第六讲定积分的应用

1、第六章 定积分应用一、学习目的与要求1、能正确应用定积分计算平面图形的面积、立体的体积、平面曲线的弧长。2、能应用定积分计算一些简单的物理量，如功、水压力等。二、学习重点应用定积分的元素法建立积分表达式三、内容提要（I）求平面图形的面积由所围成的平面面积为：由所围成的平面面积为：（II）立体的体积设为几何体在点处垂直于轴的横截面面积，则此几何体积为。特别，平面区域绕轴旋转一周所形成的旋转体体积为平面区域绕轴旋转一周所形成的旋转体体积为（III）曲线弧长若曲线方程为，则曲线弧长为若曲线方程为，则曲线弧长为若曲线方程为，则曲线弧长为（）定积分的物理应用（1）变力沿直线作功 其中为变力，物体从运动到

2、（2）液体的静压力 垂直于液体中的平面域一侧所受液体静压力其中为液体密度，平面域由曲线所围，水面与轴平齐（3）函数的平均值 四、思考题1、由定积分的几何意义可知2、曲线与轴所围图形面积为 对吗？为什么？应如何改正？3、函数、在区间、上连续，且，则由曲线， 及直线，所围成图形绕轴旋转的体积是 还是 4、你能用两种方法求曲线与轴围成的图形绕轴旋转所成的旋转体的体积吗？五、典型例题分析例1 求曲线及所围成图形的公共部分的面积（图6-1）。解 由 得交点及。 图6-1由于图形关于极轴（即轴的正半轴）对称，所以，所求面积小结 求平面曲线所围图形的面积，一般步骤为：（1）先画草图，求出边界曲线有关交点 的

3、坐标。（2）确定积分变量与积分区间。（3）求出面积元素。（4）以面积元素为被积表达式在积分区间上作定积分。例2 求曲线在2，6内的一条切线，使得该切线与直线和曲线 所围成的面积最小。分析 这是利用定积分求平面图形面积与求函数最值的综合应用题。首先应求得曲线上任一点M处的切线方程，然后利用定积分求出切线与直线及曲线所围图形面积的最小值。解 曲线上过点的切线方程为由于切点在曲线上，,所以,此切线与直线和曲线所围面积为 令由于 所以在点取得最小值。故在曲线上，过点（4,ln4）的切线即为所求。所求切线方程为 即 小结 解此类题，易出现的问题是，求得切线方程之后，忽略了切点在曲线上。正确的是，满足曲线

4、方程，应该用来表示，进而才能将表达成关于的一元函数。例3 在椭圆上绕其长轴旋转成的椭球体上，沿长轴方向打一圆孔，使剩下部分的体积恰好等于椭球体积的一半，试求该圆孔的直径。分析 如图6-2所示，此椭球的长半轴在轴上，沿轴所打掉体积分三部分。上、下两部分为体积相等的椭球冠，上椭球冠的体积，可视为以椭圆弧AM为曲边的曲边三角形绕轴旋转而成，计算此体积时，应选为积分变量。中间部分为圆柱体。解 设孔之直径为，则A点坐标为，则打掉部分体积 A 图6-2球体积 根据题意，有 故孔的直径时的符合题意要求。小结 用定积分求旋转体的体积，关键是恰当选取积分变量。求绕轴或平行于轴的直线旋转的旋转体体积，一般选为积分

5、变量。求绕轴或平行于轴的直线旋转的旋转体的体积，一般选用为积分变量。例4 求由曲线所围图形分别绕直线轴旋转，所成旋转体的体积（图6-3）。 分析 绕直线旋转时，因旋转轴平行于轴，故选为积分变量。所求旋转体积V，可视为以曲线为曲线，AD为底边的曲边梯形绕直线旋转一周所得体积与 曲线为曲边，AD为底边的曲边三角形绕直线旋转一周所得体积之差。绕轴 y旋转，选为积分变量。所求体积V可视为矩形y=pDAABCD绕轴旋转所得圆柱体体积与抛物线为曲边，AB为底边的曲边梯形绕轴旋转所得体积之差。解 （1）绕直线旋转xO =（2）绕轴旋转 图6-3CB例5 求截锥体的体积，其上、下底为半轴长分别等于A，B和a,

6、b的椭圆，而高等于。分析 这是截锥体，实际为一椭圆台（6-4）。上、下底相互平行，且上、下底椭圆中心的联线垂直于底面，即为截锥体的高。垂直于高线的任一截面均为椭圆，其面积易于求出。因此，这是一平行截面面积为已知的立体。解 建立坐标系如图。选为积分变量。积分区间为0，。任取，过点且垂直于轴的椭圆半轴分别为。则 截面面积故所求体积为： y 图 6-4 图6-5 0 0 x 例6 求曲线的全长。分析 所研究曲线是一积分上限函数的图形，要能求出此曲线的全长，首先需确定函数的定义域。而积分上限的函数其定义域应是使被积函数连续的那些自变量的全体。此题由0，及下限为，推出函数定义域为。解 所以 注意 ,因为

7、 ，所以又因积分区间是关于原点对称的区间，被积函数关于是偶函数故 小结 求曲线的弧长时，注意公式中的被积函数总是正的，为使弧长取正值，确定定积分限时，应取上限大于下限。对于封闭曲线，其终点与端点重合，要注意函数的单值性，对直角坐标方程，要分段计算；对参数方程，定限时，应取动点沿曲线转一周的参数值。例7 求由曲线所围图形边界的周长。分析 曲线表示圆心在（0，0），半径为的上半圆周。方程中，换成（-）表达式不变，曲线关于轴对称。又因为0，所以0。图形在轴上方，再由解出交点A(1,1)、B（-1，1），画出简单草图如图6-5。由于曲线关于轴对称，只需求出第一象限部分图形边界的弧长，再2倍即可。解 =

8、 所以 说明 求平面曲线的弧长，公式并不难掌握，需要指出的是，由于弧长元素，而是一个有理式的情形并不多，所以积分要麻烦一些，而此例是属于积分比较容易的情形。例8 设有一半径为R，长为l的圆柱体，平放在深度为2R的水池中（圆柱体的侧面与水面相切），设圆柱体的比重为，现将圆柱体从水中移出水面，问需作多少功？分析 建立坐标系如图6-6。设想将柱体分层，在水深处，厚度为的一层柱体提出水面所作之功，应分为两部分，一部分是将此薄层提至与水面相切时所作功的近似值R-x y oR+x O y dx x 图6-6 图 6-7 其中是此薄层的体积的近似值。另一部分是将此薄层由与水面相切之处提至现有位置所作功的近似值所以功元素 解 其中 因为积分区间关于原点对称，被积函数为奇函数。其次，若坐标原点选择在与水平面相切处，圆的方程为：（如图6-7）。因为积分区间关于原点不对称，所以计算工作量比前所建立坐标系时大，故对一些应用问题注意恰当选择坐标系，以使计算简便。 y例9 设某水库闸门为椭圆形水泥板，椭圆的长轴平行 h水面，且离水面的距