曲线运动综合复习资料培训资料

1、<<<<<< 精品资料 曲线运动第一模块：曲线运动、运动的合成和分解夯实基础知识考点一、曲线运动1 、定义：运动轨迹为曲线的运动。2、物体做曲线运动的方向：做曲线运动的物体，速度方向始终在轨迹的切线方向上，即某一点的瞬时速度的方向，就是通过该点的曲线的切线方向。3、曲线运动的性质由于运动的速度方向总沿轨迹的切线方向，又由于曲线运动的轨迹是曲线，所以曲线运动的速度方向时刻变化。即使其速度大小保持恒定，由于其方向不断变化，所以说：曲线运动一定是变速运动。由于曲线运动速度一定是变化的，至少其方向总是不断变化的，所以，做曲线运动的物体的加速度必不为零，所受到的合外力

2、必不为零。4、物体做曲线运动的条件（ 1）物体做一般曲线运动的条件物体所受合外力（加速度）的方向与物体的速度方向不在一条直线上。（ 2）物体做平抛运动的条件物体只受重力，初速度方向为水平方向。可推广为物体做类平抛运动的条件：物体受到的恒力方向与物体的初速度方向垂直。（ 3）物体做匀速圆周运动的条件物体受到的合外力大小不变，方向始终垂直于物体的速度方向，且合外力方向始终在同一个平面内（即在物体圆周运动的轨道平面内）（ 4）任何做曲线运动的物体所受的合外力，一定指向曲线凹的一侧。（5）轨迹、速度方向和合力的位置关系。5、分类匀变速曲线运动：物体在恒力作用下所做的曲线运动，如平抛运动。非匀变速曲线运

3、动：物体在变力（大小变、方向变或两者均变 ）作用下所做的曲线运动，如圆周运动。 考点 二、 运动的合成与分解1 、运动的合成：从已知的分运动来求合运动，叫做运动的合成，包括位移、速度和加速度的合成，由于它们都是矢量，所以遵循平行四边形定则。运动合成重点是判断合运动和分运动。一般地，物体的实际运动就是合运动。2、运动的分解：求一个已知运动的分运动，叫运动的分解，解题时应按实际“效果 ”分解，或正交分解。3、合运动与分运动的关系：运动的等效性（合运动和分运动是等效替代关系，不能并存）；等时性：合运动所需时间和对应的每个分运动时间相等独立性：一个物体可以同时参与几个不同的分运动，物体在任何一个方向的

4、运动，都按其本身的规律进行，不会因为其它方向的运动是否存在而受到影响。<<<<<<精品资料»»»»运动的矢量性（加速度、速度、位移都是矢量，其合成和分解遵循平行四边形定则）4、运动的性质和轨迹物体运动的性质由加速度决定加速度为零时物体静止或做匀速直线运动；加速度恒定时物体做匀变速运动；加速度变化时物体做变 加速运动。物体运动的轨迹（直线还是曲线）则由物体的速度和加速度的方向关系决定速度与加速度方向在同一条直线上时物体做直线运动；速度和加速度方向成角度时物体做曲线运动。常见的类型有：（1） a=0:匀速直线运动或静止。（

5、2） a恒定：性质为匀变速运动，分为：v、a同向，匀加速直线运动；v、a反向，匀减速直线运动；v、a成角度，匀变速曲线运动（轨迹在v、a之间，和速度v的方向相切，方向逐渐向 a的方向接近，但不可能达到。）（3） a变化：性质为变加速运动。如简谐运动，加速度大小、方向都随时间变化。具体如：两个匀速直线运动的合运动一定是匀速直线运动。一个匀速直线运动和一个匀变速直线运动的合运动仍然是匀变速运动，当两者共线时为匀变速直线运动，不共线时为匀变速曲线运动。两个匀变速直线运动的合运动一定是匀变速运动，若合初速度方向与合加速度方向在同一条直线上 时，则是直线运动，若合初速度方向与合加速度方向不在一条直线上时

