高等数学教学 第七节 无穷小的比较

1、一、无穷小的比较一、无穷小的比较二、等价无穷小的替换二、等价无穷小的替换三、小三、小 结结2/14一、无穷小的比较一、无穷小的比较例如例如,xxx3lim20 xxxsinlim02201sinlimxxxx.1sin,sin,022都是无穷小都是无穷小时时当当xxxxxx 极限不同极限不同, 反映了趋向于零的反映了趋向于零的“快慢快慢”程度不程度不同同.;32要快得多要快得多比比 xx;sin大大致致相相同同与与xx不可比不可比., 0 , 1 xx1sinlim0 .不不存存在在观察各极限观察各极限型）型）（003/14；记作记作高阶的无穷小高阶的无穷小是比是比，就说，就说如果如果)(,0

2、lim)1( o定义定义: :. 0, 且且穷穷小小是是同同一一过过程程中中的的两两个个无无设设;, 0lim)3(是是同同阶阶的的无无穷穷小小与与就就说说如如果果 C;, 1lim 记作记作是等价的无穷小是等价的无穷小与与则称则称如果如果特殊地，特殊地，低低阶阶的的无无穷穷小小是是比比，就就说说如如果果 lim)(4/14., 0, 0lim)4(无穷小无穷小阶的阶的的的是是就说就说如果如果kkCk ，03lim20 xxx，1sinlim0 xxx;302高高阶阶的的无无穷穷小小是是比比时时，当当xxx ).0()3(2 xxox即即是是等等价价无无穷穷小小与与时时，当当xxxsin0).

3、0(sinxxx即即例如例如5/14例例1 1.sintan,0:的三阶无穷小的三阶无穷小为为时时当当证明证明xxxx 解解30sintanlimxxxx )cos1sincos1(lim20 xxxxxx ,21 .sintan的三阶无穷小的三阶无穷小为为xxx 2000cos1limsinlimcos1limxxxxxxxx 6/14例例2.1110 xnxxn 时，时，当当证明：证明：证证明明：xnxnx111lim0 1)1()1(11)1(lim210 nnnnnnxxxxnx1)1()1(lim210 nnnnxxxn1 xnxn111 )0(x7/14证证必要性必要性，设设 1l

4、imlim ，0 ，即即)()( oo充分性充分性设设)( o )(limlimo）（ )(limo，1 的的主主要要部部分分是是称称为为必必要要条条件件是是等等价价无无穷穷小小的的的的充充分分与与 ).(o 定理定理18/14意义：用等价无穷小可给出函数的近似表达式意义：用等价无穷小可给出函数的近似表达式例如例如,),(sinxoxx ).(21cos122xoxx ,0时时当当 xxycos1 221yx 常用等价无穷小常用等价无穷小: :,0时时当当 x)0(1)1(,21cos1, 1)1ln(arctanarcsintansin2 aaxxxxexxxxxxxax.21cos1,si

5、n2xxxx 9/14二、等价无穷小代换二、等价无穷小代换定理定理( (等价无穷小代换定理等价无穷小代换定理) ).limlim,lim, 则则存存在在且且设设证证 lim)lim( limlimlim.lim 10/14例例2 2.cos12tanlim20 xxx 求求解解.22tan,21cos1,02xxxxx 时时当当22021)2(limxxx 原式原式. 8 若未定式的分子或分母为若干个因子的若未定式的分子或分母为若干个因子的乘积乘积，则，则可对其中的任意一个或几个无穷小因子的可对其中的任意一个或几个无穷小因子的乘积乘积作作等价无穷小代换，而不会改变原式的极限等价无穷小代换，而不

6、会改变原式的极限11/14不能滥用等价无穷小代换不能滥用等价无穷小代换.切记，只可对函数中的切记，只可对函数中的乘积因子乘积因子作等价无穷小作等价无穷小代换，对于代换，对于代数和代数和中各无穷小不能分别代换中各无穷小不能分别代换. .注意注意例例3 3.arcsinsin)1(lim0 xxxx 求求解解.arcsin,sin,0 xxxxx时时当当xxxx)1(lim0 原式原式. 1 )1(lim0 xx12/14例例4 4.2sinsintanlim30 xxxx 求求解解.sin,tan,0 xxxxx时时当当 30)2(limxxxx 原式原式. 0 解解,0时时当当 x)cos1(

7、tansintanxxxx ,213x,22sinxx330)2(21limxxx 原式原式.161 错错 13/14例例5 5.1cos1)1(lim3120 xxx求求解解2312311)1( ,0 xxx 时时当当.211cos2xx 1cos1)1(lim3120 xxx2202131limxxx .32 14/14三、小结三、小结1、无穷小的比较、无穷小的比较反映了同一过程中反映了同一过程中, 两无穷小趋于零的速度两无穷小趋于零的速度快慢快慢, 但并不是所有的无穷小都可进行比较但并不是所有的无穷小都可进行比较.2、等价无穷小的代换、等价无穷小的代换:求极限的又一种方法求极限的又一种方

8、法, 注意适用条件注意适用条件.高高(低低)阶无穷小阶无穷小; 等价无穷小等价无穷小; 无穷小的阶无穷小的阶.用时用时1课时课时业业作作);3()1(460、 P15/14思考题思考题任何两个无穷小都可以比较吗？任何两个无穷小都可以比较吗？16/14思考题解答思考题解答不能不能例当例当 时时 x,1)(xxf xxxgsin)( 都是无穷小量都是无穷小量但但 )()(limxfxgxxxsinlim不存在且不为无穷大不存在且不为无穷大故当故当 时时 x)(xf和和)(xg不不能能比比较较.17/14一、一、 填空题：填空题：1 1、xxx2sin3tanlim0=_.=_.2 2、mnxxx)

9、(sinarcsinlim0=_.=_.3 3、xxx)21ln(lim0 =_.=_.4 4、xxxxxarctan1sin1lim20 =_.=_.5 5、nnnx2sin2lim =_.=_.6 6、xaxnx1)1(lim10 = =_ _ _ _ _ _ _ _ _ _. .练练 习习 题题18/147 7、当、当0 x时，时，)0(3 aaxa 对于对于x是是_阶无穷小阶无穷小 . .8 8、当、当0 x时，无穷小时，无穷小xcos1 与与nmx等价，则等价，则 ._,nm 二、求下列各极限：二、求下列各极限：1 1、xxxx30sinsintanlim ；2 2、 eelim；3 3、xxxx sinsinlim0 ；4 4、axaxax tantanlim；19/14三、三、 证明：若证明：若 ,是无穷小，则是无穷小，则)(0 . .四、设四、设 f(x)=f(x)=1)cos(2sinlim212 nnnxbxaxx 求：求：1 1、)(xf的表达式的表达式 . . 2 2、确定、确定ba,的值的值, ,使得使得)1()(lim1fxfx ， )1()(lim1 fxfx . .20/14一、一、1 1、23； 2 2、 nmnmnm, 1, 0；3 3、2 2； 4 4、 ； 5 5、x； 6 6、n