的尺寸与芯厚度的尺寸可比拟时，即可采用三维条形波导结构模型。37. 常见的条形波导有哪些结

30、构？并加以说明。几种常见的条形波导横截面的结构如图所示，说明如下：图(a)所示的结构称为凸起条形波导，它是在衬底或下包层上生长折射率较大的芯层后，再对芯层进行掩膜光刻而形成的。图(b)所示的结构称为嵌入条形波导，它是在衬底或下包层上光刻开槽后再填充折射率较大的介质而形成芯区。图(c)所示的结构称为掩埋条形波导，它的芯区四周被折射率较小的同一种介质所包围。图(d)所示的结构称为脊形波导，它是在衬底或下包层上生长折射率较大的芯层后，再对芯层进行掩膜光刻而形成的。图(e)所示的结构称为加载条形波导，它是在衬底或下包层上依次生长折射率较大的芯层和折射率较小的加载层后，再对加载层进行掩膜光刻而形成的。其

31、中的凸起条形波导、嵌入条形波导和掩埋条形波导为矩形波导，而脊形波导和加载条形波导可以用有效折射率法或等效折射率法将其转化成等效平板波导或等效矩形波导后进行分析。(37题图) 几种条形波导的横截面简图38. 试阐述矩形波导的结构模型。矩形波导的横截面如图所示，a、b分别为波导芯的宽度和厚度，选取坐标系的原点放在波导芯的中心，并把其截面分成九个区，各区的折射率各自为常数，因此矩形波导的折射率属于阶梯型分布。除了四个带阴影的角区外，在其他五个区中，芯区的介电常数e1比其四周的包层的介电常数e2，e3，e4，e5大。(38题图) 矩形波导横截面的结构简图39. 试阐述矩形波导的马卡梯里近似分析方法。矩

32、形波导结构是一个十分复杂的边界问题，严格地说来，这个边界问题如果用电磁场理论进行严格求解的话，九个区的电磁场分布和边界条件都必须考虑。显然，这个严格方法将使问题变得非常复杂。为了简化分析，并能得出简单实用且精度高的公式，我们需要对矩形波导的结构作一定的近似。这一近似最早是由马卡梯里（Marcatili）提出的，总的来说就是大部分光功率集中在波导芯中传输，在芯区之外的包层中传输的很少，在四个带阴影的角区中传输的就更少。根据这个假定，可以对矩形波导的结构作如下简化：因为在四个带阴影的角区中光的传输功率极小，亦即电磁场极弱，可以略去它们的影响。这样，只须考虑剩下的五个区即芯区及其周围的四个包层区分界

33、面的边界条件即可。这种对矩形波导的近似称为马卡梯里近似。马卡梯里近似相当于把矩形波导转化为在x, y方向上的两个平板波导，利用分离变量法把矩形波导所满足的标量亥姆霍兹方程分解为x, y方向上的两个平板波导所满足的标量亥姆霍兹方程，在一定的边界条件下求其解，则可得到x, y方向上的场分布函数及特征方程。40. 简述矩形波导中的两种基本模式模和模。矩形波导中的电磁场的主要分量集中在波导的横截面上，其波形接近于横电磁模(TEM模)。矩形波导中不再存在TE和TM模，而存在下述两种基本模式。一种是电磁场的主要分量为Ey和Hx，并且Hy很小，可认为Hy = 0，这时电场主要沿y方向偏振，这种模式称为模。另

34、一种是电磁场的主要分量为Hy和Ex，并且Ey很小，可认为Ey = 0，这时电场主要沿x方向偏振，这种模式称为模。这里的下角标m、n分别表示x、y方向的模式阶数。41. 给出矩形波导的标量亥姆霍兹方程的表达式，并阐述其在分析矩形波导模式特性方面的重要性。矩形波导的标量亥姆霍兹方程的形式为 z方向的传播常数满足的公式为 此时z方向传播常数kz简称为传播常数。分析矩形波导模式特性都是从亥姆霍兹方程出发，在一定边界条件下求其解，分别得到波导在x方向和y方向上的特征方程和场分布函数，进一步数值求解特征方程则可得到波导在x方向和y方向上的传播常数kx和ky，进而得到矩形波导的模传播常数kz。42. 矩形波