6、，则是曲线运动。第二模块：平抛运动夯实基础知识平抛运动1、定义：平抛运动是指物体只在重力作用下，从水平初速度开始的运动。2、条件：a、只受重力；b、初速度与重力垂直.3、运动性质：尽管其速度大小和方向时刻在改变，但其运动的加速度却恒为重力加速度g,因而平抛运动是一个匀变速曲线运动。a = g4、研究平抛运动的方法：通常，可以把平抛运动看作为两个分运动的合动动：一个是水平方向（垂直于恒力方向）的匀速直线运动，一个是竖直方向（沿着恒力方向）的匀加速直线运动。水平方向和竖直方向的两个分运动既具有独立性，又具有等时性.<<<<<<精品资料<<<&l

7、t;<<精品资料5、平抛运动的规律水平速度：Vx=V0 竖直速度：Vy=gt合速度（实际速度）的大小:2Vy =体会：速度是均匀变化的，速度的大小是非均匀变化的! 物体的合速度v与x轴之间的夹角为：vygtVxVo水平位移：x=v0t12竖直位移：y = gt合位移（实际位移）的大小：s= , x2 y2物体的总位移s与x轴之间的夹角为：tan二里x 2vo可见，平抛运动的速度方向与位移方向不相同。而且 tan u = 2 tan 日而 a 2 26轨迹方程：, ，一 12 . 一.由X=V0t和y= gt消去t得到：2g- 22Vo可见，平抛运动的轨迹为抛物线。6、平抛运动的几个

8、结论落地时间由竖直方向分运动决定:<<<<<<精品资料<<<<<<精品资料由T得:Y水平飞行射程由高度和水平初速度共同决定:x = v0t = v0平抛物体任意时刻瞬时速度v与平抛初速度 V0夹角a的正切值为位移s与水平位移x夹角。正切值的两倍。平抛物体任意时刻瞬时速度方向的反向延长线与初速度延长线的交点到抛出点的距离都等于水平位 移的一半。gt证明:tan ： = -g- = 2 Vo s平抛运动中，任意一段时间内速度的变化量Av= gAi；方向恒为竖直向下（与 g同向）。任意相同时间内的 Av都相同（包括大小、方向），

9、如下图。以不同的初速度，从倾角为0的斜面上沿水平方向抛出的物体，再次落到斜面上时速度与斜面的夹角a相同，与初速度无关。（其中飞行的时间与速度有关，速度越大时间越长。）如图：因为tan 0 =x所以t =v°- tan1gtan（a 可二匕二史VxVo所以tan（a + 8） =2tan日，。为定值故a也是定值与速度无关。tan日变大，日速度v的方向始终与重力方向成一夹角，故其始终为曲线运动，随着时间的增加, 速度v与重力的方向越来越靠近，但永远不能到达。从动力学的角度看：由于做平抛运动的物体只受到重力，因此物体在整个运动过程中机械能守恒。<<<<<<

10、;精品资料»»»»<<<<<<精品资料»»»»7、平抛运动的实验探究如图所示，用小锤打击弹性金属片，金属片把A球沿水平方向抛出，同时 B球松开，自由下落， A、两球同时开始运动。观察到两球同时落地。多次改变小球距地面的高度和打击力度，重复实验，观察到两球总是同时落地。这说明了小球A在竖直方向上的运动为自由落体运动。<<<<<<精品资料如图，将两个质量相等的小钢球从斜面的同一高度处由静止同时释放，滑道2与光滑水平板平缓连接,则观察到的现象是A、B

