爱因斯坦卷积流形的不存在性问题

1、爱因斯坦卷积流形的不存在性问题阮其华 3 ,黄 琴(莆田学院数学系 ,福建 莆田 351100)摘要 : 讨论了带有完备非紧基流形且 Ricci 平坦的爱因斯坦卷积流形的存在性问题. 证明了若基流形上总数量曲率非 正或卷积函数有界 ,且体积增长满足一定条件 ,则不存在非平凡的 Ricci 平坦的爱因斯坦卷积流形.关键词 :爱因斯坦卷积流形 ;卷积函数 ;体积增长中图分类号 :O 186 . 16 文献标识码 : A 文章编号 :043820479 (2010) 03203162031 主要结果设 B = ( B n , gB ) 和 F = ( Fm , g F ) 为两个黎曼流形 , f 为

2、 B 上正的光滑函数. 考虑带有投影: B ×F B由条件 (i) 推导得出. 因此条件 (i) 是本质的 ,利用条件(i) 可以构造爱因斯坦度量 ,在文献 5 中把满足条件 f(i) 的度量称为拟爱因斯坦度量. 若令= e - m ,则条件(iii) 等价于 1和: B ×F F 的乘积流形 B ×F , 使得卷积流形 BRicB + He ss -d © d = g B .(1)m×f F 是乘积流形 B ×F 赋予度量 g = 3 gB + f 23g F , 这里 3 表示拉回映射. 函数 f 称为卷积函数 , 流形B 称为基

3、流形 , 流形 F 称为纤维流形. 卷积流形的定 义是由 Bi shop 和 ONeil 1 最早引入 ,他们是为了构造 一些负曲率流形而引入这个定义. 卷积流形可以根据 基流形和纤维流形以及卷积函数的不同取法而构造出不同的度量 ,特别是构造爱因斯坦度量 ,具体可以参考 文献 2 . 爱因斯坦度量是指 Ricci 曲率是度量的倍 数 ,而带有爱因斯坦度量的流形称为爱因斯坦流形. 文 献 3 给出了判定卷积流形是爱因斯坦流形的充要条件 :定理 1卷 积流形 上的 度量是 爱 因 斯 坦 度 量Ric M =gM 的充要条件是这里需要说明的是文献 5 中所定义的拟爱因斯坦度量与文献 627 中的定

4、义不同 ,文献 627 中所定 义的拟爱因斯坦度量没有 He ssia n 项 ,只有一阶项. 另外我们还注意到式 (1) 中若 m 趋于无穷大 ,则RicB + He ss = g B .(2)在文献 8 中把这样的度量称为梯度 Ricci 孤立 子 ,而且根据的正、零和负号分别将梯度 Ricci 孤立子称为收缩、稳定和扩张型梯度 Ricci 孤立子. 因此可以把拟爱因斯坦度量看作梯度 Ricci 孤立子的推广 ,于是我们想知道能否把梯度 Ricci 孤立子的一些性质 推广到拟爱因斯坦度量.在文献 9 中作者利用协变导数交换公式以及第 二 Bia nchi 恒等式 ,由式 (2) 可以得到下

5、面方程(i) RicB =gB + m He ss f , - | A| 2+ 2 = c. (3)f(ii) ( F , g F ) 是爱因斯坦流形使得 Ric F =g F ,(iii) ff + ( m - 1) | A f | 2 +f 2 =,其中 Ric M 和 g M 分别是 M 上的 Ricci 曲率和黎曼度 量 , He ss f 和 f 分 别 表 示 函 数 f 的 He ssia n 和L ap lacia n .由文献 4 可知定理 1 中条件 (iii) 是多余的 ,它可 以利用协变导数交换公式以及第二 Bia nchi 恒等式 ,收稿日期 :2009206207基

6、金项目 : 福建省青年人才项目 ( 10671130 ) ; 莆田市科技项目然后利用最大模原理得到 u 必为常数 ,所以对于紧流形稳定和扩张型梯度 Ricci 孤立子一定是爱因斯坦度 量. 在文献 4 中作者证明对于拟爱因斯坦度量也有类似的性质 ,这意味着爱因斯坦卷积流形中的卷积函数是常数 ,卷积流形是平凡的. 换句话说 ,不存在非平凡 的带有非正数量曲率的紧爱因斯坦卷积流形. 在文献 10 中作者证明了对任意紧流形一定存在某一度量使 得以此流形作为基流形的爱因斯坦卷积流形是平凡 的. 文献 11 中作者考虑基流形是非紧完备流形 ,证明了若总数量曲率非正 ,且体积增长至多是二次增长 ,则Ric

7、ci 平坦的爱因斯坦卷积流形是平凡的. 本文首先修于二次增长 ,改进了文献 11 中的结果.定理 2设 M = B n ×f F m 是带有非紧完备基流形对上式从 R1 到 R2 求积分 , 这里 R2 > R1 > R0 , R0为某一固定的常数 ,则且 Ricci 平坦的爱因斯坦卷积流形 , 若基流形上的总R2 1 1 1 数量曲率满足 :对任意 R 0 ,R1 V ( t)因为d t - h ( R1 ). h ( R2 )B ( p , R) S B( x)d x 0 ,(4)R2 1R2且体积增长满足 :存在某一正数 c 使得R1 V ( t)d t ( R2

8、- R1 ) 2 (R1V ( t) d t) - 1 =V ( R) cR 2 l n ( 1 + R) . (5) 这里 V ( R) 表示以 p 为圆心 , R 为半径的测地球 B ( p , R) 的体积 , S B ( x) 表示基流形上的数量曲率 ,则此爱因( R2 - R1 ) 2, V ( R2 ) - V ( R1 )所以2 2斯坦卷积流形是平凡的.若定理 2 中式 (4) 改为卷积函数有界 ,定理 2 同样( R2 - R1 )V ( R2 )( R2 - R1 )V ( R2 ) - V ( R1 )1- h ( R1 )成立.定理 3设 M = B n ×f

