锥形束CT解析算法进展的研究

1、锥形束CT解析算法进展的研究· 摘要  近年来锥形束CT解析法重构有了突破性进展，螺旋CT的非移变滤波反投影（FBP）算法首先由Katsevich提出，并得到不断完善。随后，这一重构系统被推广至普适轨道，同时，在此基础上又衍生出反投影滤波（BPF）的新思路。本文提出了锥形束CT争析算法发展中的关键问题，并作了深入剖析，对比了FBP与BPF算法的优缺点，指出了未来研究发展的要点。        关键词  锥形束CT；解析算法；滤波反投影算法；反投影滤波算法；Katsevich类算法  &

2、#160;     锥形束CT的解析算法一直是三维体积CT领域的重要课题。锥形束重构属于弱病态问题1，数值计算方面的困难重重。理论上的公式虽然严格完备，却难以应用于实际设备，所以当前的CT设备仍采用2.5维的Z轴堆叠的空间重构。        真正意义下的三维体积重构研究在近年有了突破性进展。2002年Katsevich提出了基于螺旋轨道的移不变滤波反投影（FBP）算法24，锥形束重构研究由此进入新阶段。Katsevich类的重构系统从数值仿真到系统实现的研究工作广泛展开，文献5基于实际探测器几何形态详细

3、地讨论了Katsevich法重构系统的实现。随后，为改进重构精度Katsevich提出了3PI算法6。同样是源于Katsevich类算法，Pan小组引入Hilbert变换（HT）提出重构的新思路，即反投影滤波（FBP）算法7，8。相比FBP算法，BPF在横向截断投影数据情形下仍能获取更好的重构效果，因而在感兴趣区域重构方面有着广阔的应用前景。另一方面，螺旋轨道情形下的重构公式与一些定理也被推广到普适轨道的通用系统911。新轨道的开拓与基于新轨道重构算法实现也是当下重要的研究内容12，13。        本文提出了锥形束CT解析算法发

4、展中的若干关键问题，地比了FBP与BPF算法的优缺点，指出了未来发展的研究要点。        1  Katsevich类FBP算法        1.1  锥形束重构公式的困难  在Katsevich之前，锥形束FBP重构算法的主要困难是：锥形束变换和三维Radon变换不对等14，而通过等价关系变换过程15中，存在一个非一一映射的变换，从而变换后的重构公式表达为滤波反投影的形式时，滤波的过程是移变的。其中锥形束变换（或称Xray变换）表达为：

5、     P为锥形束投影算子，为实轴上某区间，S2为三维实空间中单位球。        2002年，Katsevich首先在螺旋轨道的情形下给出了非移变的FBP重构算法公式。这一公式的建立是基于螺旋轨道特性，并在滤波方向上有了很大的改进。        1.2  Katsevich螺旋CT非移变FBP算法          螺旋CT FBP初始公式 

6、; 设螺旋轨道C：=R3：x=Rcos，y=Rsin，z=（h/2），Katsevich的公式利用了螺旋轨道一个重要性质：对于轨道内的任一重构点x-，必然存在唯一的连接轨道上两源点的线段。该线段称为PIline记为LPI（x-），其对应的轨道曲线为CPI（x-）。给定重构点（x-），对CPI（x-）上各源点（，x-）的投影数据g（，）做滤波得到gF后，就可以再通过反投影重构出该点的密度f（x-），即：     关键问题就是对于每个源点（，x-）如何滤波得到相应的gF。Fatsevich最先提出的滤波算法2包含了两个方向上的滤波，记（，x-）指向x-的单位

7、矢量为x（，x-），则：     其中ek（，x-）=1，2表示与滤波有关的两方方向，e1（，x-）与（，x-）处的切线方向及x（，x-）两个矢量方向垂直，e2（，x-）与CPI（x-）相切，且与x（，x-）共面。其重构的最终结果是这两部分反投影的均值。          改进的螺旋CT FBP算法  随后Katsevich滤波方向选择上做了改进，仅采用一个方向滤波，从而有效地减少了计算量3（图1）。对于给定点x-和某源点（0，x-），（*，x-）和（0+*）/2，x-确定的

