华师大版八年级第20章：平行四边形的判定全章教案(完备)

1、20. 1平行四边形的判定【教学目标】1、知识与技能：掌握平行四边形的判定方法 1与判定方法2;会用平行四边形的两个判定定理解 决简单的实际问题。2、过程与方法：经历平行四边形判别条件的探索过程，使学生逐步掌握说理的基本方法；掌握平行四边形的判别定理。3、情感态度与价值观：在探索过程中发展学生的合理推理意识、主动探究的习惯；通过探索式证明法开拓思路，发展学生的思维能力； 体验数学活动来源于生活又服务于生活，提高学生的学习兴趣。【教学方法】 师生合作探究与学生自主探究相结合【教学准备】为每位同学准备两根牙签，两根火柴。一张白纸，两根长度不等的细线.多媒体课件。 【教学过程】(一)复习提问，引入新

2、课。1.回顾有关平行四边形的性质，以此作为学习本节课的基础。(1)怎样的四边形是平行四边形？平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。(2)平行四边形有哪些性质？边：平行四边形的对边平行且相等 .平行四边形的性质 角：平行四边形的对角相等，邻角互补.对角线：平行四边形的对角线互相平分 .(二)导入新课。探究有关平行四边形的判别条件：活动1工具：两根牙签，两根火柴，白纸 .要求：(1)你能在平面内将它们首尾顺次相接组成一个平行四边形吗？若能，请将这个平行四边形画在纸上，通过实际操作来验证你的拼接是正确的(2)你能用说理的方法来说明你的拼接是正确的吗？(3)通过以上活动你得到了什么

3、结论？活动目的：探究结论：两组对边分别相等的四边形是平行四边形.(定理1)活动效果：绝大多数学生都能在纸上拼出一个平行四边形，如右图；在第二个问题的回答中,学生给出了多种精彩的回答：AC 利用量角器测出/ A、/B、/C的大小，看是否有等式/ A + Z B=180和等式/ B + Z C=180成立； 利用一副三角板平推来验证是否 AB /CD、AD / BC; 利用割补法，将/ B剪下，先将它拼到/ A处看能否构成一个平角, 再将它拼到/ C处看能否构成一个平角；用几何推理证明：已知：如图，四边形ABCD中,AB=CD,AD=BC.求证：四边形ABCD是平行四边形.分析：要证四边形是平行四

4、边形，只要证AB / CD,AD / BC.我们还是要转化为三角形全等的问题来解决。证明：连接AC在 ABC和4CDA中,AB CDBC DAAC CAABCA CDA (SSS)/ BAC= / DCA , / ACB= / CAD AB / CD,AD / BC所以四边形ABCD是平行四边形.由于第二问的设置，学生的思路完全被激活，主动参与的程度相当高，第三个问题也就迎刃而解, 最后的结论也非常容易地被描述出来.活动2工具：两根长度不相等的绳子 .要求：(1)你能用这两根长度不等的绳子在纸上构造平行四边形吗？说说你是如何做到的(2)你能用说理的方法来说明你的操作是正确的吗？(3)通过以上活

5、动你得到了什么结论？活动目的：探究结论： 对角线互相平分的四边形是平行四边形.(定理2)活动效果：这个活动更具开放性，有的学生受平行四边形形状的影响，想用这两根细线围成一个 平行四边形，但由于没有其他工具，始终只能做到形似而非，就是无法通过说理的方法来说明得 到的四边形是平行四边形，只有少部分学生在尝试着将两根细线作为所要构成的四边形的对角线来看待。看到此情形，我作了适当的提示：请问同学们，平行四边形的性质有哪些？ ”这时，大部分学生意识到把两根绳子作为对角线 来看待，摆成如右图的形状。下面的关键是如何使两条细线互相平分 有一位同学想到了 一个非常实用的好方法：将两根细线交叉后再对 折，这时它