35、导模的电磁场分量的表达式为 试阐述它们之间的相互关系。由上面公式可知，E模电磁场的6个分量中只有Hy0等于零，另外5个分量都不为零。还可看出，只要知道Hx0(x, y)的表达式，其他四个不为零的场分量Hz0(x, y)、Ex0(x, y)、Ey0(x, y)和Ez0(x, y)的表达式都可以用Hx0(x, y)表示出来。因此对于E模我们只要求出Hx0(x, y)的表达式，则其他四个不为零的场分量的表达式亦可求出。43. 给出矩形波导模的边界条件。在波导介质层的分界面处，电场和磁场的切线分量连续，而电位移和磁感应强度的法线分量连续。对于界面，x方向为法线方向，连续，即有Hx0连续；z方向为切线方

36、向，Hz0连续，由分量关系式可知，Hz0连续相当于连续。对于界面，x和z方向都是切线方向，Hx0连续，Ez0连续，由分量关系式可知，Ez0连续相当于连续。因此，E模的边界条件可总结为(1) 在界面处， (2) 在界面处， 若令，则上述边界条件又可写为(1) 在界面处， (2) 在界面处， 式中角标i、j表示界面两边介质区的编号。44. 矩形波导模的电磁场分量的表达式为 试阐述它们之间的相互关系。由上面公式可知，E模电磁场的6个分量中只有Ey0等于零，另外5个分量都不为零。还可看出，只要知道Ex0(x, y)的表达式，其他四个不为零的场分量Ez0(x, y)、Hx0(x, y)、Hy0(x, y

37、)和Hz0(x, y)的表达式都可以用Ex0(x, y)表示出来。因此对于E模我们只要求出Ex0(x, y)的表达式，则其他四个不为零的场分量的表达式亦可求出。45. 给出矩形波导模的边界条件。在波导介质层的分界面处，电场和磁场的切线分量连续，而电位移和磁感应强度的法线分量连续。对于界面，x方向为法线方向，连续，即有eEx0连续；z方向为切线方向，Ez0连续，由分量关系式可知，Ez0连续相当于连续。对于界面，x和z方向都是切线方向，Ex0连续，Hz0连续，由分量关系式可知，Hz0连续相当于连续。因此，E模的边界条件可总结为(1) 在界面处， (2) 在界面处， 若令，则上述边界条件又可写为(1

38、) 在界面处， (2) 在界面处， 式中角标i、j表示界面两边介质区的编号。46. 令矩形波导x方向的相对介电常数分布为式中2a为波导芯宽度，。试由x方向的亥姆霍兹方程求出导模的磁场在x方向上的分布函数和特征方程。(1) 场分布函数 (2) 特征方程 式中m称为x方向的模阶数。47. 令矩形波导y方向的相对介电常数分布为式中2b为波导芯厚度，。试由y方向的亥姆霍兹方程求出导模的磁场在y方向上的场分布函数和特征方程。(1) 场分布函数 (2) 特征方程 式中n称为y方向的模阶数。48. 令矩形波导x方向的相对介电常数分布为式中2a为波导芯宽度，。试由x方向的亥姆霍兹方程求出导模的电场在x方向上的

39、分布函数和特征方程。(1) 场分布函数 (2) 特征方程 式中m称为x方向的模阶数。49. 令矩形波导y方向的相对介电常数分布为式中2b为波导芯厚度，。试由y方向的亥姆霍兹方程求出导模的电场在y方向上的分布函数和特征方程。(1) 场分布函数 (2) 特征方程 式中n称为y方向的模阶数。50. 试阐述矩形波导的马卡梯里近似分析方法的优缺点。马卡梯里方法对矩形波导模式特性的分析属于一种近似分析方法。它是把矩形波导的波导芯沿x和y方向分别延伸到无限远，将矩形波导分解成两个三层平板波导后，分别对这两个平板波导进行处理而得到场分布函数和特征方程的。用这一方法可在模式远离截止的广大区域内得到模式传播常数或

40、有效折射率十分精确的结果，但在模式临近截止区域内，与精确的数值结果之间存在一定的误差。51. 什么是损耗型波导？波导的损耗有哪些类型？并加以说明。当波导存在损耗时，这种波导称为损耗型波导。波导的损耗大致可以分为三种类型：吸收损耗、散射损耗和辐射损耗。(1) 吸收损耗当光在波导中传输时，光可能被材料中的点阵离子、杂质离子或自由载流子所吸收而造成光的吸收损耗。在半导体材料中，带边吸收和自由载流子吸收是产生吸收损耗的主要原因。另外，当波导有金属包层时，金属也会对光产生吸收而造成光的吸收损耗。(2) 散射损耗当光在波导中传输时，由于波导界面的不平整会引起光的散射。晶体中的非点阵离子也会引起光的散射。被