9、F m 是带有非紧完备基流形 且 Ricci 平坦的爱因斯坦卷积流形 ,若卷积函数有界 ,即存在某正常数 k 使得1. h ( R2 )对任意 r > R0 , 令 R1 = 2 i r , R2 = 2 i + 1 r ,由式 ( 5) 可 得 c 1 1 0 < f k , (6)且体积增长满足式 (5) ,则此爱因斯坦卷积流形是平凡4l n ( 1 + 2 i +1 r) h ( 2 i r) -h ( 2 i +1 r) .的对 上 式 从 i = 0 到 i = 求 和 , 因 为i = 02 定理 2 和定理 3 的证明14l n ( 1 + 2i +1 r) ,所以对

10、任意 r > R0 , h ( r) = 0 ,这我们先来证明定理 2 .定理 2 的证明因为卷积流形是平坦的爱因斯坦 流形 ,所以由定理 1 可知S B ( x) = m f - 1f .上式可以改写成- l n f = | Al n f | 2 - m - 1 S B ( x) .对上式两边在球 B ( p , R) 上求积分 ,利用 Sto kes公式可得暗示了卷积函数 f 必为常数. 所以此爱因斯坦卷积流形是平凡的.证毕.在证明定理 3 之前 ,我们先来证明一个引理. 从引 理 1 的证明可以看出任何爱因斯坦卷积流形若基流形 是非紧流形 , 则爱因斯坦卷积流形上的 Ricci 曲

11、率是非正的. 而且引理 1 还告诉我们 ,若卷积函数有界 ,体 积增长满足式 (5) ,则纤维流形 F 上的 Ricci 曲率是非 正的.( Al n f , v) d =| Al n f | 2 d x -引理 1设 M = B n×f F m是带有非紧完备基流形9B ( p , R)m - 1B ( p , R)S B ( x) d x ,B ( p , R)的爱因斯坦卷积流形 ,若卷积函数有界 ,即存在某正常数 k 使得 0 < f k ,且体积增长满足式 ( 5) ,则纤维其中 v 和 d分别表示球面 9B ( p , R) 上的单位外法向流形 F上的 Ricci 曲率

12、是非正的.量和体积元素.由式 (4) 可知B ( p , R) | Al n f |d x 9B ( p , R) | Al n f | d .证明因为 M 为爱因斯坦卷积流形 ,所以由定理1 可知式 (1) 成立. 而文献 12 中定理 5 告诉我们 ,若 式 (1) 中的> 0 ,则流形 B 一定是紧流形. 但 B 是非紧 流形 ,所以0 .2令 h ( R) =B ( p , R)| Al n f | 2 d x ,由 Schwa rz 不等因为 M 为爱因斯坦卷积流形 ,所以由定理 1 可知ff + ( m - 1) | A f | 2 +f 2 = ,式可知h ( R) h(

13、R) V ( R) .即令 u = f m ,则上式可以改写成 m - 1m u m =u + m u .(7)由0 和式 (7) 可知1V ( R)- ( 1h ( R) . m - 2m u m u.(8)u > 0 .即1u2 > | A u | 2 .2在 B ( p , R) 上对上式求积分利用 Sto kes 定理 ,我参考文献 : 1 Bi shop R L , ONeill B . Ma nifolds of negative curvat ureJ . Tra ns A mer Mat h Soc ,1969 ,145 :1249 . 2 Be sse A L .

14、 Einstein manifolds M . Berlin2 Heidel ber g : Sp ringer2Verlag ,1987 .们可得B ( p , R) | A u |2d x 9B ( p , R) u | A u | d 3 ONeill B . Semi2Riema nnian geo met r y wit h applicatio ns to relativit y M . New Yo r k : Academic Press ,1983 . 4 Kim S , Kim Y H . Co mp act Einst ei n wa rped p ro duct sp2

15、km9B ( p , R)| A u | .ace s wit h no npo sitive scala r curvat ure J . Proc A merMat h Soc ,2003 ,131 :257322576 .接下来利用定理 1 同样的证明方法可以证明 u 是正的常数 ,这与u > 0 矛盾 ,所以纤维流形上的 Ricci曲率是非正的. 证毕. 最后我们来证明定理 3 .定理 3 的证明因为爱因斯坦卷积流形是平坦的 ,所以式 (7) 变为 m - 2m u m = u ,这里 u = f m . 由引理 1 可知 u 0 .即| Al n u | 2 - l n u.在

16、 B ( p , R) 上对式 ( 8) 求积分利用 Sto kes 定理 ,可得 : 5 Ca se J , Shu Y J , Wei G F. Rigidit y of qua si2Einstein met2ric s EB/ OL . 2008208205 . ht tp :/ / a r xivo r g/ a bs/ 0805 .3132 . 6 Chaki M C. O n qua si2Einstein manifolds J . Publ Mat hDebrecen ,2001 ,58 :6832691 . 7 De U C , De B K. O n qua si2Ein

17、stein ma nifolds J . Co m2mun Ko rea n Mat h Soc ,2008 ,23 (3) :4132420 . 8 Ha milto n R S. The Ricci f lo w o n surf aces J . Co ntempMat h ,1988 ,71 :2372261 . 9 Hamilto n R S. The fo r matio n of singularitie s in t he Ricci f lo w C / / Surveys in Diff erential Geo met r y , 2 . Co m2 bridge ,MA

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