高数下册之重积分

1、第九章 重积分以前我们学过一元函数的积分字,若f(x)在(a，b)上可积，到积分其中为被积函数，（a，b）为积分区间。我们若把推广到多元函数。(a，b)推广到区域。曲线，曲面等危围上去，便得到重积分，曲线积分，曲面积分等，本章只讲二重积分。补充：这章的所有图形请老师自己为学生画出，并讲述画图的经过！第一节 二重积分的概念和性质一、二重积分的概念先讲二个具体的问题：（1）、求曲顶柱体体积。（二）求平方薄片的质量。（一） 求曲顶柱体体体积：设z=f(x.，y)是定义在有界区域性D上的非负连续函数。我们称曲面z=f(x，y)，xoy平面上的区域D和准线为D的边界，母线平行于z轴的柱体所围成的立体为曲

2、顶柱体。现在的问题是求这个曲顶柱体的体积V。首先用一组曲线T把区域D划分为n个小区域（i=1，2，,n）这样就把原柱体分为n个小曲顶柱体Vi。又记为Ti的面积，i为的直径，对于来说，由于f(x，y)在连续。故当i很小时，f(x，y)在上各点的函数值近似相等，从而可视上的曲顶柱体为平顶柱体，为此在中任放一点以为高的小平顶柱体的体积为。并用它来代替这个小曲顶柱体的体积Vi把所有这些小平顶柱体的体积加起来便得曲顶柱体的体积的近似值：最后，当分割T的细度时有：即：（2）、平面薄电的质量设薄电占有xoy平面上的区域D且在点（x、y）的D外的面密度为P（x，y）>O求该平面薄纯的质量M。如果P(x，

3、y)为常数p那么该薄电的均匀薄电，质量为p*S。当p(x，y)不是常数时其求法同（1）相符。首先，把该薄电划分为n小块。当直径很小时，由于p(x，y)在上连续，可视每小块为均匀薄片。在上任意一点（），则每一块的质量近似的。进一步：用代替整个薄电的质量。且当时，有。由（1）、（2）知求由顶柱体的体积，及平面薄片的质量总是通过：1、分割，2、近似求和，3、取极限这三个步骤得到的。这种方式我们在求由边梯形的面积时就遇到过，而现在所不同的是对象为定义在平面区域的二元函数，这就是二重积分的实际背景。定义：设D是：X0y平面上的有界闭区域，其边界由光滑的连续曲线（一般指D的可求面积），f（x，y）为定义在

4、D上的函数，用光滑的曲线网把D分成n个小区域：以表示的面积，这些小区域构成D的一个分割T，以表示的直径，记T的细度为 T=Maxi，在每一个上任取一点（），作和式： 称之为函数f（x，y）在D上属于分割T的一个积分和。如果当T0时，该积分和的极限存在，就称此极限值为f（x，y）在区域D上的二重积分，记作：即：其中f（x，y）称为被积函数，称为积分表达式，称为面积元素，x，y称为积分变量，D称为积分区域。【注】：1由定义知，若f（x，y）在D上可积，应对于任何分割T，及任意的点（）上面的极限都存在，为此，我们特别地选用平行于坐标轴的直线网来分割D，则每一个小区域的面积为，进而有，故：以后在讲重积

5、分计算基本上都采用后一种形式。2、并非任一函数f（x，y）在区域D上的积分都存在，如，在0，1；0，1上的重积分不存在，但当f（x，y）连续时，其二重积分存在，故以面在不加说明的情况下，总认为f（x，y）在D上的重积分是存在的。3、如果f（x，y）0，在几何上就表示曲顶柱体的体积，当f（x，y）=1，的值就等于积分区域D的面积。如果f（x，y）0，柱体就在X0y平面的下方，这时，二重积分的绝对值仍为柱体的体积但值为负的。如果f（x，y）在D上的某n个子区域上是正的，而在其它地方是负的，这时的二重积分的值是下面的性质3。二、二重积分的性质性质1、被积函数的常数因子可提到二重积分号的外面： （K为

6、常数）性质2、函数的和（差）的二重积分等于各函数的二重积分的和（差）。性质3、若，那么性质4、当f（x，y）=1时，性质5、如果在D上，有f（x，y）g（x，y）则有性质6、性质7、若在D上有：mf（x，y）M，则有（为D的面积）特别地，当M，m分别为f（x，y）在D上的最大，小值时，上式亦成立。性质8、（二重积分的中值定理）若f（x，y）在不可少闭区域D上连续，则存在D，使得：，（的D的面积）第二节 二重积分的计算法利用直角坐标计算一、二重积分的计算（X型区域，Y型区域）定理1：设f（x，y）在矩形区域a，b；c，d上可积，且对xa，b，积分：存在，且累次积分：也存在，且有： 本定理1这里就