11、两个小球在水平面上相遇。改变释放点的高度和上面滑道对地的高度，重复实验，A、B两球仍会在水平面上相遇，这说明平抛运动在水平方向上的分运动是匀速直线运动。8、类平抛运动(1)有时物体的运动与平抛运动很相似，也是在某方向物体做匀速直线运动，另一垂直方向做初速度 为零的匀加速直线运动。对这种运动，像平抛又不是平抛，通常称作类平抛运动。2、类平抛运动的受力特点：物体所受合力为恒力，且与初速度的方向垂直。3、类平抛运动的处理方法：在初速度Vo方向做匀速直线运动，在合外力方向做初速度为零的匀加速直线运动，加速度a=f含。m处理时和平抛运动类似，但要分析清楚其加速度的大小和方向如何，分别运用两个分运动的直线

12、规律 来处理。第三模块：圆周运动夯实基础知识匀速圆周运动1、定义：物体运动轨迹为圆称物体做圆周运动。2、分类：匀速圆周运动：质点沿圆周运动，如果在任意相等的时间里通过的圆弧长度相等，这种运动就叫做匀速圆周运动。条件：物体在大小恒定而方向总跟速度的方向垂直的外力作用下所做的曲线运动。卫星的运动、弹力绳拴着的物体在光滑水平面上绕绳的一注意：这里的合力可以是万有引力<<<<<<精品资料»»»»端旋转、重力与弹力的合力 一一锥摆、静摩擦力一一水平转盘上的物体、库仑力 一一电子绕核旋转、洛仑 兹力一一带电粒子在匀强磁场中的偏转等

13、.变速圆周运动：如果物体受到约束，只能沿圆形轨道运动，而速率不断变化一一如小球被绳或杆约束着在竖直平面内运动，是变速率圆周运动.合力的方向并不总跟速度方向垂直.3、描述匀速圆周运动的物理量(1)轨道半径(r)：对于一般曲线运动，可以理解为曲率半径。(2)线速度(v):定义：质点沿圆周运动，质点通过的弧长S和所用时间t的比值，叫做匀速圆周运动的线速度。定义式：v=*t线速度是矢量：线速度的方向就在圆周该点切线方向上。实际上，线速度是速度在曲线运动中的另一称谓。对于匀速圆周运动，线速度的大小等于平均速率。(3) (以又称为圆频率)：定义：质点沿圆周运动，质点和圆心的连线转过的角度跟所用时间的比值叫

14、做匀速圆周运动的角<p大小： 二 T速度。-2Z.T T (。是t时间内半径转过的圆心角)单位：弧度每秒(rad/s)物理意义：描述质点绕圆心转动的快慢(4)周期(T)：做匀速圆周运动的物体运动一周所用的时间叫做周期。(5)频率(f):物体在单位时间内完成的圆周运动的圈数。各物理量之间的关系：二2 二 rf注意：计算时，均采用国际单位制，角度的单位采用弧度制。转速 n：(1)n=f(2)n=60f(6)圆周运动的向心加速度定义：做匀速圆周运动的物体所具有的指向圆心的加速度叫向心加速度。2大小：an =工=2r其它的表木形式：an = v：J.r =(2nf fr<T J方向：其方向

15、时刻改变且时刻指向圆心<<<<<<精品资料»»»»对于一般的非匀速圆周运动，上述公式仍然适用。an为物体的加速度的法向加速度分量，r为曲率半径；物体的另一加速度分量为切向加速度a 表征速度大小改变的快慢（对匀速圆周运动而言，a_=0）（7）圆周运动的向心力匀速圆周运动的物体受到的合外力常常称为向心力，向心力的来源可以是任何性质的力，常见的提供向心力的典型力有万有引力、洛仑兹力等。对于一般的非匀速圆周运动，物体受到的合力的法向分力Fn提供向心加速度（下式仍然适用），切向分力F,提供切向加速度。向心力的大小为：2V2Fn

16、= man = m- = m，rr其它的表示形式，如： Fn = mv - =m向心力的方向时刻改变且时刻指向圆心。实际上，向心力公式是牛顿第二定律在匀速圆周运动中的具体表现形式。四、离心运动1、定义：做圆周运动的物体，在所受合外力突然消失或不足以提供圆周运动所需向心力情况下，就做 远离圆心的运动，这种运动叫离心运动。2、本质：离心现象是物体惯性的表现。离心运动 并非沿半径方向飞出的运动 ，而是运动半径越来越大的运动或沿切线方向飞出的运动。离心运动并不是受到什么离心力，根本就没有这个离心力。3、条件：当物体受到的合外力Fn =man时，物体做匀速圆周运动;当物体受到的合外力Fn< man

