五年级奥数-比例模型(教师版)

1、比例模型1鸟头模型两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形.鸟头模型：有相等（或互补）的内角的两个三角形，其面积比等于相等（或互补）内角的夹边乘积之比即有关系式S ADE AD AE存在。 S ABC AB AC2、风筝模型（蝶形定理）任意四边形中的比例关系: SI : S2S4 : S3 或者 Ss3S2S4 AO :OCSl: S4 S3蝶形定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途 径通过构造模型，一方面可以使不规则四边形的面积关系与四边形内 的三角形相联系；另一方面，也可以得到与面积对应的对角线的比例关 系梯形中比例关系 s : S3 a2 :b2 : S3

2、： S2: S4 a2: b2: ab: ab ; S的对应份数为 a b 2 3相似模型 AD AE DE AF AB AC BC AG2 2 Sade : SABCAF : AG教学重* j A正确识别各种图形所属的模型，并正确熟练运用比例模型中的关系例1如图在 ABC 中,D,E分别是AB, AC上的点，且 AD: AB2:5，AE: AC4:7，ADE 16平方厘米，求 ABC的面积答案70平方厘米解析连接 BE , S ade： Sa ABEAD : AB 2:5 (2 4) :(5 4),足 ABE : Sa ABC AE: AC 4:7(4 5):(75),所以 S ADE :

3、S ABC (2 4):(7 5),设足ADE 8份，则Sa ABC 35份，Sa ADE 16平方厘米，所以1份是2平方厘米，35份就是70 平方厘米， ABC的面积是70平方厘米例2已知 DEF的面积为7平方厘米，BE CE,AD 2BD,CF 3AF ,求 ABC的面积.A答案24平方厘米解析例3如图，长方形ABCD的面积是36, E是AD的三等分点,AE 2ED ,则阴影部分的S BDE-ABC(BDBE):(BABC)(1 1):(2 3)1: 6S CEF:Sa ABC(CECF):(CBCA)(1 3):(2 4)3:8S ADF:& ABC(ADAF):(ABAC)(2

4、 1):(3 4)1:6设SaABC24份,则S BDE4 份，Sa ADF4份,Sa CEF9 份，DEF244 -4 97份，恰好是7平方厘米，所以Sa ABC24平方厘米25面积为答案 2.7解析如图，连接OE 根据蝶形定理,ON : ND S COE ： S CDE 1 S CAE ： S CDE 1：1 ,所S OENISOEDOM : MA S BOE ： S BAE 1 S BDE ： S BAE 1：4, 所以2OEMIS又OEA 又S OED1 ISC S矩形ABCD3 4S QEA2S QED6 ,所以阴影部分面积为：3 16 12.7 .25例4如图，已知CD 5 , D

5、E7 , EF 15 , FG 6 ,线段AB将图形分成两部分，左边部分面积是38,右边部分面积是65,那么三角形 ADG的面积是.GG答案 40解析连接AF , BD .根据题意可知，CF57 1527 ;15所以，S BEF27S CBF7S AEDS ADG ,282115于疋：S ADGSCBF65 ；2827S BEC12S AEG18SADG ,27S CBF,7 C12 CSADGS CBF38 2827DG 7 15 6 28 ;解析 AO ： OC S ABD ： S BDC1:3 , A OC 2 3 6 , OC : OD 6:32:1可得S ADG 40 .故三角形AD

6、G的面积是40.例5四边形ABCD的对角线AC与BD交于点O （如图所示）.如果三角形 ABD的面积等于1三角形BCD的面积的-，且AO 2 , DO 3 ,那么CO的长度是DO的长度的 3倍.答案 2:1例6如图， ABC中，DE，FG，BC互相平行， AD DF FB，则SADE : ?四边形 DEGF : 5边形 FGCB答案1:3:5解析设SA ADE1份，根据面积比等于相似比的平方，2 2 2 2 Sa ADE : S AFGAD : AF 1:4Sa ADE : Sa ABC所以9份,四边形FGCB 5份 所以 SA ADE : S四边形DEGF ： S四边形FGCB1:3:51如

7、图，三角形 ABC的面积为3平方厘米，其中AB: BE 2:5 , BC: CD 3: 2 ,三角形BDE的面积是多少?答案12.5平方厘米解析由于 ABC DBE 180 ,所以可以用共角定理，设AB 2份，BC 3份，则BE 5份,BD 325 份，由共角定理 足 ABC : BDE (AB BC):(BE BD) (23):(5 5)6:25,设ABC 6份，恰好是3平方厘米，所以1份是0.5平方厘米，25份就是25 0.5 12.5平方 厘米，三角形BDE的面积是12.5平方厘米2如图，平行四边形 ABCD，BE AB，CF 2CB，GD 3DC，HA 4AD ,平行四边形ABCD的面