7、不证了，可从几何意义来说明：（1）体积、（2）质量。定理2：设f（x，y）在矩形区域a，b；c，d上可积，且对gc，d，积分都存在，也存在。且有：特别地，当f（x，y）在a，b；c，d上连续，则有这时，也记为。例1：计算，其中D=0，1；0，1。解：同理也可用来计算。然而，中的区域D一般来讲不是矩形区域，但是，对于一般的区域，通常可分解为下两类区域来计算：若D可表示为D=（x，y）；y，axb则称之为X一型区域。若D可表示为D=（x，y），（y）x（y），cyd则称之为Y一型区域。X一型区域的特点是：垂直于X轴的直线X=X0（axb与D的边界至多只有两个交点，Y一型区域也有类似的特点。许多常见

8、的区域都可分解为有限个除边界外无公共内点的X一型区域可y型区域，如果解决了X一型区域与Y一型区域上的二重积分的计算法，那么一般区域上的二重积分也就可以计算了。定理3：若在X一型区域D=（x，y）y，axb上连续，其中,在a，b上连续则：定理4：若在Y型区域连续其中，在c，d上连续，则：【注】：定理3-4可从定理1，2，也可从几何意义来说明。2例计算其中D为y=x与y=x2所围区域解：D可表示为X一型区域：D=（x，y），0x1，x2yx解法2，D可表示为Y一型区域：例3求曲线y=x，y=x2与x2+y2=1在第一象限所围区域的面积。解：y=x与x2+y2=1在第一象限里的交点为y=x2与x2+

9、y2=1在第一象限里的交点为二、如何选取积分公式（1）、当先对x或y积分难易程度相当时，原则：根据积分区域D图形来选择。【例】： D： 1、2、 解：1、；2、=。（2）、当先x积分与先对y积分难易差别较大，尤其是对某个变量积分无法积分时，选择先积分简单的公式。【例】： D：x=0,y=1以及y=x围成。解：本题显然先y后x积分无法得出结果。所以先对x后对y积分。最后一步采用分部积分，将一个y提到d后面。令（3）、交换积分次序【例】：交换积分次序。解：其实在本题中原题给出的积分是无法求得的。 所以要交换积分次序，这在以后的习题和应用中也同样会有这样的问题。画图可知区域可由积分上下限决定：，所以

10、=第三节 利用极坐标计算二重积分当积分区域是园域或为园域的总部分，或者被积函数的形式为在区域D上连续，现在以原点O为极点，X轴正向为极轴正向构成极坐标系，这样，在极坐标系中为，其r为极半径，为极角，现在我们用r=常数的一族同心园，和=常数的一族过极点的射线来分割区域D（如图）将D分为n小块（）且的面积为n小块：（）,且的面积为：除去一个更高级的无量小量不计，有由此，我们长话短说，面积元素，（其详细证明可参见课要P99或其它参考书，当然证明的方法是多种多样的）称为极坐标系中的面积元素，从而：其中，为xoy平面上的区域D在极坐标变换下的平面上的区域，有时也写成若不考虑的实际意义，右端的积分也可视为

11、横轴为r轴，纵横为=轴，眼下的问题是，如何用来表达，如果可表示为：一型区域则有：若可表示为： r一型区域则有注：对于一型区域，致虑两种特殊情况：（1）如果D是曲边扇形，则有（2）如果包含了极点，且边界方程为 同前面的一样，一般的区域都可分解为若干个一型及r一型区域，这些我们从例题中反映出来。例1求积分 ，其中D为圆域x2+y2=a2解：D经过极坐标变换后为=（r）：0ra，02例2求球面x2+y2+z2=R2与圆柱面x2+y2=Rx所围的休积解：我们只要求出第一象限内的部分，尔后来4即得，而在第一象限内的立体是以为曲顶的柱体，其定义域为D=（x，y），y0，x2+y2=Rx经过极坐标变换，有其

12、中所围体积为例3把化为单重积分，其中D=（x，y）x2+y2=1解：D的图形如左，我们将高分为四个部分：我们先考虑第一部分（I）令例4求（x2+y2）=2（x2-y2），（x2+y21）的面积。解：在此之前，我们先求一下求面积的公式：（为D的面积）若现在求例4的面积，令该曲线如图，由x2+y2=1，r=1，至此使本例4所求面积为r2= 2cox2所围的面积中r1的部分，根据对称性，只要求出在第一象限的部分，然后乘以4即可。先求r2= 2cox2与r=1的交点，不难使交点为 其中DI为（图a）中的阴影部分且有：所以所求面积：。例5求解：，其中DR=（x，y），oxR，xyR2令DS=（x，y）；

13、x2+y 2R2，0xy；DS=（x，y）；x2+y 22R2， x0，y0显然同理令：即：第四节 二重积分的应用二重积分也相应地有元素法，我们的求以z=f(x，y)为顶，区域为D的曲顶柱体为例：奖D分割成若干小块，从中任取一块，并设为，(x，y)为其中一点，那么有上的部分量V= f(x，y) ，事实上，V与 f(x，y)的差为的高阶无穷小，从而称f(x，y) d为量V的元素，且记为dV= f(x，y)以r的元素作为被积表达式，在区域D上积分，得：当然，二重积分的元素法也需要可加性。一、曲面的面积设曲面S：Z= f(x，y)是定义在xoy平面上的区域D上，并且f(x，y)在D上有连续的偏导数，

