用传输矩阵法计算一维光子晶体的带隙特性研究

1、创新实验结题报告题 目：一维光子晶体带隙特性研究学 院：自动化工程学院专 业： 自动化 姓 名： 阚枢 指导教师： 李长红 2010年10月15日关键词： 光子带隙 特征矩阵规律1 引言光子晶体是一种折射率周期变化的人工微结构材料 ,其典型结构为一个折射率周期变化的三维物体 ,周期为光波长量级. 光子在光子晶体中传播存在光子带隙.，频率落在光子带隙内的电磁波不能在光子晶体中传播,光子晶体的这种特性具有极大的理论价值和潜在的应用前景。在光子晶体中掺杂后 ,会在光子能隙中引入局域模式 ,这将给激光技术和非线性光学等带来全新的应用 ,如制作零阈值激光器、光滤波器、慢光缓存器、慢光传感器等。理论研究发

2、现，对于含有缺陷的一维光子晶体，在光子禁带（PBG：Photonic Band Gap）的带边和缺陷模对应的频率位置，光的传输具有极低的群速度，Scalorta等人发现在带边处，光脉冲传输速度可以降低到c/17（c为真空中光速），大约为1.76×107m/s。光子晶体的理论计算已相对成熟 ,本文旨在应用现有的计算方法，建立一维光子晶体模型并讨论一维光子晶体在不同结构参数和参数下的光学传输特性。与平面波算法相比，传输矩阵法的计算量大为降低。传输矩阵方法可以计算一个有限尺寸光子晶体的反射系数及透射系数；根据光的群速度定义，基于此可以计算光在光子晶体中的传输速度；另外，在光子晶体透射特性分

3、析基础上，还可以推导计算一维光子晶体中光传输时电场在各层中的分布情况，因此本文采用传输矩阵法进行光子晶体规律的探讨。2一维光子晶体2.1模型的建立一维光子晶体由两种不同相对介电常量 (a ,b ) 、厚度( a , b) 的薄介质层交替排列构成的一维周期性结构材料. 如图 1 所示 ,空间周期为 d = a + b ,一束频率为的光从左向右正入射到图中所示的一维周期性结构材料中.将光波在介质层中的行进看作是正向行进电磁波 (下行波) 和反向行进电磁波 (上行波) 的叠加. 介质交界面处的电磁场满足边界条件. 每一介质层与光波的相互作用可由其矩阵完全决定. 介质层两边的场矢量 E , H , E

4、 H 的模可用特征矩阵联系起来 :2.2数学理论推导为行进一步的计算，下面给出光子晶体的特殊矩阵表达式。如图 2 所示 , E0, H0表示界面的na一侧矢量 , E, H表示界面的 nb 一侧的场矢量 , EII，HII表示界面一侧的场矢量,在界面上有入射光波 Ei1、反射光波Er1、透射光波Et1以及由介质 nb入射到界面上的光波Er2图3-2 1D PC结构中任意层的电磁场传播情况以TE模为例展开讨论，对于TE模，电场分量E垂直入射面，根据电磁场边界条件，界面处电场偏振E和磁场分量H的切向分量连续。以En、Hn表示界面n处的电场偏振E和磁场偏振H的切向分量，因为在同一界面两侧，有En-1

5、=En，Hn-1=Hn。对于界面I： （3-2）界面II上EII，HII有类似公式。考察界面I上的透射场Et1与界面II上入射场Ei2： （3-3）式中，表示，波矢为k的平面波在介质层中垂直横跨两个界面时的相位差，同样，根据，由以上各式得： （3-4）式中，将式（3-4）写成矩阵形式为： （3-5）则对第j层单层介质的传输矩阵为（TE模）： （3-6）式中， （3-7）以上计算关系是对于TE模式的，对TM模式可以得到类似于上式的结果，只是在TM模式情况下，若考虑正入射情况（=0），则TE模与TM模传输矩阵相同。对于一维周期性结构（图3-1），可逐层应用式（3-6）的传输矩阵方程，对具有N层介质

6、的一维结构： （3-8）式中就是一维光子晶体的传输矩阵。分别在第I个界面及第N+1个界面上列电磁场分量方程，并将求得的EI，HI，EN+1，HN+1代入式（3-8），展开可求得透射系数和反射系数：反射系数： （3-9-1）反射率： （3-9-2）透射系数： （3-9-3）透射率： （3-9-4）若1D PC结构置于空气中，则有N+1=0，利用式（3-8）和式（3-9）编程计算可以得到一维光子晶体的反射谱或者透射谱，从而得到其带隙结构。在计算所得反射系数基础上，1D PC结构内部各层电场分布可由式（3-10）计算： （3-10）式中，是从第一层到第k层的传输矩阵元素，根据式（3-10）就可以计算