17、时，物体做离心运动当物体受到的合外力Fn>man时，物体做近心运动（或向心运动）实际上，这正是力改变物体运动状态的效果的体现，外力改变，物体的运动情况也必然发生变化以适 应外力的改变。F=04.两类典型的曲线运动的分析方法比较（1）对于平抛运动这类匀变速曲线运动”，我们的分析方法一般是在固定的坐标系内正交分解其位移<<<<<<精品资料»»»» 和速度”，运动规律可表示为平抛运动x - ot, 1.2y = gt->x - - 0 , y = gt.（2）对于匀速圆周运动这类 力和加速度”，运动规律可表示为变

18、变速曲线运动”，我们的分析方法一般是在运动的坐标系内正交分解其匀速圆周运动F 切=ma 切=0,m 22F 法=F 向=maj = mrco = muco.r向心力与运动状态有关。重点题型解析【例题】如图所示，物体在恒力F作用下沿曲线从 A运动到B,这时，突然使它所受力反向，大小不变，即由F变为一F。在此力的作用下，物体以后的运动情况，下列说法正确的是（A、B、D )cA .物体不可能沿曲线B a运动B.物体不可能沿直线B b运动C.物体不可能沿曲线B c运动D.物体不可能沿原曲线由B返回 A【例题】质量为m的物体受到一组共点恒力作用而处于平衡状态，当撤去某个恒力Fi时，物体可能做的运动形式是

19、（）A .匀加速直线运动；B.匀减速直线运动；C.匀变速曲线运动；D.变加速（特指加速度改变的运动）曲线运动。解析：当撤去Fi时，由平衡条件可知：物体此时所受合外力大小等于Fi,方向与Fi方向相反。若物体原来静止，物体一定做与Fi相反方向的匀加速直线运动。若物体原来做匀速运动，若Fi与初速度方向在同一条直线上，则物体可能做匀加速直线运动或匀减速直线运动，故A、B正确。若Fi与初速度不在同一直线上， 则物体做曲线运动，且其加速度为恒定值， 故物体做匀变速曲线运动, 故C正确，D错误。正确答案为：A、B、Co【例题】我国嫦娥一号"探月卫星经过无数人的协作和努力, 射升空。如图所示， 嫦娥

20、一号”探月卫星在由地球飞向月球时， 逐渐减小。在此过程中探月卫星所受合力的方向可能的是（终于在2007年i0月24日晚6点05分发 沿曲线从M点向N点飞行的过程中，速度 ）<<<<<<精品资料解析：C卫星运动的速度方向沿其轨迹的切线方向，由于速度逐渐减小，则合力方向与速度方向间的夹角大于90,由轨迹的弯曲方向知，合力必指向其弯曲方向.故选Co【例题】质点仅在恒力 F的作用下，由。点运动到A点的轨迹如图所示，在 A点时速度的方向与 x轴 平行，则恒力F的方向可能沿（）<<<<<<精品资料A. x轴正方向B. x轴负方向C.

21、y轴正方向D. y轴负方向解析：D根据曲线运动轨迹特点可知：物体的轨迹总是向合外力一方凹陷，而且最终的速度方向不 与合外力方向平行，可知 D正确。【例题】一个物体以初速度 vo从A点开始在光滑的水平面上运动，一个水平力作用在物体上，物体的 运动轨迹如图中的实线所示，B为轨迹上的一点，虚线是经过 A、B两点并与轨迹相切的直线。虚线和实线将水平面分成五个区域，则关于施力物体的位置，下列各种说法中正确的是A.如果这个力是引力，则施力物体一定在区域中B.如果这个力是引力，则施力物体可能在区域中C.如果这个力是斥力，则施力物体一定在区域中D。如果这个力是斥力，则施力物体可能在区域中解析：物体做曲线运动，

