函数与方程—讲义

1、函数与方程一. 【目标要求】 结合二次函数的图象，了解函数的零点与方程根的联系， 判断一元二次方程根的存在性及根的个数. 会理解函数零点存在性定理，会判断函数零点的存在性二. 【基础知识】1. 函数零点的概念：对于函数y f(x),我们把方程f(x) 0的实数根叫做函数 y f(x)的零点。2. 函数零点与方程根的关系：方程f(x) 0有实数根函数y f (x)的图象与X轴 有点 函数y f (x)有零点3. 函数零点的存在性定理：如果函数y f (x)在区间a,b上的图像是一条连续不断的曲线，并且有f(a)f(b) 0,那么，函数yf (x)在区间a,b内有零点，即存在Xo (a,b),使得

2、f(x°) 0 ,这个Xo也就是方程f(x) 0的根。注：若f(x) 0或f(x) 0恒成立，则没有零点。三. 【技巧平台】1.对函数零点的理解及补充(1) 若y f (x)在X a处其函数值为0,即f(a) 0 ,则称a为函数f(x)的零点。(2) 变号零点与不变号零点 若函数f (x)在零点X。左右两侧的函数值异号，则称该零点为函数f (x)的变号零点。 若函数f (X)在零点X。左右两侧的函数值同号，则称该零点为函数f (x)的不变号零点。 若函数f (x)在区间a,b上的图像是一条连续的曲线，则f (a) f (b) 0是f (x)在区间a,b内有零点的充分不必要条件。(3)

3、 般结论：函数y f()的零点就是方程f() 0的实数根。从图像上看，函数y f(x) 的零点，就是它图像与 X轴 交点的横坐标。(4) 更一般的结论：函数 F(X) f (X) g(x)的零点就是方程f(x) g(x)的实数根，也就是函数y f(x)与y g(x)的图像交点的横坐标。2.函数yf (X)零点个数(或方程f (X)0实数根的个数)确定方法1)代数法:函数y f (x)的零点f()0的根2)几何法:有些不容易直接求出的函数yf ()的零点或方程f(x) 0的根，可利用y f()的图像和性质找出零点。画3)注意二次函数的零点个数问题0y f ()有2个零点f()0有两个不等实根0y

4、 f ()有1个零点f()0有两个相等实根0 y f()无零点f() 0无实根对于二次函数在区间 a,b上的零点个数，要结合图像进行确定4) 对于函数F(X) f (x) g(x)的零点个数问题，可画出两个函数图像，看其交点个数有几个,则这些交点横坐标有几个不同的值就有几个零点。5) 方程的根或函数零点的存在性问题，要以根据区间端点处的函数值乘积的正负来确定，但要 确定零点的个数还需进一步研究函数在区间上的单调性，在给定的区间上，如果函数是单调 的，它至多有一个零点，如果不是单调的，可继续细分出小的单调区间，再结合这些小的区 间的端点处的函数值的正负，作出正确的判断。6) 要特别注意数形结合解

5、出方程解的个数的问题。3.元二次函数的零点、一元二次方程的根、一元二次不等式的解集之间的关系。判别武 = A' iIacAO=OV0二次函数ytiM -bjr-c3 ACO的图象yAOJXtXrjO丿r元二次方程a Jc -F j H- c = 0 (>0)的根有两不等实根JCI * 3C g , ( J 'EJe- 2 )有两相等实根 bNi=也=丑没有实根a Jc2 -bjc c>0(>0) 的解集 1腐詳碍L LLJ + 乩T 十 QVo<>0>的解集f 胡J薮为学习的方便，在解一元二次不等式和一元二次方程时，把二次项系数a化为正数,(

6、1) ax2 bx C 0(a0)恒成立ax2bx C 0(a0)恒成立(2) ax2 bx C 0的解集为R2ax bx C 0的解集为R(3)对于二次函数在区间a,b上的最值问题，参照第(1)和(2)节 3.构造函数解不等式恒成立的问题(1)含有参数的不等式恒成立问题，若易于作出图像，则用图像解决，若不易作图，可分离参数。m f (x) min (注意等号是否成立)(2) m f(x)恒成立 m f(x) max，m f(x)恒成立(3) m f(x)有解 mf (x)min，m f(x)有解f (x)max(4) f (x)0在区间a,b上恒成立f(x) min在a,b上大于0四. 【例