6、们会勾在一起，此时在结点处将两根细线分别打结，然后 将两根细线分别拉直，将它们的端点顺次连接起来，就得到一个平行 四边形.这个方法的优点在于它的固定性非常好，由此可以看出只要给学生机会去思考，他们的方 法有时就会使你眼前一亮，非常具有独创性，这正是我们想要看到的可喜的一面已知：如图，四边形 ABCD中,AC与BD相交于点 O,OA=OC , OB=OD.求证：四边形ABCD是平行四边形.证明：在 AOD和ACOB中OA=OCAOD= COBOD=OBAOD COB (SAS)AD=BC同理：AB=CD所以四边形ABCD是平行四边形.学生自主总结有关结论：平行四边形的判别方法：(1)两组对边分别

7、平行的四边形是平行四边形.(定义)(2)两组对边分别相等的四边形是平行四边形.(3)对角线互相平分的四边形是平行四边形.练习：判断下列四边形是否为平行四边形？并说出你的依据例题讲解例1 :如图，平行四边形 ABCD的对角线AC、BD相交于点O, E、F是AC上的两点，并且AE=CF求证：四边形 BFDE是平行四边形.(方法一)证明：四边形ABCD是平行四边形AO=CO , BO=DO.AE=CF,AO AE=COCF, EO=FO.又 BO=DO,四边形BFDE是平行四边形（方法二）证明：四边形ABCD是平行四边形 AD / BC,且 AD=BC , /EAD=/FCB.在VADE和VCB冲,

8、AD CBEAD FCBAE CFVADE 且 VCBF (SAS)DE=BF.同理可证：BE=DF.四边形ABCD是平行四边形.(三)巩固练习(课本97页练习)1 .如图，AB=DC=EF , AD=BC , DE=CF ,图中有哪些互相平行的线段解：AB / DC / EF, AD / BC , DE / CF.,. AB=DC , AD=BC , 四边形ABCD是平行四边形.,. DE=CF, DC=EF , 四边形DEFC是平行四边形. .AB / CD, AD / BC, DC / EF, DE / CF判定方法文子语百符号语后性质定义两组对边分别平行的 四边形是平行四边形.1. A

9、B / CD, AD / BC, ，四边形ABCD是 平行四边形.平行四边形的对边平行.定理1两组对边分别相等的 四边形是平行四边形.AB =CD, AD =BC,，四边形ABCD是 平行四边形.平行四边形的对边相等.定理2对角线互相平分的四边形 是平行四边形. OA=OC, OB=OD ,，四边形ABCD是 平行四边形.平行四边形的对角线互 相平分.推论两组对角相等的四边形 是平行四边形. /A=/C, / B=/D,四边形ABCD是平行四边形平行四边形的对角相等.又 AB / CD, DC / EF, AB / EF.2 .求证：两组对角相等的四边形是平行四边形.（推论）已知：如图，四边形

10、 ABCD中，/ A=/C, / B=/D.求证：四边形 ABCD是平行四边形. 证明：在四边形 ABCD中. / A+ / B+/ C+ / D=360/ A= /C, / B=/ D .2 (/ A+/ B) =360即 /A+/B=180.AD / BC同理：AB / CD所以四边形ABCD是平行四边形.3.如图，在平行四边形 ABCD中，已知两条对角线相交于点 O, E、F、G、H 分别是AO、BO、CO、DO的中点，以图中的点为顶点，尽可能多地画出平行四边形。（五）课后作业1 .作业卷2 .课时作业本3 .继续预习 平行四边形判定”一节.20. 2矩形的判定预习导航学案激活思维7M

11、一试.1 .请你画一个矩形，并画出它们的对角线.观察图形，你能说出它有哪些性质吗2 . 叫做矩形.3 .矩形的对边 ;四个角都是 ;对角线 4 . 的平行四边形是矩形.对角线 的平行四 边形是矩 形.有三个角是直角的四边形是 形信息鼠标1 .(略)2 .有一个内角是直角的平行四边形3 .相等 直角 相等4 .有一个角是直角相等 矩互动研学教练教材研学一、矩形的性质回顾1 .矩形的性质(1)矩形具有平行四边形的一切性质；(2)矩形对角线相等；(3)矩形的四个角都是直角；(4)矩形既是轴对称图形，又是中心对称图形.对称轴有两条，分别是每组对边中点连线所在的直线；对称中心是两对角线的交点.2 .矩形