8、积是2，求平行四边形 ABCD与四边形EFGH的面积比.E答案1/18解析连接AC、BD .根据共角定理在 ABC 和 BFE 中,ABC与 FBE互补,ABCS FBEAB BC 1 1BE BF 1 3又 Sa ABC1 ,所以 Sa FBE同理可得& GCF 8 ,DHG 15 ,AEH所以 SEFGHsa AEHSA CFGS DHGSA BEFSABCD8 8 15+3+2 36 .所以SABCDSEFGH2361183如图，三角形ABC的面积是1 , E是AC的中点,BE交于点F 则四边形DFEC的面积等于.点D在BC上，且BD : DC 1:2 , AD与DAC答案5/1

9、2解析方法一：连接CF ,根据燕尾定理，s ABFBD1s ABFAE 1SA ACFDC2，SA CBFECAEFs EFC3份，如图所设 3 BDF1 份，则 5 DCF2 份，S ABF3 份，标所以SDCEF12 s ABC512方法二：连接DE ,由题目条件可得到S ABD1S ABC31 C12 一1BFSA ABD1s ADESAADCSA ABC,所以-，2233FESA ADE1111Q 1 11 S1s DEFSADEBSA BEC二 二二 SA ABC2232 3212而 SA CDE21SA ABC1所以则四边形DFEC的面积等于5323124如图，四边形被两条对角线分

10、成4个三角形，其中三个三角形的面积已知,求：三角形 BGC的面积；（2） AG:GC ？AD答案6 1:3解析根据蝶形定理，SVBGC 1 2 3 ,那么SVBGC6 ；根据蝶形定理，AG: GC 12:36 1:3 .5 如图，平行四边形 ABCD的对角线交于 O点， CEF、 OEF、 ODF、 BoE的面 积依次是 2、4、4和6.求：求 OCF的面积；求 GCE的面积.答案 4 2/3解析根据题意可知， BCD的面积为24 4616 ,那么 BCO和 CDO的面积都是16 2 8 ,所以 OCF的面积为8 4 4 ；由于 BCO的面积为8, BOE的面积为6 ,所以 OCE的面积为8

11、62 ,根据蝶形定理，EG FGS COE S COF2:41:2,所以S GCE : S GCFEG :FG1: 2 ,112那么SGCES CEF212336如图，长方形 ABCD中，BE : EC2:3 , DF : FC 1:2 ,三角形 DFG的面积为2平方厘米，求长方形 ABCD的面积.答案 72平方厘米解析连接AE , FE .因为 BE: EC 2:3 , DF : FC 1:2 ,所以 SVDEFI)S长方形ABCDS长方形ABCD 因为 SVAED2 S1 1长方形 ABCD， AG: GF210 5:1，所以 SVAGD5SVGDF10 平方厘米，所以SVAFD12平方厘

12、米.因为SVAFDIS长方形ABCD，所以长方形ABCD的面积是72平6方厘米7如图，正方形ABCD面积为3平方厘米,M是AD边上的中点求图中阴影部分的面积.答案1平方厘米解析因为M是AD边上的中点，所以 AM : BC 1:2 ,根据梯形蝶形定理可以知道S AMG : SX ABG : S MCG : S BCG12:d 2) :(1 2) :22 1:2:2:4,设 SAGM1份，则S MCD1 2 3 份，所以正方形的面积为1 2 2 4 3 12份，S阴影 2 2 4份，所以SW :S正方形1: 3，所以S阴影1平方厘米.8在下图的正方形ABCD中，E是BC边的中点,AE与BD相交于F

13、点，三角形BEF的面积为1平方厘米，那么正方形ABCD面积是平方厘米.答案12平方厘米2解析连接DE ,根据题意可知BE : AD 1:2 ,根据蝶形定理得 S梯形（1 2）9（平方厘米），s ECD3 （平方厘米），那么SWABCD12 （平方厘米）.9已知ABCD是平行四边形，BC : CE 3: 2 ,三角形ODE的面积为6平方厘米.则阴影部 分的面积是平方厘米.答案21平方厘米 解析连接AC .由于ABCD是平行四边形，BC: CE 3: 2 ,所以CE : AD 2:3 ,2 26915（平方厘米）,根据梯形蝶形定理，SV COE : Svaoc : Svdoe : S/aod 2:

14、2 3:2 3:34:6:6:9 , 所以SVAOC6 （平方厘米），SVAOD9 （平方厘米） ，又 SVABCSVACD阴影部分面积为6 1521（平方厘米）.10右图中ABCD是梯形，ABED是平行四边形,已知三角形面积如图所示（单位：平方厘米）阴影部分的面积是平方厘米.答案6平方厘米解析 连接AE .由于AD与BC是平行的，所以 AECD也是梯形，那么 S OCD S OAE .根据蝶形定理，S OCD S OAE S OCE S OAD 4936,故2OCD36,所以S OCD 6（平方厘米）11右图中ABCD是梯形，ABED是平行四边形，已知三角形面积如图所示（单位：平方厘米），

15、阴影部分的面积是平方厘米.答案4平方厘米解析连接AE 由于AD与BC是平行的，所以AECD也是梯形，那么SOCDSOAE 2816 ,故根据蝶形定理，S OCD S OAE S OCE S OAD2S OCD 16，所以S OCD4 （平方厘米）1 1另解：在平行四边形 ABED中，SADE 一 Syabed 16 812（平方厘米），2 2所以 S AOE S ADE S AOD 1284（平方厘米），根据蝶形定理，阴影部分的面积为8 2 4 4（平方厘米）12在四边形 ABCD中，其对角线 AC、DB交于E点。且AF=CE , DE=BG 。已知四边形 ABCD的面积为1 ,求 EFG的面

16、积。答案 1解析分别用 a、b、c、d 表示 CDE、 ADE、 ABE、 BCEO由鸟头模型，可知：a:S EFG=(CE ×DE):(EF EG);b:S EFG=(AE XDE):(EF EG);c:S EFG= (AE XBE):(EF EG);d:S EFG= (CE XBE):(EF EG).因此，(a+b+c+d):4S EFG=(CE >DE+AE × DE+AE × BE+CE ×BE):(EF EG)=DE ×AE+CE)+BE ×AE+CE):(EF EG)=(AE+CE) ×BE+DE):(EF

17、E×)=(AC ×BD):(EF EG) o因为 AF=EC、DE= BG,可知 BD=EG、EF= AC,因此(AC× BD):(EF ×EG)=1 ,即 S EFG= S四边形ABCD=I 11 13如图所示，正方形 ABCD边长为6厘米，AE -AC , CF - BC .三角形DEF的3 3面积为平方厘米.BF答案10平方厘米11 2解析 由题意知 AE AC、CF BC ,可得CE AC .根据”共角定理”可得,333S CEF : ABC (CF CE): (CB AC) 12 :(3 3)2:9 ；而SA ABC6 6 2 18 ；所以 S

18、A CEF4 ；同理得，SA CDE : SA ACD 2：3；，S CDE 18 3 2 12 , S CDF6故 Sadef Sa CEF Sa DEC Sa DFC4 12 6 10(平方厘米).14如图，已知三角形 ABC面积为1 ,延长AB至D ,使BD AB ;延长BC至E ,使CE 2BC ;延长CA至F ,使AF 3AC ,求三角形DEF的面积.答案18解析用共角定理在 VABC和VCFE中， ACB与 FCE互补, SVABCAC BC1 11SVFCEFC CE 4 2 8 '又 SVABC 1，所以 sfCE 8 .同理可得 SzADF 6 , SzBDE 3 所

19、以SVDEFSVABCsfceSVADFSzBDE1 8 6 3 18 .15如图所示，正方形ABCD边长为8厘米，E是AD的中点，F是CE的中点，G是BF的中点，三角形ABG的面积是多少平方厘米?答案12平方厘米解析连接AF、EG .因为SBCF SCDE1 82 16，根据”当两个三角形有一个角相等或互补时，这4两个三角形的面积比等于夹这个角的两边长度的乘积比”SVAEF 8 , SVEFG8 ,再根据”当两个三角形有一个角相等或互补时，这两个三角形的面积比等于夹这个角的两边长度的乘积比”，得到SVBFC16，SABFE32，SVABF24，所以SVABG12平方厘米1如图，三角形 ABC