14、现计算S的面积。现将划分为若干小块，从中任取一块中任取一点P(x，y)相应地，得到S上的一部M（x，y）、f(x，y)过M点作S的地平面T，又以的边界为准线作母线平行于Z轴的柱体，截S得S上的一小块曲面ds，截T得T上一小块面，由于很小，因而可用来代替ds，不知T的法向向量为设r为 与Z轴正向的夹角，从而另外，不难知道，T与d的夹角也为r ，因此，=这就是曲面面积的元素。注：1、类似可求定义在xoz、yoz平面上的区域上的曲面面积。例1求圆锥被圆柱x2+y2=x所截部分的面积解二、平面薄片的重心设一平面薄片占据xoy平面上的区域D，且在点（x，y）D处的密度为P（x，y）在D上连续，求该薄片的

15、重心。设该薄片的重心坐标为则应有：其中Mx，My分别为薄片对X轴，Y轴的静力矩，M为其质量由9.1知，现在的问题是求Mx和My。将D分割成为若干个小区域，从中任取一个并从中任取一点（x，y），由于很小，故可认为上质量集中在（x，y）点上，从而，对X轴，Y轴的静力矩的部分量为XP（x，y）和YP（x，y），它们即为Mx和My的元素dmx和dmy，即dmx=XP（x，y） dmy=YP（x，y）薄片的重心坐标为从上公式知，当P（x，y）三常数时，有：其中为D的面积。这时，重心只与D的形态有关，而与其它无关，因此也称之为D的形心。例2求均匀密度的半椭圆 ， y0的重心。解：根据对称性，不难知所求重心

16、为三、平面薄片的转动惯量设某平面薄片占有xoy平面上的区域D，且在点（x，y）D处具有密度P（x，y），假定P（x，y）在D上连续，求此薄片对于X轴，Y轴及坐标原点的转动惯量。其方法同前面二个相似，这里不必多述，及三种惯量为：例3：求密度均匀的园环D：对于X轴及对于垂直于园环面中心轴的转动惯量：解：。（m为圆环的质量）同理得：第九章 三重积分的概念及其计算方法一、三重积分的概念与二重积分的定义相仿，我们来定义三重积分背景：空间一非均匀物体的质量。定义：设f（x，y，z）是空间有界闭区域上的有界函数，用一组空间曲面T把分为若干小块V1，V2Vn，表示其体积，再从每个小区域Vi中任取一点（），作和

17、式，若当T0时，该和式的极限存在，就称该极限值为函数f（x，y，z）在区域上的三重积分，记为即其中称为体积元素，其它的记号类似二重积分。同理，上面的极限对于任一种划分T都应存在且值相等。现用平行于三个坐标面的三族平面来划分，此时，则有，进而 并称为直角坐标系中的体积元素。当上面的极限存在时，可称f（x，y，z）在上可积。但并不是对任何的f（x，y，z）在上都可积。当f（x，y，z）在上连续时，f（x，y，z）在上可积的，以后在不再作特别说明时总认为f（x，y，z）在上连续或可积。显然，当f（x，y，z）=1时，的体积。又当f（x，y，z）表示某物体在（x，y，z）处的密度，为其占有的空间区域，

18、且f（x，y，z）连续，则该物体的质量。二、三重积分的性质。 类似二重积分，这里不多说了。三、计算三重积分直角坐标系：定理1：若f(x，y，z)在长方体=a,b;c,d;e,f上连续,则有然而，对于一般的空间区域，并不像上述的那样简单，有时相元复杂，这样就需要我们一步一步地将分解为若干个较简单的区域。比如：将向xoy平面上投影及xy平面上一区域D，以D的边界为准线，母线平行于z轴作一柱面，又设过D内的点且平行于z轴的直线与边界的交线不超过两个，这时，的边界被分为三个部分S1，S2和S0。其中S1，S2分别为在D内的的边界的下面部分和上面部分，S0为的边界与柱面的公共部分。S1：z=z(x，y，

19、z)，S2：z=z(x，y)，此时，有=(x，y，z)：z1(x，y)zz2(x，y), (x，y)D 可用求质量的道理来解释。若D=(x，y)：axb, y1(x)y1y2(x) 则进一步：而此时，=(x，y，z)：z1(x，y)zz2(x，y)，y1(x) yy2(x) ，axb,与此相仿，还有其它五种化三重积分为三次积分的方法。这关键在于如何将表示成与上面相仿的形式，这件事并非容易。例1计算其中为由平面X=1，X=2，Z=0，Y=X，Z=Y所围成的区域。解1：现把向xoy平面上投影及投影区域D=(x，y)：0yx, 1xz而在D上，有0zy =(x，y，z)：0zy， 0yx ，1xz 解2：将向xoz平面上投影，将投影区域D=(x，z)：0zx，1xz2 在D上有zyx=(x，y，z)：zyx，0zx ，1xz 本例也可向yoz平面上作投影，但计算更繁。例2求为z=xy，y=x，x=1及z=0所围的区域。解=(x，y，z)：0zx y，0yx ，0x1 上面所讲的积分法则，我们习惯称为“先二后一”。第二节 利用柱面坐标和球面坐标