12、性质的图形说明如图2021,在矩形 ABCD中，图 20-2 1从边上看:AB / CD, AB=CD ; AD / BC , AD=BC .从对角线上看：AC=BD且 OA=OB=OC=OD 。从角上看:/ ABC = / BCD = / CDA = / DAB = 90RtAABC中，O是斜边AC的中老师：根据上面矩形的性质分析可得直角三角形的一个什么性质 小弘：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半.如：在 点，则 AC=2OB .二、矩形的判定如图20221.利用定义判别平行四边形有一个内角为直角矩形2 .利用对角线判别对角线相等的平行四边形是矩形；对角线平分且相等的四边形是矩形.

13、即：在平行四边形 ABCD中，若AC=BD ,则平行四边形 ABCD是矩形；在四边形 ABCD中，若AC=BD ,且OA = OC、OB=OD , 则四边形ABCD是矩形.3 .利用角判别四个角是直角的四边形是矩形.即：在四边形ABCD中，若/ A = Z B = Z C=Z D = 90 ,则四边形ABCD是矩形.实际证明中，只要证明出三个角为直角即可.三、矩形的应用(1)用以证明线段相 等或平分或倍数关系；(2)直角三角形两锐角互余；(3)直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；(4)直角三角形中30。角所对的直角边等于斜边的一半；(5)证明两条直线垂直.四、探究活动如果一个三角形和一个矩形

14、满足条件：三角形的一边与矩形的一边重合，且三角形的这边所对的顶点在矩形这边的对边上，则称这样的矩形为三角形的“友好矩形”.如图20 2 3，矩形ABEF即为 ABC的“友好矩形”，显然，当 ABC是钝角三角形时，其“友好矩形”只有一个.问题：仿着上述叙述，画出直角三角形的“友好矩形” ，并比较这些矩形面积的大小.13 / 20分析：考察直角三角形的每一条边与矩形重合的情形，当以两条直角边为边作矩形时，这两个矩形重合，即为一个，所以直角三角形的“友好矩形”有两个.探究：如图20 23，若4ABC为直角三角形， 且/C=90 ,在图2023中画出 ABC的所有“友好矩形”，此时共有2个矩形，如图2

15、02 4中的BCAD、ABEF ;易知，矩形BCAD、ABEF的面积等于 ABC面积的2倍， ABC的“友好矩形”的面积相等.结论：直角三角形有两个“友好矩形”，且这两个矩形的面积相等.E M 20-2-4点石成金例1.如图2025所示，在矩形 ABCD中，对角线 AC、BD相交于点 O, AE BD于E,则:(1)图中与/ BAE相等的角有;(2)若/ AOB=60 ，则 AB : BD =。图中 DOC是 三角形(按边分)A0图加2 5解析：这是一道直接考查矩形特征的例题，在解答时，我们应充分考虑矩形的特征及与之相关的知识，例如在寻找与/ BAE相等的角时，看清/ BAE的形成，即为过 A

16、作AE BD所形成，则 / BAE+ / EAD=90 ，而/ ADB+ / EAD=90 ，故/ BAE= Z ADB .又因为/ ADB= / DBC= / DAC,由此找与/ BAE相等的角就不难了；至于在第(2)问求AB: BD的方法，可根据题目的特殊条件及图形的特殊性找到结论.答案(1) / ADB , / DBC , / ACB , / DAC(2) 1: 2 等边名师点金：找角时一定要找全，不能漏掉.例2.如图2026所示，在矩形 ABCD中，对角线 AC、BD相交于点 O,已知AC=6 om , / BOC=120 .求：(1)/ACB的度数；(2)求AB、BC的长度.分析：本

17、题是对矩形性质的考查(1)要求/ ACB的度数，而已知/ BOC = 120 , BOC中，由矩形的性质，知 OB=OC,从而/ OBC= Z ACB .由此可求出/ ACB . (2)在RtAACB中，对角线AC=6cm，第(1)问已求出/ ACB=30 ,因此 AB即可求出.然后利用勾股定理求出 BC的长.解：(1)在矩形 ABCD中，对角线 AC与BD互相平分且相等，于是 OB=OC ,所以/ OBC = /ACB = 1 （180 120 ） = 30 .2（2）矩形 ABCD中，/ ABC=90。，又/ ACB=30 ,因此30角所对直角边 AB等于斜边 AC的一半，即 AB=1AC

