空间直线与直线的位置关系

1、课题：空间中直线与直线之间的位置关系桓台一中数学组尹朔教材版本：新课标：人教版 A版数学必修2设计思想：空间中直线与直线的位置关系是学生在已经学习了平面的基本概念的基础上进行学习的。 在立体几何初步的内容中，位置关系主要包括直线与直线的位置关系、直线与平面的位置关系、 平面与平面的位置关系。而空间中直线与直线的位置关系是以上各种位置关系中最重要、最基本的一种，是我们研究的重点。其中，等角定理解决了角在空间中的平移问题，在平移变换下角的大小不变，它是两条异面直线所成角的依据，也是以后学习研究二面角几角有关内容的理论依据，它提供了一个研究角之间关系的重要方法。教材在编写时注意从平面到空间的变化，通

2、过观察实物，直观感知，抽象概括出定义及定理培养学生的观察能力和分析问题的能力，通过联系和比较，理解定义、定理， 以利于正确的进行运用。教材分析：直线与直线问题是高考考查的重点之一，求解的关键是根据线与面之间的互化关系，借助创设辅助线与面，找出符号语言与图形语言之间的关系把问题解决。通过对有关概念和定理的概括、证明和应用，使学生体会“转化”的观点， 提高学生的空间想象力和逻辑推理能力。教学目标：1、知识与技能（ 1 ） . 掌握异面直线的定义，会用异面直线的定义判断两直线的位置关系。（ 2） . 会用平面衬托来画异面直线。（ 3） . 掌握并会应用平行公理和等角定理。（ 4） . 会用异面直线所

3、成的角的定义找出或作出异面直线所成的角，会在直角三角形中求简单异面直线所成的角。2、过程与方法(1)自主合作探究、师生的共同讨论与讲授法相结合;(2)让学生在学习过程不断探究归纳整理所学知识。3、情感态度与价值观(1) .让学生感受到掌握空间两直线关系的必要性，提高学生的学习兴趣。(2) .增强动态意识，培养学生观察、对比、分析的思维，通过平移转化渗透数学中的化归及 辩证唯物主义思想。(3) .通过探究增强学生的合作意识、动脑意识和动手能力。教学重点：异面直线的定义；异面直线所成的角的定义。教学难点：异面直线所成角的推证与求解。教具准备：学生学案一份、多媒体、合作探究配套教学模型(正方体)教学

4、模式问题一一自主、合作一一探究教学过程：一、复习引入1 .师：平面内两条直线的位置关系有？生：相交直线、平行直线相交直线(有一个公共点)；平行直线(无公共点)2 .师：平面内不平行的两直线必相交，问：空间内还成立否?通过实例展示。十字路口 -立交桥立交桥中,两条路线AB, CD既不平行，又不相交(非平面问题)六角螺母、新课讲解1 .异面直线的定义：不同在 任何一个平面内的两条直线叫做异面直线。练习：在教室里找出几对异面直线的例子（学生就教室中的灯管、黑板、墙棱、暖气管、课桌等等找出许多异面直线）2 .异面直线的画法说明：画异面直线时，为了体现它们不共面的特点。常借助一个或两个平面来衬托合作探究

5、：分别在两个平面内的两条直线是否一定异面？答：不一定：它们可能异面，可能相交，也可能平行。（学生自告奋勇的在黑板上画出上述三种情况，即巩固异面直线的定义，又训练了异面直线的画法）3 .空间两直线的位置关系按平面基本性质分（1）同在一个平面内：相交直线、平行直线（2）不同在任何一个平面内：异面直线按公共点个数分（1）有一个公共点：相交直线（2）无公共点：平行直线、异面直线注1：两直线异面的判别一：两条直线既不相交、又不平行两直线异面的判别二：两条直线不同在任何一个平面内 合作探究：如图是一个正方体的展开图，如果将它还原为正方体,那么AB , CD , EF , GH这四条线段 所在直线是异面直线

6、的有 K?（学生以小组为单位，对照课前准备好的正方体模型，进行合作讨论，找出异面直线。老师通过几何画板展示此图还原的过程，与学生一起订正他们的答案） 答：共有三对4 .异面直线所成的角（1）复习回顾在平面内，两条直线相交成四个角，其中不大于90度的角称为它们的夹角，用以刻画两直线的错开程度，如图.(2)问题提出在空间，如图所示,正方体ABCD- EFGHf ,异面直线AB与HF的错开程度可以怎样来刻画(3)问题猜想思想方法：平移转化成相交直线所成的角，即化空间图形问题为平面图形问题思考：这个角的大小与 。点的位置有关吗？即O点位置不同时，这一角的大小是否改变？答：这个角的大小与 O点的位置无关