7、题精讲】考点一、函数的零点【举一反三】1.判断下列函数在给定区间上是否存在零点2(1) f (x) X 3x 18,x 1,8(3) f (x) Iog2 X 2 x, X 1,3(2) f(x) X3 X 1,x 1,2(4) f(x)-x, X 0,1223例1.判断函数f() 1 4x X X在区间 1,1上零点的个数,3例2.若函数f (x) axb有一个零点为2,那么g(x)bx2ax的零点是。3例 3.设 f(x) X bxC在 1,1上的增函数，且 f11f -0 ,则方程f (X)0在区22间1,1内有个实数根。考点二：二次函数的零点2 _例4.是否存在这样的实数 a ,使函数

8、f(x) X (3a 2)x a 1在区间 1,3上与X轴恒有一个 零点，且只有一个零点，若存在，求出范围，若不存在，说明理由。考点三、方程的根与函数的零点2例5.已知二次函数f (x) ax bx C(1) 若a b C且f(1) 0 ,试证明f(x)必有两个零点；1(2) 若对X1,X2 R且咅X2,f(xJ f(X2),方程f (x) 一 f(N) f(X2)有两个不等实根，证2明必有一个实根属于x1,x2【举一反三】2. X1与X2分别是实系数方程ax2 bx C 0和 ax2 bx C 0的一个根，且 x1 x2,x1 0,x2 0,求证：方程 X2 bx C 0的一个根介于x1与X

9、2之间。2【练习】1.函数f(x)井的零点有个。2.f (x)是定义在R上的以3为周期的偶函数，且f(2)0 ,则方程f (x)0在区间0,6内解的个数是。3.已知函数f (x)5 ,则当方程f(x)a有三个根时，实数a的取值范围是4.3函数f(x) X2x 5 在区间 1,2上有三个零点，求的取值范围。5.设a0且 a1，函数2f (x) Ioga(X 2x 3)有最小值，则不等式IOga(X 1) 0的解集26.函数 f (x) ax bxc(a 0)的图像关于直线 Xb扃对称，据此可推测，对任意的非零P 0的解集不可能是下列表达式中的实数 a,b,c,m, n, P 关于 X 的方程 m

10、f(x)2 nf (x)哪一个 1,2 1,4 1,2,3,4 1,4,16,647. 若函数f(x) ax X a(a 0且a 1)有两个零点，则实数 a的取值范围是 。8. 已知定义在 R上的奇函数f (X),满足f (x 4) f (X),且在区间 0,2上是增函数，若方程 f(x)m(m0)在区间8,8上有 四个不 同的根X1,X2,X3,X4 ，则N X2X3×4。9.已知函数f(x)1 X I3log2X, ab c,f (a) f(b) f(c) 0 ,实数d是函数f (X)的一个零点，给出下列四个命题： d aabd Cd C其中可能成立的是。10. 设函数f(x)

11、IXlX bx c,则下列命题中说法正确的是 当b 0时，函数f (X)在R上是单调增函数 当b 0时，函数f (X)在R上有最小值函数f (X)的图像关于点 0,c对称 方程f(x) 0可能有三个实数根11. 在平面直角坐标系中，设直线y3X 2m和圆X2 y2 n2相切，其中m,n NX 10 | m n | 1,若函数 f (x) m n 的零点 x0(k, k 1),k Z ,则 k=。12. 方程x22x 1 0的解可视为函数 y X -2的图像与函数 y 的图像交点的横坐标，X若方程X4 ax 4 0的各个实根Xl ,x2, ,xk,(k 4)所对应的点X, (i 1,2, k)均在Xi直线y X同侧，则实数a的取值范围是 _。13. 方程2x X2 4 0的实数