8、平面过点x-，该平面记为Kplane，法线方向记为u（0，*），这一滤波方向由u（0，*）矢量决定的。改进的滤波法就是用e（，x-）:=（，x-）×u（，x-）替代（3）中的ek（，x-），即：     若采用平板探测器，那么（4）中的表达式cos（，x-）+sine（，x-）指出了滤波就是沿Kplane和投影面的交线。在实际算法实现时，先将投影所得的矩阵上的数据沿滤波方向重排为行向量，再对各个行向量作滤波。特别地，（4）式体现了这一滤波具有Hilbert变换的形态。        &

9、#160; 普适轨道的FBP算法  为改进精确的重构效果，Katsevich又提出了3PI算法，拓展了扫描角度，但是这一拓展使得上述情形中的u（0，*）并不唯一了，必须引入权因子处理多个i（0，*），0iM的积分。类同于3PI算法中的权因子的思路，Katsevich提出了普适轨道的滤波反投影的重构公式，所谓的PIline演化为Mline，CPI（x-）上的反投影积分对应为CMline（x-）。其中（，x，e）相应的权因子，m对应于k（，x）的不连续点，而cm（，x）是不连续点处的阶跃值。然而（5）还不是万能公式，在应用于具体的轨道时，仍需处理诸如“如何确定Kplane”、“如何设置权

10、因子”等问题。2 基于HT的BPF算法 2.1 BPF算法 改进后的Katsevich算法启发了新算法的产生。考虑交换（5）中两个积分的顺序，即先做反投影，再做滤波，Pan小组指出了这样的变换是成立的，并由此提出了反投影滤波（BPF）的新思路（图2）。（x-）由gb（x-）做Hilbert变换得到，其中K（x-，x-）为Hilbert变换核，e（x-）为关于x-的PIline的方向；gb（x-）是投影g（x-，）的加权反投影积分，即： 这说明BPF算法中的Hilbert变换对应的滤波是沿PIline方向的，重构是在PIline上实现的。那么，若仅需重构物体的某局部，可以只计算与该区域相交的各条

11、PIline线段上的各点的密度即可。 2.2 BPF算法与FBP算法的性能比较 若投影数据集完备，这两种算法是一致的，不过实际系统中的投影数据集在横向与纵向常常是截断的，两种算法在处理纵向截断数据方面都具有良好的鲁棒性，但在横向截断时存在差异。 FBP算法的滤波沿Kplane与投影面的交线，也就是说某个点x-的重构涉及Kplane上所有的其他点。若探测器在横向较为狭窄，就会导致横向数据截断，在重构中形成伪影。另一方面，BPF法的公式中蕴含了优越的局部特性（图2），gb（x-）仅与CPI（x-）上各源点的x-点处投影的结果有关，Hilbert变换沿LPI（x-）方向，也是仅依赖于x-。这一局部特

12、性使得BPF在横向及纵向截断投影数据情形下人都能获取更好的重构效果，在感兴趣区域（ROI）重构方面有着广阔的应用前景。 3 进一步研究要点 BPF算法的提出与完善给ROI方向的研究开拓了广阔的领域，其发展必定同时关注最小数据集重构与高分辨率的冗余扫描重构。前者有助于最大可能降低放射线源剂量及减小探测器的面积。 另一方面，探求与ROI相匹配的重构轨道也是今后研究的要点之一。比如在脏器官的CT扫描中，若采用更灵活的源点轨道，使其几何特征与脏器官在体内不同的位置与形态相匹配，有希望提高重构系统的性能。 4 结论 近年来锥形束CT解析法重构有了突破性进展，Katsevich提出了螺旋轨道CT的非移变滤

13、波反投影（FBP）公式及其改进形式。随后，这一重构系统推广至普适轨道。在此基础上Pan变换了反投影与滤波的积分顺序，基于Hilbert变换建立了反投影滤波（BPF）算法。两者在滤波方式上存在着较大的不同，FBP算法相对完善，数值计算精度较高，而BPF所具有的局部特性使其在ROI领域中有着旷阔的应用前景。基于锥形束CT的ROI研究将成为今后该领域的研究要点，包括最小数据集重构、冗余数据处理、自适应轨道等方面内容。参考文献 1 Adel Faridani.Introduction to the mathematics of computed tomography.Inverse Problems，

14、2003，47:1-45. 2 Katsevich A.Theoretically exact filtered backprojectiontype inversion algorithm for spiral CT.SIAM Appl Math，2002，162（6）:2010-2026. 3 Katsevich A.An improved exact filtered backprojection algorithm for spiral computed tomography.Advances in Applied Mathematics，2004，32:681-697. 4 Kats

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