18、 = 3cm, BC= VAC2AB2 J62 32 373 （cm） 2名师点金：矩形问题通常通过对角线将其转化为等腰三角形或直角三角形来解决.例3.已知DABCD的对角线 AC, BD相交于O, ABO是等边三角形， AB =4 cm,求这个平行四边形的面积（图 20 2 7.）S2O-2-7分析：（1）先判定DABCD为矩形。（2）求出RtAABC的直角边 BC的长。（3）计算S = AB BC解：.四边形 ABCD是平行四边形。， ABO DCO又ABO是等边三角形 . DCO 也是等边三角形，即 AO = BO = CO=DO . . AC = BD DABCD为矩形。在 Rt AB

19、C 中，/ BAC = 60 , / ABC = 90BC= V3 AB ,即 BC=4%/3cmSqabcd = AB AC = 16 43 cm2名师点金：本题首先判定平行四边形是矩形，再利用矩形的面积公式来计算.例4. （1）利用左栏的探究结论说明什么是三角形的“友好平行四边形”.（2）若 ABC为锐角三角形，且BC ACL3而 ab, Li L20,即 LiL2。同理可得 L3的周长最小，即矩形 ABHK的周长最小。名师点金：在阅读理解的基础上，先画出图形，确定好每一种情形，利于进一步求解。20. 3菱形判定（1）教学目的：1 、理解并掌握菱形的定义及性质；会判定一个四边形或平行四边形

20、是菱形；2 、会用这些定理进行有关的论证和计算；3 、培养学生的观察能力、动手能力自学能力、计算能力、逻辑思维能力。教学重点：菱形的判定方法。教学难点：定理的证明方法及运用。教学程序一、复习提问：4 .什么样的平行四边形是菱形？5 .菱形有什么性质？6 .有哪几个方法来判定一个四边形是矩形？二.新课讲解设问：（1）菱形的定义能否作为菱形的判定？有哪两个条件?（2）有什么方法来判定一个四边形是菱形?对角线互相垂直的平行四边形是菱形。提问：这个命题的前提是什么？结论是什么？已知：在平行四边形 ABCM,对角线 ACL BD,求证：平行四边形 ABC虚菱形。分析：我们可根据定义来证明这个四边形是平行

21、四边形,/ AOBW AOD=90 及 AO=AO 得 A AO军 A AOD 可得至U 板书证明过程。）方法二：四边相等的四边形的菱形。设问：如何证明这个命题呢？（让学生思考并证明）几何证言表达：在四边形 ABC邛,AB=BC=CD=DA）的四边形是菱形。四边形ABCD菱形。应具备两个条件菱形的定义菱形判定方法一（定义）判定方法1判定方法2小结：（1）菱形判定方法，填写下表。练习：（1）对角线互相垂直的四边形是菱形。（2）对角线互相平分的四边形是菱形。（3）两组对边分别平行，且对角线（4）两组对边分别相等，且对角线互相垂直的四边形是菱形。（ 综合应用练习（1）如图，O是矩形ABC面对角线白交

22、点， DE/ AC CE/ BD, DE和CE相交于E,求证：四边 形OCED1菱形。四.作业布置20. 3菱形的判定（2）教学目的：1 、理解并掌握菱形的定义及性质；会用这些定理进行有关的论证和计算；2 、培养学生的观察能力、动手能力自学能力、计算能力、逻辑思维能力；3 、在教学中渗透事物总是相互联系又相互区别的辨证唯物主义观点。教学重点：菱形定义及其性质。教学难点：性质的证明方法及运用。教学程序：一.引入新课4 .提问：我们已经学习了矩形的性质，矩形有哪些性质呢？5 .矩形有哪些判定方法？二.新课讲解设问：菱形的定义是什么？它能否作为菱形的判定？有哪些条件？（1）菱形的定义：一组邻边相等的