7、出电场在光子晶体内部各层的电场强度。对于一维光子晶体（1D PC）结构，采用含有缺陷层的两种高低折射率材料A和B交替排列的周期结构，基本周期层（AB）的光学厚度取四分之一波长，缺陷层光学厚度为二分之一波长。在有限一维光子晶体结构中，群折射率定义为：ng=c/vg，可以采用有效折射率方法进行计算：复折射率： （3-11）其中的实部和虚部由透射系数定义：透射系数： （3-12）有效折射率实部可写为： （3-13）虚部为： （3-14）其中，为透射率的复角，L为有限一维光子晶体结构的总体厚度；这样，群折射率可以写为： （3-15）从而，群速度可以通过下式计算： （3-16）利用获得的群速度，对于有限

8、长度的一维光子晶体慢光结构，就可以计算光脉冲在其中传输产生的时延。4数据计算与规律研究 4.1一维光子晶体周期性情况通过MATLAB编程，采用传输矩阵法可以方便的求出一位光子晶体的的特征矩阵 M 中的 A , B , C , D 4 个阵元 , ,即可求出一维光子晶体的带隙结构.通过改变各个参数来谈论光子晶体各参数变对光子晶体禁带宽度和群速度的影响规律。按照上文所述建立一维光子晶体模型，折射率为a，b的两种介质交替构成光子晶体。折射率Na=2.22，Nb=1.41；根据四分之一系统，介质层厚度a=abs(lamd0/4/Na)，b=abs(lamd0/4/Nb)，其中lamd0=1550e-9

9、，空间周期d=a+b；一维光子晶体的空间周期数为10，加上插入缺陷层共21层介质。则通过编程得到一维光子晶体的带隙结构，如图图1 光子晶体带隙附近折射率的变化情况图2 光子晶体带隙附近群速度的变化情况利用本文讨论光子晶体结构和参数对光子近体带隙特性的研究。4.2层数NN对光子晶体性能的影响光子晶体插入缺陷层产生光子禁带，如果改变光子晶体的层数，如图3、图4所示，可以发现随引入缺陷的层数增加，光子晶体禁带的带宽变窄，可以得到的更小的群速度。图3 一维光子晶体群速度随层数NN的变化图4 一维光子晶体禁带宽度随NN的变化曲线4.3各介质层折射率对光子晶体性能的影响由4.2的结论知光子晶体的带隙特性与

10、总层数NN有关，但它们的关系不是线性的，于是我们对光子晶体各介质层对其特性的影响进行了研究。下图是研究引入缺陷层折射率对Vg和禁带带宽的影响得出的结果：图5 一维光子晶体群速度Vg随缺陷层折射率Nd的变化曲线图6 一维光子晶体禁带宽度随Nd的变化曲线由图可知随引入缺陷折射率的增大，光子晶体可以得到更大的群速度，更大的禁带宽度。同样的方法我们可以得到光子晶体介质a,b对光子晶体参数的影响情况图7 一维光子晶体禁带宽度随Na的变化曲线图8 一维光子晶体禁带宽度随折射率Na的变化曲线图9 一维光子晶体群速度随折射率Nb的变化曲线图10 一维光子晶体禁带宽度随折射率Nb的变化曲线为进一步寻找引起光子晶

11、体带隙特性参数变化的因素，我们进行了|Na|-|Nb|和|Na|/|Nb|的规律探寻：图11 一维光子晶体群速度随|Na|-|Nb|的变化曲线|图12 一维光子晶体禁带宽度随|Na|-|Nb|的变化曲线|图13 一维光子晶体禁带宽度随|Na|/|Nb|的变化曲线|图14 一维光子晶体群速度随|Na|/|Nb|的变化曲线|4.3介质厚度对光子晶体性能的影响（1）介质a的厚度对群速度和带宽的影响Na=1.81;Nb=1.41; NN=4 图14 一维光子晶体群速度随介质a的厚度的变化曲线图14 一维光子晶体带宽随介质a的厚度的变化曲线由图13、图14可得出，随着介质a的厚度的增加，群速度和带宽都减

12、小，都近似成线性。由此可知，得到宽的带宽和得到小的群速度是相互矛盾的，所以，要选择合适的a的厚度，从而兼顾带宽和群速度的要求。（2）介质b的厚度对群速度和带宽的影响Na=1.81;Nb=1.41 NN=4;图15 一维光子晶体群速度随介质b的厚度的变化曲线图16 一维光子晶体带宽随介质b的厚度的变化曲线由图15、图16可得出，随着介质b的厚度的增加，群速度呈对数增长，而带宽则近似成线性减小。要得到宽的带宽和小的群速度，就需要减小b的厚度。（2）介质d的厚度对群速度和带宽的影响Na=1.81;Nb=1.41;NN=4图16 一维光子晶体群速度随介质d的厚度的变化曲线图17 一维光子晶体带宽随介质d的厚度的变化曲线由图16、图17可得出，随着介质d的厚度的增加，群速度和带宽都减小。由此可以得到与a厚度变化相同的规律：宽的带宽和小的群速度是相互矛盾的，所以，要选择合适的d的厚度，从而兼顾带宽和群速度的要求。5结论本文介绍了特殊矩阵法，并利用特殊矩阵法对一维光子晶体的带隙特性的影响因素进行了探究，得出了一系列因素对光子晶体特性影响的变化曲线，为今后光子晶体带隙方面的实际应用提供一定的数据和基础。参考文献：1.王辉、李永平.<用特殊矩