7、.(4)理论支持：我们知道，在同一平面内，如果两条直线都和第三条直线平行那么这两条直线互相平行.在空间这一规律是否还成立呢观察：将一张纸如图进行折叠则各折痕及边 a, b, c, d, e,之间有何关系?公理4：在空间平行于同一条直线的两条直线互相平行.一一平行线的传递性推广：在空间平行于一条已知直线的所有直线都互相平行.：在平面内，我们可以证明 “如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补 ”.空间中这一结论是否仍然成立呢?观察：如图所示，底面为平行四边形的四棱柱ABCD-A1B1C1D件, / 1 =1000 ,/ 1与/ 2 , / 1与/ 3两边分别对应平行这两组

8、角的大小关系如何 ？答：从图中可看出，/2=/1,/ 3+/ 1=180定理(等角定理)：空间中，如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补.证：这个角的大小与 O点的位置无关.(5)解决问题异面直线所成角的定义：如图，已知两条异面直线 a , b ,经过空间任一点 。作 直线a'Ila , b ' / b则把a '与b '所成的锐角(或直角)叫做异面直线所成的角(或夹角).异面直线所成的角的范围注2：如果两条异面直线a ,注3：在求作异面直线所成的角时，O点常选在其中的一条直线上(如线段的端点，线段的中点等)5 .例题选讲1.下图长方体中(1)说出以

9、下各对线段的位置关系？EC和BH是相交 直线BD和FH是平行 直线BH和DC是异面 直线(2)与棱A B所在直线异面的棱共有4条?课后思考：长方体的棱中共有多少对异面直线？例2.如图，正方体 ABCD-EFG仲如图，正方体ABCD-EFG呻。为侧面 ADHE勺中心，求(1)BE与CG所成的角？GCAB(2)FO与BD所成的角?解：如图：CG/ BF,EBF（或其补角）为异面直线BE与C所成的角，又 BEF中/ EBF =450 ,所以BE与CG所成的角为450（2）连接FH,. HD）/ EA/ FB，HD/ FB二.四边形 HFB型平行四边形，.HF/ BD,HFO（或其补角）为异面直线FO

10、与BD所成的角。连接HA AF,易得 FH=HA=AF， AFH为等边,又依题意知。为AH中点，/ HFO=30 即FO与BD所成的夹角是300注4：求异面直线的步骤是：“一作（找）二证三求”5.课堂练习（1）.已知a, b, c是三条直线，且 a两条直线和第三条直线垂直，则这两条直线互相平行.两条直线和第三条直线平行，则这两条直线互相平行（答案：XX，）（3） .如图，已知空间四边形 ABCD43,点E、F、G H分别是边AR BG CD DA的中点,试判断四边形EFGH什么四边形，并证明你的结论。 （用课件给出例2）证明：连结BD.E、H分别是 AR AD的中点 .EH是 ABD的中位线

11、.EH/ BD,且 EH=- BD21同理，FG/ BD,且FGBD2 .EH/ FG 且 EH=FG 四边形EFGH平行四边形小组合作探究：在例2中，若加上条件 AC=BD那么这个四边形是什么四边形？（菱形）EZD17（4）如图，已知长方体 ABCD-EFG呻,AB = 2第,AD = 2 J3 , AE = 2求BC和EG所成的角是多少度？求AE和BG所成的角是多少度？（答案：45 0 ; 60 0 ）6 .课堂小结异面直线的定义：不同在 任何 一个平面内的两条直线叫做异面直线。空间两直线的位置关系：相交直线、平行直线、异面直线异面直线的画法：用平面来衬托异面直线所成的角：平移，转化为相交直线所成的角公理4 （平行公理）：在空间平行于同一条直线的两条直线互相平行.等角定理：空间中，如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补.异面直线所成角的求法：一作（找）二证三求7、课后作业:（1）（必做）：复查并修改课前预习,补充完善听课案（2）（分层达标）：i :双基自诊ii：巩固提高则a与c也异面“。这一即：异面直线是否具有传递性）思考：“若直线a与直线b异面，直线 b与直线c异面。命题对吗？为什么？（答：不一定。注：异面直线