23、平行四边形叫做菱形。（2）性质1:（几何语言表达）已知：在菱形ABCD求证：AB=BC=CD=DA（3）性质2:（让学生思考，然后板书证明过程。）设问：菱形除了用平行四边形的方法求面积外，还有没有其它办法呢？（简间写出推理的过 程。）1 一 一S菱形-对角线对角线（4）菱形的面积公式：2例题讲解：（补充例题）分析解题过程并板书。（1）跟踪练习1,矩形、菱形各具有哪些性质？填写下表。 矩形、菱形各具有哪些性质？填写下表、填图：矩形菱形性质判定三.本课小结:菱形的定义：一组邻边相等的平行四边形；（判定：2个条件）性质1:菱形的四条边都相等；性质2:菱形的对角线互相平分，并且每条对角线平分一组对角；

24、四.作业布置20. 4正方形判定（1）教学目的1 .掌握正方形的判定方法.2 .通过运用正方形的判定解题，培养学生的分析能力和观察能力.3 .通过正方形有关知识的学习，感受完美的正方形的图形美和语言美教学设计：小结、归纳、提高教学重点：正方形的判定方法.教学难点：正方形判定方法的应用.教学过程：.复习提问4 .矩形、菱形是怎样的特殊平行四边形，它们比平行四边形多些什么性质？5 .正方形是怎样的特殊平行四边形？正方形，菱形有什么关系？正方形有什么性质?二.讲解新课我们已经知道，正方形是一个中心对称图形，也是一个轴对称图形，具有如下的性质:1 .四条边都相等；2 .四个角都是直角.因此，正方形可以

25、看作为：有一个角是直角的菱形；有一组邻边相等的矩形.这些实际上就是判定正方形的方法.图 20.4.1例 如图 20. 4. 1, 4ABC中，/ACB= 90 , CD平分/ ACB DHBC, DF AC,垂足分别为 E、F.求证： 四边形CFD比正方形.分析要证明四边形 CFD比正方形，可以先证四边形CFD国矩形，然后再证有一组邻边相等；也可以先证四边形CFDE是菱形，然后再证有一个角是直角.证明 CD 平分/ ACB DEBC DFXAC；DE=DF （角平分线上的点到角的两边距离相等）又 /DEC= / ECF= / CFD= 90 , 四边形CFD比矩形（有三个角是直角的四边形是矩形

26、），四边形CFD弱正方形（有一组邻边相等的矩形是正方形）正方形的判定方法：提问：1 :对角线相等的菱形是正方形吗？2:对角线互相垂直的矩形是正方形吗？为什么？3:对角线垂直且相等的四边形是正方形吗？为什么？4:四条边都相等的四边形是正方形吗？为什么？5:说“四个角相等的四边形是正方形”对吗？三.小结：（1）判定一个四边形为正方形的基本方法：定义法，矩形菱形法.1, AB、APQ（2）正方形的性质较多，在证题时要灵活应用.2 .思考题：已知如图3正方形ABCD的边长为周长为2,求 PCQ度数.四.布置作业：P118。1。2图3# / 2020. 4正方形（2）教学目的：1 .掌握正方形的定义，理

27、解正方形与平行四边形、菱形、矩形的关系.2 .掌握正方形的性质定理.3 .正确运用正方形的性质解题.教学方法：小结、归纳、提高教学重点：正方形的性质.教学难点：正方形性质的应用.教学过程：一.复习提问】1 .让学生叙述平行四边形、矩形、菱形的定义和它们的特殊性质.2 .说明平行四边形、矩形、菱形的内在联系.二.讲解新课设问：矩形和菱形都是特殊的平行四边形，那么更加特殊的平行四边形是什么图形？它又有 什么特殊性质呢？这一堂课就来学习这种特殊的图形一一正方形（写出课题）1 .正方形的定义：有一组邻边相等，有一个角是直角的平行四边形叫做正方形.设问：正方形从定义看，它既是矩形又是菱形。哪么它又有什么

