高级中学空间立体几何典型例题

1、1如图所示，正方体 ABCD-ABCQ中，侧面对角线AB, BC上分别 有两点E, F,且BiE=CiF.求证：EF/平面ABCD证明 方法一 分别过E, F作EML AB于M FN，BC于N,连接MN. BB，平面 ABCD/.BBXAB, BBLBQ EMZBB, FN/ BB, .EM/ FN又. BE=CF, .EMFN故四边形MNF至平行四边形，. EF/MN又MN平面ABCD EF平面ABCD所以EF/平面ABCD方法二过E作EG/ AB交BB于G, 连接GF,则处BG , . BE=GF, BA=GB,CiEC1B器，电 BC / BC又 EGH FG=G, ABA BC=B,

2、平面EFG/平面 ABCD而EF平面EFG.EF/平面 ABCD 2已知P为ABO在平面外一点，G、G、G分别是APAB PCB PAC勺重心.(1)求证：平面GGG/平面ABC求 4 G1G2G3 : SBC(1)证明 如图所示，连接PG、PG、PG并延长分别与边AB BGAC交于点D E、F,一_ _ _P连接 DE EF FD,则有 PG： PD=2 ： 3,八、PG： PE=2： 3,.GG/DE/；V又GG不在平面ABC3 ,芈*GG /平面ABC同理GG /平面ABC弋工二方二支又因为GGAGG=G,b平面GGG/平面ABC(2)解 由(1)知至 EG2=2GG=2DEPD PE

3、3 3又 DE=1AC, .GG=AC 23同理 GG=3AB, GG=1BC 33.GGGszCAB 其相似比为 1 : 3,SG为zSAB上的高，D E、F分别是AG BG SC的中点，试判断 关系，并给予证明.解 SG/平面DEF证明如下： 方连接C皎DE于点H,如图所示.SGf平面DEF的位置3如图所示，已知S是正三角形ABC所在平面外的一点，且SA=SB=SQ S G1G2G3 : Smbf1 : 9.DE是 ABC的中位线,.DE/ AB在4AC阴，D是AC的中点,且 DH AG .H为CG的中点. .FH是4SCG勺中位线， .FH/ SG又SG平面DEF FH平面DEF .SG

4、/平面 DEF方法二 .EF为SBC勺中位线，.EF/ SB EF平面SAB SB平面SAB .EF/平面 SAB同理可证，DF/平面SAB EFA DF=F,平面SAB/平面DEF又SG平面SAB66/平面 DEF.5如图所示，在正方体 ABCD-ABGD中,E、F、G H 分别是 BG CC、CD、AA的中点.求证：(1) BF/ HD;(2) EG/平面 BBDD;(3)平面BDF/平面BDH证明 (1)如图所示，取BB的中点M易证四边形HMC1是平行四边形，HD/ MC又MC/ZBF, .BF/ HD.(2)取BD的中点Q连接EO DQ则 OE 1DC又 DG 1DC /. OE DG

5、,四边形OEG原平行四边形，.GE/ DQ又 DO 平面 BBDD,EG/平面 BBDD(3)由(1)知 DH/ BF,又 BD/ BD, BQ、BD 平面 BDF 且 BD A HD=D ,Dm BF=B,平面 BDF/平面 BDH.6如图所示，四边形EFGH;空间四边形ABCD勺一个截面，若截面为 平行四边形.(1)求证：AB/平面 EFGH CD/平面 EFGH(2)若AB=4, CD=6,求四边形EFGH长的取值范围.(1)证明.四边形EFGH；平行四边形，EF/ZHG HG 平面 ABD 二 EF/ 平面 ABD/EF平面ABC 平面ABD平面ABCAB,.EF/ AB.AB/平面

6、EFGH同理可证，CD/平面EFGH解 设EF=x (0x4),由于四边形EFGHfe平行四边形, CF. CB=1- x|jj| FG = BF _ BC CFBC、6q Bc从而 FG=6-3x.2四边形 EFGH勺周长 l =2(x+6-3x)=12-x.又 0c x4,则有 8l12,四边形EFGHI长的取值范围是(8, 12) 7如图所示，在正方体 ABCD-AiBiCiD中，O为底面ABCD勺中心，P是DD的中点，设Q是CC上的点，问：当点Q在什么位置时，平面DBQ/平面PAO解当Q为CC的中点时，平面DBQ/平面PAOQ为CC的中点，P为DD的中点，. QB/ PA. P、O为