22、一定受到与初速度V。方向不平行的力的作用，这个力与速度方向垂直的分量起到向心力的作用，使物体运动轨迹向向心力的方向弯曲，且运动轨迹应在受力方向和初速度方向所夹 的角度范围之内，所以此施力物体一定在轨迹两切线的交集处。是引力时施力物体在轨迹弯曲的内侧（相互吸引，使运动向轨迹内侧弯曲 ）,是斥力时施力物体在轨迹弯曲的外侧（相互排斥，使物体运动向轨迹内侧弯曲）。【答案】A C【例题】如图所示，质量为 m的小球，用长为l的不可伸长的细线挂在 。点，在。点正下方,处有一2光滑的钉子O'。把小球拉到与钉子 。在同一水平高度的位置， 摆线被钉子拦住且张紧， 现将小球由静止释<<<&

23、lt;<<精品资料»»»»放，当小球第一次通过最低点P时（）A.小球的运动速度突然减小B.小球的角速度突然减小C.小球的向心加速度突然减小i和L,并且小球在通过p点瞬间受2D.悬线的拉力突然减小解析：在通过位置 P前后瞬间，小球作圆周运动的半径分别为到的重力和拉力都在竖直方向上，小球的速度大小不改变。答案：B、C、D如何判断曲线运动的性质曲线运动一定是变速运动，但不一定是匀变速运动。可以根据做曲线运动物体的受力情况（或加速度 情况）进行判断。若受到恒力（其加速度不变），则为匀变速运动，若受到的不是恒力（其加速度变化），则为非匀变速运动。例如：

24、平抛运动是匀变速运动，其加速度恒为g;而匀速圆周运动是非匀变速运动，其加速度虽然大小不变，但方向是时刻变化的。【例题】关于运动的性质，下列说法中正确的是（ A ）A.曲线运动一定是变速运动B.曲线运动一定是变加速运动C.圆周运动一定是匀变速运动D.变力作用下的物体一定做曲线运动【例题】物体做曲线运动时，其加速度（）A . 一定不等于零 B. 一定不变C. 一定改变D.可能不变解析：AD 曲线运动一定是变速运动，一定有加速度，所以加速度一定不为零，A正确；曲线运动中平抛运动和类平抛运动（带电粒子在电场中的偏转）加速度是不变的，匀速圆周运动和多数的曲线运动 加速度是改变的。【例题】一质点在某段时间

25、内做曲线运动，则在这段时间内（）A.速度一定不断地改变，加速度也一定不断地改变B.速度一定不断地改变，加速度可以不变C.速度可以不变，加速度一定不断地改变D .速度可以不变，加速度也可以不变解析：B 质点做曲线运动，则速度一定发生变化，但加速度不一定变化，如平抛运动，所以，A、C、D错误，只有B项正确。<<<<<<精品资料»»»»用运动的独立性解题【例题】如图所示，斜面固定，一个劈形物体abc各面均光滑，上面成水平，水平面上放一光滑小球 m, 现使劈形物体从静止开始释放，则小球在碰到斜面前的运动轨迹是（斜面足够长）（）

26、A.沿斜面向下的直线B.竖直向下的直线C.无规则曲线D.抛物线解析：B 小球只受竖直方向的重力和支持力，即合力始终沿竖直方向，故小球只能做竖直向下的直 线运动，所以B正确.【例题】如图所示，A、B为两游泳运动员隔着水流湍急的河流站在两岸边，A在较下游的位置，且 A的游泳成绩比B好，现让两人同时下水游泳，要求两人尽快在河中相遇，试问应采用下列哪种方法才能实 现？（ A ）ABA. A、B均向对方游（即沿虚线方向）而不考虑水流作用B . B沿虚线向A游且A沿虚线偏向上游方向游C. A沿虚线向B游且B沿虚线偏向上游方向游D,都应沿虚线偏向下游方向，且 B比A更偏向下游解析：游泳运动员在河里游泳时同时