20、被分成了甲（阴影部分）、乙两部分，BD DC 4 , BE 3 , AE 6 乙部分面积是甲部分面积的几倍？答案5解析连接 AD .I BE 3 , AE 6AB 3BE , SVABD 3SVBDE又 BD DC 4 ,SVABC2 S/ABDSVABC6Sbde , Si 5S甲2如图在 ABC中，D在BA的延长线上，E在AC上，且AB: AD 5: 2 ,AE: EC3:2 , ADE 12平方厘米，求 ABC的面积.E答案50平方厘米解析连接 BE , ade ： SaABE AD: AB 2:5(2 3):(5 3)所以 S ADE : S ABC (3 2)： 5 (3 2)6:2

21、5 ,设 Sa ADE 6 份，则 Sa ABC25 份，Sa ADE 12平方厘米，所以1份是2平方厘米，25份就是50平方厘米， ABC的面积是50平方厘米.23长方形ABCD的面积为36 cm，E、F、G为各边中点，H为AD边上任意一点，问阴影部分面积是多少？F答案13.5解析寻找可利用的条件，连接 BH、HC ,如下图:SABCDS AHB S CHB S CHDS FHBS CHB2S DHGISDHC236-(S2S CHD )3618；S EHBS BHFS DHGS阴影S EBF11111S EBF-BEBF(二 AB)U BC)-36 4.522228SEHB 即SBHFSD

22、HGAHBSCHB所以阴影部分的面积是:S阴影18 S EBF 18 4.5 13.54如图所示，在平行四边形 ABCD中, E为AB的中点，AF 2CF ,三角形AFE(图中阴影部 分)的面积为8平方厘米平行四边形的面积是多少平方厘米？答案48平方厘米 解析 连接FB.三角形AFB面积是三角形 CFB面积的2倍，而三角形AFB面积是三角形 AEF面积的2倍，所以三角形ABC面积是三角形 AEF面积的3倍；又因为平行四边形的面积是三角形ABC面积的2倍，所以平行四边形的面积是三角形AFE面积的(3 2) 6倍因此，平行四边形的面积为8 648(平方厘米).5如图，ABC中，DE 则 ADE :

23、 S四边形DEGF : S四边形FGNM,FG , MN , PQ , BC 互相平行，AD DF FM MP PB ,答案 1:3:5:7:9解析设Sa ADE 1份，'ADE2 2S AFG AD : AFS四边形DEGF3份此9 AFG4份，进而有S四边形FGNM5份S四边形MNQP7份S四边形PQCB9份.所以有同理有1:4 ,因:S四边形DEGF : S四边形FGNM : S四边形MNQP : S四边形PQCB 1: 3: 5:7:9当堂总结:S四边形MNQP : S四边形PQCB家庭作业1如图在 ABC中，D,E分别是AB, AC上的点，且 AD : AB 2:5 , AE

24、 : AC 4:7,& ADE 16平方厘米，求 ABC的面积答案70平方厘米解析连接 BE，ADE ： SaABEAD: AB 2:5 (2 4) :(5 4)，ABE :Sa ABC AE: AC 4:7 (4 5):(7 5),所以 S ADE :Sa ABC (2 4):(7 5), 设Sa ADE 8份，则Sa ABC 35份，Sa ADE 16平方厘米，所以1份是2平方厘米，35 份就是70平方厘米， ABC的面积是70平方厘米.2如图，三角形 ABC中，AB是AD的5倍，AC是AE的3倍，如果三角形 ADE的面积等 于1,那么三角形 ABC的面积是多少？解析连接BE AE

25、C 3AE SVABC3Svabe 又 AB 5AD SVADESVABE15 ,s/ABC15SVADE15 问：内圈3如图，园林小路由白色正方形石板和红、青两色的三角形石板铺成 红色三角形石板的总面积大，还是外圈青色三角形石板的总面积大？答案一样大解析图中有多个。因为白色石板均为正方形(如图)。因此AB=AD、AE=AC,推出SAADE:S ABC= (AD ×E): (AB×AC) = 1:1 ,即两三角形面积相等。 同理可知内圈红色三 角形面积应该等于外圈青色三角形面积，所以内外总面积相等。4、如下图，在三角形 ABC中，BD=2AD , AG=2CG , E、F为BC边上的三等分点，求四边 形DGFE面积占三角形ABC的几分之几？答案4/9解析 三角形ADG的面积：三角形 ABC的面积=(AD:AB) × (AG:AC)=(I : 3) × (2 : 3)=2/9三角形 CGF 的面积：三角形 ABC 的面积=(CG