7、DD、DB的中点,. DB/1 P0又 POP PA=P, DBA QB=B,DB/平面 PAO QB/平面 PAO平面 DBQ/ 面 PAO8正方形ABCDf正方形ABEF所在平面 相交于AB,在AE BD上各有一点P、Q 且 AP=DQ求证：PQ/平面BCE证明 方法一 如图所示，作PM/ AB交BE于M,彳QN/ AB交BC于N,连接MN |.正方形ABC于口正方形ABEFW公共边AB,AE=BD又. AP=DQ /. PE=QB又 PM/ AB/ QNA PMPE QNBQPM QN PM QNABAE DCBD AB DC四边形PMN平行四边形，. PQ/MN又MN平面BCE PQ平

8、面BCE .PQ/平面 BCE方法二 如图所示，连接AQ并延长交BC于K,连接EK . AE=BD AP=DQ .PE=BQ AP _ DQPE BQ又AD/ BK, .31 BQ QK由得匹喂, PQ EK又PQ平面BCE EK平面BCE.PQ/平面 BCE方法三 如图所示，在平面 ABEF内，过点P作PM/ BE,交AB于点M连接QM: PM/ BE, PM 平面 BCE即PM/平面BCEfPE MB又 AEDQ /. PE=BQ竺二吧PE BQ由得竺= DQ,MO/ AD, MB BQ.MO/ BQ 又 MQ平面 BCE MQ 平面 BCE又.PMR MOM,.平面 PMQ 平面 BCE

9、PQ 平面 PMQ. PQ/ 平面 BCE8如下的三个图中，上面的是一个长方体截去一个角所得多面体的直 观图，它的正视图和左视图在下面画出(单位:cm).(1)在正视图下面，按照画三视图的要求画出该多面体的俯视图按照给出的尺寸，求该多面体的体积； 在所给直观图中连接 BC ,证明：BC /平面EFG解如图(1)所示.图(1)(2)解所求多面体体积V=V长方体-V正三棱锥=4X 4X6- 1 X( 1X2X2) X2=等(cm3). 证明 如图(2),在长方体ABCD-A B C D中, 连接 AD ,则 AD / BC .因为E,G分别为AA , A D的中点，所以AD / EG从而EG/ B

10、C又BC 平面EFG所以BC /面EFG图(2)9.如图所示，正四棱锥 屋ABCD勺各棱长均为13, M N分别为PABD上的点，且 PM： MA=BN： ND=5 : 8.(1)求证：直线MN/平面PBC(2)求线段MN的长.(1)证明 连接AN并延长交BC于Q 连接PQ如图所示. AD/BQ.ANSAQNBAN = DN = AD =8NQ -NB BQ 5又PM = BN =5MA ND 8AM = AN = 8MP NQ 5 MIN/ PQ又PQ平面PBC MN平面PBCMIN/平面 PBC(2)解 在等边 PBC中，/ PBG60 ,在PBCfr由余弦定理知Pd=P曰+Bd2PB B

11、Qos/PBQ2_ 8264=13+ 65 -2 X13X 65 x 1 = 8-281. MIN/ PQ MN PO8 ： 13,.*.Mf=91x _8=7. 81310在四棱锥P ABCDK 底面ABC英平行四边形，M N分别是AB, PC的 中点，求证：MN/平面PAD证明：方法一，取PD中点E,连接AE, NE底面ABCLg平行四边形，M N分别是AB, PC的中点,1.MA/ CD MA CD.2 E是PD的中点,1 .NE/ CD NE CD.2 .MA/ NE 且 M誓 NE .AENM1平行四边形， . MN/ AE.又AE平面PAD MN 平面PAD . MN/ 平面 PA

12、D方法二取CD中点F,连接MF NF. MF/ AD NF/ PR 平面MNF/平面PAD . MN/ 平面 PAD11在直三棱柱 ABC- ABC中,【分析】要证明“线线垂直”明AC垂直于经过BC的平面即可.AA=AC ABAC 求证：AC，BC.证明：连接AC. .ABC- ABC是直三棱柱, AA，平面 ABC .AB，AA.又 AB AC AB，平面 AACC,.AidAB.又 AA=AC 侧面A1ACC是正方形， .AC，AC.由，得AC，平面ABG, .AC，BC.12在三棱锥P- ABC中，平面PABL平面ABC AB! BC, API PB,求证：平 面PACL平面PBC【分析