27、参与两种运动，一是被水冲向下游，二是沿自己划行方向的划 行运动。游泳的方向是人相对于水的方向。选水为参考系，A、B两运动员只有一种运动，由于两点之间直线最短，所以选 Ao【例题】如图为一空间探测器的示意图，Pi、P2、P3、P4四个喷气发动机，Pi、P3的连钱与空间一固定坐标系的x轴平行，P2、P4的连线与y轴平行，每台发动机开动时，都能向探测器提供推力，但不会使探 测器转动.开始时，探测器以恒定的速率V0向正x方向平动.要使探测器改为向正x偏负y 60。的方向以原来的速率Vo平动，则可A ,先开动Pi适当时间，再开动 P4适当时间B,先开动P3适当时间，再开动 P2适当时间C,开动P4适当时

28、间D,先开动P3适当时间，再开动 P4适当时间解析：选 A.在运动的合成、分解中，真实运动为合运动，即 向正x偏y60o的方向以原来的速率 vo平动”为合运动，x轴、y轴方向上的运动为分运动.据平行四边形定则，由右图可得，ux<vo, Vy<vo,又因为 开始时，探测器以恒定的速率 vo向正x方向平动”，所以在x轴方向上探测器做的是沿正x方向的减速运动，其加速度沿负 x方向.由牛顿第二定律，沿 x轴方向的合外力必沿负 x方向，所以Pi发动机开 动.在y抽方向上探测器做的是沿负y方向的加速运动，加速度方向沿负y方向，由牛顿第二定律，沿 y<<<<<<

29、;精品资料»»»»<<<<<<精品资料»»»»轴方向的合外力必沿负 y方向，所以P4发动机打开.本题正确答案为A【例题】一质点在 xOy平面内从。点开始运动的轨迹如图所示，则质点的速度（）A.若x方向始终匀速，则 B.若x方向始终匀速，则 C.若y方向始终匀速，则 D.若y方向始终匀速，则y方向先加速后减速 y方向先减速后加速 x方向先减速后加速 x方向先加速后减速解析：BD从轨迹图可知，若 x方向始终匀速，开始所受合力沿一 y方向，后来沿+ y方向，如图所示，可以看出应是先减速

30、后加速，故A错，B正确；若y方向匀速，则受力先沿+ x方向，后沿一x方向,如图所示，故先加速后减速，所以C错，D正确.判断两个直线运动的合运动的性质方法一：根据加速度与初速度的方向关系判断先求出合运动的初速度和加速度（可以用作图法求），再判断。可以发现，当v01 =旦1时，合运动为直线运动，否则为曲线运动。V02 a2方法二：通过两个分位移的比例关系来判断作为一般性讨论，我们可以设两个分运动的规律分别为:,1.2S1 =V10t +一a1t ,2s2 = v20t1a2t22viot 1ait2 令：k =且=2 s2V2ot -a2t22根据数学知识可以判断出，若k为一常数（即当 配=曳 或

31、v10 = v20 = 0或a1 二 a2 = 0时），则表明V20a2<<<<<<精品资料物体沿直线运动；若 k为时间t的函数（当v01#曳 时），则表明物体将做曲线运动。v02 a2如在平抛运动中，Vy0=0, ax=0, ay=g,所以k=耙，即k是时间t的函数，且随时间的延续而变大， 2vx0所以合运动的轨迹应是越来越陡的曲线。【例题】关于运动的合成，下列说法中正确的是（ C ） 220120617liuqingyuA .合运动的速度一定比每一个分运动的速度大B .两个匀速直线运动的合运动不一定是匀速直线运动C.两个匀变速直线运动的合运动不一定是匀变