28、性质呢？2 .正方形的性质因为正方形是特殊的平行四边形，还是特殊的矩形，特殊的菱形，所以它具有这些图形性质 的综合，因此正方形有以下性质（由学生和老师一起总结）.正方形性质定理1:正方形的四个角都是直角，四条边相等.正方形性质定理2:正方形的两条对角钱相等并且互相垂直平分，每一条对角线平分一组对角.说明：定理2包括了平行四边形，矩形，菱形对角钱的性质，一个增炉同时有四勺皆论,这是该定理的特点，在应用时需要哪个结论就用哪个结论，并非把结论写全. ,/例题讲解：例4如图3,I练习：1、课本1、2、3提问回答。图4 L/2.补充练习：如图 4,已知正方形 ABCD延长 AB至IJE,C连结EC,作A

29、G EC于G , AG交BC于F ,求证：AF CE .21 / 20小结:（1）对边平行正方形一（2）四边相等J例;（3）四个角都是直角，（4）对角线相等互相垂直平分，对角线2 .思考题已知正方小每ABCDS献册一舞3E埸BC边上一点BE1, P为AC上一点，求PE PD的最小值八、布置作业教材P119。319. 2. 3正方形（三）教学目的：1 .掌握正方形的定义，理解正方形与平行四边形、菱形、矩形的关系.2 .掌握正方形的性质定理及判定方法3 .正确运用正方形的性质解题.4 .通过运用正方形的判定解题，培养学生的分析能力和观察能力.教学过程: 设问：前面我们已经学习过平行四边形、矩形和菱

30、形，知道矩形和菱形都是特殊的平行四边形，他们都具有平行四边形的性质，同时又都具有各自独特的性质。例题讲解例1在已知锐角三角形 ABC外边作正方形ABD臣口正方形ACFG求证：BG=CE分析：据已知条件画出图形，如图 2所示，要证明线段相等，与图形可以证明二个三角形全等，即只需证明例2 如图所示，在正方形 ABCD, E、F分别是BC AB的中点，DE-CF相交于 M求证：AD=AMDe分析： 欲证 AD=AM 只需证明/ 1 = 7 2,一壬n D但要根据题目条件直接证明/ 1=/2比较困难，/考虑到E、F是正方形的两边中点，容易证明得： BC阵CDF得/ 3=7 4,.而/ 4+/BCF=9

31、0 . 由此DEL CF,这是要证 AD=AM是否想到与直角有关的等腰三角形？只需延去一CK DA交于N,即可出现直角三角形 MND只要证明 A是ND中点即可。这是是否发现 BC障4ANF油AN=BC=AD从而A是ND中点，MA是直角三角形MND勺斜边ND上的中线。问题得证。（让学生板书证明过程） 三.小结：重复一下判定一个四边形是正方形的思路，即一个四边形同时具有矩形和菱形的判定条件，就可以判定这个四边形是正方形。四.作业布置：20. 5梯形判定（1）教学目标：1 .理解、掌握并会运用等腰梯形的性质。2.培养学生观察、探索并掌握梯形的判别方法，能用它们解决简单的问题。教学重点：梯形的有关判别

32、方法及其应用。教学难点：探索等腰梯形的判别方法及常用辅助线的添加方法。教学过程：一、复习提问：1 .什么样的几何图形是梯形？什么样的几何图形是等腰梯形？2 .等腰梯形有何特殊性质? 二、新课讲解我们已经知道，两腰相等的梯形是等腰梯形.通过它，我们可以判定一个梯形是不是等腰梯 形.除此之外，我们还可以利用下面的方法判定等腰梯形（一）判别等腰梯形的方法一：定义：两腰相等的梯形叫做等腰梯形。提问：1、从定义中，要判定一个四边形是等腰梯形，需要什么条件?D/ B C, / B=Z C,B2.如图，在梯形AB CD中，ADE/ AB且交BC于点E。问题一：AB=ED马？为什么？问题二：/ DEC=/ CW?问题三：由此你得到什么结论？注意：先让学生独立思考，然后再讨论完成问题。（二）判别等腰梯形的方法结论：同一底上的两个内角相等的梯形是等腰梯形。（让学生写出已知、求证、证明，然后教师加以讲评）注意：等腰梯形判别的用几何语言表达为：如图：1.在梯形 ABC邛,AD/ BC, AB=DC梯形ABC虚等腰梯形（定义法）2. .在梯