13、】要证明“面面垂直”，可通过“线面垂直”进行转化，而“线面垂 直”又可以通过“线线垂直”进行转化.证明： 平面PAEBL平面ABC 平面PABH平面 ABC= AB,且AB BQ BC，平面 PAB.API BC又 API PB, AP，平面 PBC又AP平面PAC平面PACE平面PBCABC13如图，在斜三棱柱ABC- ABG中，侧面AABB是菱形，且垂直于底面 /AA五60 , E, F分别是AB, BC的中点.(I )求证：直线EF/平面AACC；(H)在线段AB上确定一点G,使平面EFGL平面ABC并给出证明.证明：(I )连接AC, A1E. 侧面A1ABB是菱形，E是AB的中点，

14、.E也是AB的中点,又F是BC的中点，EF/ AC. AC 平面 AACC, EF 平面 AACC,直线EF/平面AACC.解：当跑 1时，平面EFGL平面ABC证明如下： GA 3连接EG FG 侧面A1ABB是菱形，且/ AAB= 60 , AAB是等边三角形. E是 AB 的中点，BG - ,EGLAB.GA 3 平面 AABBL平面 ABC且平面 AABBn平面ABC= AB, . EGL平面 ABC又EG平面EFG.平面EFGL平面ABC14 如图，正三棱柱 ABC- A1B1G中，E是AC的中点.(I)求证：平面BEC，平面ACCAi； (H)求证：AB/平面BEC.证明：(I);

15、ABC- A1B1G是正三棱柱，AA，平面ABC BEX AA.ABCg正三角形，E是AC的中点，.BE! AC,. BE!平面ACCA,又BE 平面BEC, 平面BEC，平面ACCA.(H)证明：连接BC,设BCABC= D. BCdB是矩形，D是BC的中点， /.DE/ AB.又DE平面BEC, AB 平面BEC,.AB/平面 BEC.15在四棱锥P ABC时，平面PAD平面ABCD AB/ DC PA皿等边三角形，已知 BD- 2AD-8, AB 2DC 4展.(I )设M是PC上的一点，证明：平面 MBDl平面PAD(H)求四棱锥P- ABCD勺体积.证明：(1)在4人3口中，由于 A

16、A4, B48, AB 4病，所以 AD+BD= AE2.故AD!BD又平面PADL平面ABCD平面PAE平面 ABCD=AD, BD 平面ABCD所以BDL平面PAD又BD 平面MBD故平面 MBD_T面PAD(H)解：过P作POLAD交AD于O,由于平面PADL平面ABCD所以PQ平面ABCD因此PO为四棱锥P- ABCD勺高，又 PA奠边长为4的等边三角形.因此PO 申 4 243.在底面四边形ABCM, AB/ DC AB= 2DC所以四边形ABCM梯形,在RtAADE,余边AB边上的高为1.8 奉4 55即为梯形ABCD勺高，所以四边形ABCD勺面积为S 2运再 5 24.故 25V

17、p ABCD 1 24 2 3 16.3. 316 .如图，三棱锥P-ABC勺三个侧面土为边长是1的等边三角形，M N分别为 PA, BC的中点.(I )求MN勺长；(H)求证：PAL BC.(I)解：连接MB MC三棱锥P- ABC的三个侧面土为边长是1的等边三角形，3 MB MC ,且底面 ABC也是边长为1的等边二角形. N为BC的中点，；MNLBC2在 RtzXMNB, MN 4MB2 BN2 -2-(H)证明：: M是PA的中点, PAL MB 同理 PAL MC. MB? M生 M . . PAL平面 MBC又 BC 平面 MBC PA! BCBN17 .如图，在四面体ABCD,

18、CB- CD ADL BD,且E、F分别是AR BD的中点.求 证：(I)直线EF/平面ACD(H)平面EFCL平面BCD.证明：(1);孱F分别是AR BD的中点，.EF是4ABD的中位线，；EF/ AD.又EF 平面ACD AD 平面ACD.直线EF/平面ACD (H) . EF/ AD ADL BDEF BD.,. CB= CD F是 BD的中点，.二 CFBDvCFn EF= F, . .BDL平面 CEF. BD平面BCD 平面EFCL平面BCD18如图，平面ABEFL平面ABCD四边形ABE臼ABC嘟是直角,$形，/ BA*,_ _ _ _ 1 1 _ZFAB= 90 , BC/ AD BC -AD,BE/AF,BE -AF ,