§数量积矢量积混合积

1、§2 数量积 矢量积 混合积2.1 两矢量的数量积在物理学中，设物体在力的作用下沿直线从点移动到，即取得位移，力与位移的夹角为即，则力所做的功为 。 这里功是一个数量，它由力与位移所唯一确定。一般地，两个矢量与可唯一确定数值，于是有： 定义2.1 设有矢量与，称数为矢量与的数量积，记为，即=。 两矢量的数量积有称为两矢量的点积或内积。零矢量与任何矢量的数量积为零；与数量积也记为，即。由数量积的定义知，物体在力作用下沿直线取得位移所做的功，就是力与位移的数量积，即。数量积有下列运算规律：(1) ； (交换率)(2) ； (结合率)(3) 。 (分配率)例2.1 设矢量与的夹角为求。解：

2、 =。例2.2 设， 求+。 解： 由 得：+，+，+。将以上三式相加并代入 得： 所以+。下面我们来推导数量积的坐标表示。 设 ，根据数量积的运算规律，得 ，因为都是单位向量，知；又因为是互相垂直的，有，所以 =。 (2.1) 这就是数量积的坐标表示。 再者，前已知=，可见=，那么，当与都不是零向量时，有=，即得两向量夹角余弦的坐标表示： =。 (2.2)例2.3 已知三点，求。 解: 因为 =，所以 =。2.2 两矢量的矢量积在力学中，力对于定点的力矩是一个矢量，它的模是由力的作用点关于定点的向径（由定点向作用点的有向线段）与力确定的数 ；它的方向满足：垂直于确定的平面，且顺次成为右手系。

3、由于数及的方向由唯一确定，所以力矩是由力和向径所唯一确定的矢量。由两个矢量按同样的规则来确定另一个矢量，在其他力学、物理学问题中还会遇到，因此，我们抽象出如下的定义：定义2.2 设有矢量与，矢量按下述方法由与确定：(1) ；(2) 矢量的方向垂直和所决定的平面，且，三矢量方向顺次成右手系，则称矢量为矢量与的矢量积，记为，即。(1)式的几何意义|的值等于以与为邻边的平行四边形的面积。矢量与的矢量积也称为它们的矢量积，叉积。由矢量积定义，力矩。由矢量积的定义可以推得：(i) 。(ii) 对于两个非零矢量，如果，那么；反之，如果，那么。下面来推导矢量积的坐标表达式。设，由上述的运算规律，得 ；因为，

4、=，=，=，所以 =。 (2.3)为便于记忆，上式可用行列式记号形式地表示为 (2.4) 按第一行展开，得经计算即得(2.3)。例2.4 设求。解: 由(2.4)得。例2.5 对例2.4中的向量、，求一单位向量，使得与、都垂直。解: 取，则与、都垂直，由例2.4知，故 。矢量积满足下列运算规律： ； （反交换率） ； （结合率） ；。 （分配率）由知，矢量积并不满足交换率。矢量积的模，在数值上恰好是以与为邻边的平行四边形的面积。这一性质有比较好的应用。例2.6 设且 与垂直，求及。解: 由于，所以，于是2×3×sin=6。又因为，于是。例2.7 设、为已知两点，在直线上一点

5、分有向线段为两个有向线段与，使得它们的值的比等于定数，即，求分点的坐标。解: 因为三点共线，于是所求等式的向量表示为 ；易知 ，得 ，或 即 =， 所以点的坐标是 。 这点叫做有向线段的定比分点。时点在两点与之间，时点在两点与之外；时点是两点与的中间点，并得有向线段的中点坐标为 。 例2.8 已知两点和，计算向量的模、方向余弦和方向数。 解: =；= =2； =,=,=；，。例2.8 计算，并解释它的几何意义。解 00 2()从而得到|=2|。上式表明，已知一平行四边形两邻边为与，则以它的两条对角为邻边的平行四边形的面积等于原平行四边形面积的两倍。（图21） 图 21 2.3 矢量的混合积设有

6、三个矢量如果先作前两个矢量与的矢量积，再作与矢量的数量积，即，便得到一个数，称这个数为三个矢量的混合积，记为，即。下面我们来推出三个矢量的混合积的坐标表示式。设矢量，由(2.4)式，矢量积的坐标表示， =，再由(2.1)式，得: =。即的混合积的坐标表示为。由行列式的性质易知混合积满足 ，即轮换混合积中三个向量的顺序，其值不变。 ，即对调混合积中相邻两个向量，混合积变号。2.3 混合积的几何意义混合积是一个数，由|cos(，)|及的几何意义可知，的绝对值在数值上等于以三矢量为棱的平行六面体的体积。平行六面体的底面积即其高为|cos(，)|，所以平行六面体的体积V=|cos(，)|。由混合积的定

7、义可知，三个非零矢量共面（即三个矢量在同一个平面上，或在互相平行的平面上）的充分必要条件是。例2.9 空间中四点证明这四点共面。证 因为而 所以向量共面，从而点共面。练习7.21. 化简下列各式： (1) (2) (3) 2. ，式中，又，化简表达式。3. 求 ； Prj；。4. 已知|=2，|=5，(，)=，问：系数为何值时，矢量与垂直。5 一矢量的终点在点，它在轴、轴、轴上的投影依次为4，4，和7。求这矢量的起点A的坐标。6已知的顶点坐标是，求的面积。 7求平行四边形面积，若已知对角线未矢量，1，2，（） 。8. 设矢量与轴、轴的夹角分别为、，它与轴的夹角是钝角，求。9已知两点与，求与矢量方向一致的单位矢量。 10. 以不共面的四点，为顶点购成一个四面体，求它的体积。11. 设的顶点为，求三角形的面积。12. 试用矢量证明三角形的余弦定理。13. 设，求证，共面。14 证明：。15 试用向量证明三角形的余弦定理。16 设密度为的液体流过平面上的面积为的一个区域，液体在这区域上各点的流速均为（常矢量