41、散射的光偏离了光的传输方向，从而造成光的散射损耗。(3) 辐射损耗当波导发生弯曲、偏折或对接时，会引起模式间的耦合，导模可能转化成辐射模而引起光的辐射损耗。另外，高折射率衬底的存在会使导模变成“准导模”，这种准导模中含有无限多个连续模，兼具有导模和辐射模的性质，从而产生辐射而造成光的辐射损耗。52. 给出损耗型介质体振幅衰减系数的表达式。光束在损耗型介质中传输时，其振幅和强度要随传输距离的增大而不断地衰减。损耗型介质体振幅衰减系数的表达式为 式中为体材料中的光振幅。53. 给出损耗型介质的复折射率的定义，并说明损耗型介质的实折射率和振幅衰减系数与其复折射率的关系。损耗型介质i的复折射率的定义式

42、为式中 的实部ni即为前面给出的折射率，称为损耗型介质的实折射率，其虚部中的称为损耗型介质的消光系数。损耗型介质的实折射率和振幅衰减系数与其复折射率的关系为 54. 给出损耗型介质的复相对介电常数的定义。损耗型介质i的复相对介电常数的定义式为式中 的实部ei即为前面给出的相对介电常数，称为损耗型介质的实相对介电常数。55. 试阐述损耗型介质的复折射率与光波的振幅和相位的关系。损耗型介质复折射率虚部中的与光波的振幅相联系，决定了因介质的损耗而引起光波振幅的衰减，而损耗型介质复折射率的实部ni与光波的相位相联系，它决定了光波的相速。56. 一般的损耗型介质与金属型介质有什么不同之处？对于一般的损耗

43、型介质而言，其实折射率远大于其消光系数，因此可知，即一般损耗型介质的复相对介电常数的实部为正数。但是对于金属型介质而言，其实折射率却远小于其消光系数，因此可知，即金属型介质的复相对介电常数的实部变为负数，这一点在分析模拟中要特别加以注意。57. 给出损耗型波导的模振幅衰减系数的表达式。光束在损耗型波导中传输时，其振幅和强度要随传输距离的增大而不断地衰减。损耗型波导的模振幅衰减系数的表达式为式中为波导中的模振幅。58. 给出损耗型波导的模复有效折射率的定义，并说明损耗型波导的模实有效折射率和模振幅衰减系数与其复有效折射率的关系。损耗型波导的模复有效折射率的定义式为 式中 的实部N即为前面给出的模

44、有效折射率，称为损耗型波导的模实有效折射率，其虚部中的称为损耗型波导的模消光系数。损耗型波导的模实有效折射率N和模振幅衰减系数与其复有效折射率的关系为 59. 给出损耗型波导的模复传播常数的定义，并说明损耗型波导的模实传播常数和模振幅衰减系数与其复传播常数的关系。损耗型波导的模复传播常数的定义式为 式中 的实部即为前面中给出的模传播常数，称为损耗型波导的模实传播常数。损耗型波导的模实传播常数b和模振幅衰减系数a与其复传播常数之间的关系为 60. 试阐述损耗型波导的模复有效折射率与模的振幅和相位的关系。损耗型波导的模复折射率虚部中的与模的振幅相联系，决定了因波导的损耗而引起模式振幅的衰减，而模的

45、复有效折射率的实部N与模的相位相联系，它决定了模式的相速。61. 试阐述有效折射率法在矩形波导上的应用。矩形波导的横截面如图(a)所示，图中a、b分别为波导芯的宽度和厚度，n1为波导芯的折射率，n2，n3，n4，n5分别为四周包层的折射率。有效折射率法是把矩形波导等效成x方向厚度为a的三层平板波导，如图(c)所示，这一等效平板波导的折射率分布n3，N1，n5可由下述方法确定。(61题图) (a) 矩形波导的横截面图，(b) y方向三层平板波导，(b) x方向三层等效平板波导(1) 首先把芯宽a在方向上延长为无限大，形成一个在y方向折射率分布为n2，n1，n4，芯厚度为b的三层平板波导，如图(b)所示，由三层平板波导TE导模（对于E导模）或TM导模（对于E导模）的特征方程求出其有效折射率N1。(2) 然后把N1作为如图(c)所示的x方向等效平板波导芯层的折射率，其两侧包层的折射率仍为原矩形波导左右包层的折射率n3和n5，由三层平板波导TM导模（对于E导模）或TE导模（对于E导模）的特征方程求出其有效折射率N，并把N作为原矩形波导的模有效折射率。62. 试阐述有效折射率法在脊形矩形波导上的应用。脊形波导的横截面如图(a)所示，图中n1，n2，n3分别为芯区、下包层