32、速直线运动D .合运动的两个分运动的时间不一定相等【例题】关于互成角度的两个初速不为零的匀变速直线运动的合运动，下述说法正确的是A. 一定是直线运动B. 一定是曲线运动C.可能是直线运动，也可能是曲线运动D.以上都不对解析：两个互成角度的直线运动的合运动是直线运动还是曲线运动，决定于它们的合速度和合加速度方向是否共线（如图所示）。当a和v重合时，物体做直线运动，当a和v不重合时，物体做曲线运动,由于题设数值不确定，以上两种均有可能。答案选 C【例题】互成角度 a（口 #0,。#180）的一个匀速直线运动和一个匀变速直线运动的合运动（）A.有可能是直线运动B. 一定是曲线运动C.有可能是匀速运动

33、D. 一定是匀变速运动解析：BD 互成角度的一个匀速直线运动与一个匀变速直线运动合成后，加速度不变，是匀变速，且合速度的方向与合加速度的方向不在一条直线上，故其做曲线运动，所以选B、 Do小船过河问题轮船渡河问题:（1）处理方法：轮船渡河是典型的运动的合成与分解问题，小船在有一定流速的水中过河时，实际上参与了两个方向的分运动，即随水流的运动（水冲船的运动）和船相对水的运动（即在静水中的船的运动）， 船的实际运动是合运动。<<<<<<精品资料_dd, 1 船 sin。d ,合运动沿v的方向进行。V1 .渡河时间最少：在河宽、船速一定时，在一般情况下，渡河时间当

34、8 =90口时，即船头的指向与河岸垂直，渡河时间最小为<<<<<<精品资料2 .位移最小<<<<<<精品资料n"水cos二二u船BE结论船头偏向上游，使得合速度垂直于河岸，位移为河宽，偏离上游的角度为若v船<v水，则不论船的航向如何，总是被水冲向下游，怎样才能使漂下的距离最短呢？如图所示,设船头v船与河岸成。角。合速度v与河岸成a角。可以看出：a角越大，船漂下的距离 X越短，那么, 在什么条件下 a角最大呢？以 v水的矢尖为圆心，v船为半径画圆，当 v与圆相切时，a角最大，根据八 v船cos日=船头与河岸的

35、夹角应为v水一一v船a a arccos一 ,船沿河漂下的最短距离为: v水Xmin = （v水一v船 cOS 日），v船 sin此时渡河的最短位移:ddv水s=cos 二二【例题】河宽d=60m,水流速度v1=6m/s,小船在静水中的速度 v2=3m/s,问:(1)要使它渡河的时间最短，则小船应如何渡河？最短时间是多少？(2)要使它渡河的航程最短，则小船应如何渡河？最短的航程是多少？解析：(1)要使小船渡河时间最短，则小船船头应垂直河岸渡河，渡河的最短时间,d 60t =s -20s230(2)渡河航程最短有两种情况：船速v2大于水流速度Vi时，即v2>v1时，合速度v与河岸垂直时，最

36、短航程就是河宽；船速V2小于水流速度 M时，即V2<V1时，合速度V不可能与河岸垂直，只有当合速度 V方向越接近<<<<<<精品资料»»»»垂直河岸方向，航程越短。可由几何方法求得，即以V1的末端为圆心，以 V2的长度为半径作圆，从 V1的始端作此圆的切线，该切线方向即为最短航程的方向，如图所示。设航程最短时，船头应偏向上游河岸与河岸成。角，则. 23 1cost) = = = , H = 6016 2最短行程， s . d =60m =i20mcosu 62小船的船头与上游河岸成 600角时，渡河的最短航程为

37、120m。技巧点拔：对第一小问比较容易理解，但对第二小问却不容易理解，这里涉及到运用数学知识解决物理问题，需要大家有较好的应用能力，这也是教学大纲中要求培养的五种能力之一。【例题】在抗洪抢险中，战士驾驶摩托艇救人，假设江岸是平直的，洪水沿江向下游流去，水流速度为vi,摩托艇在静水中的航速为 V2,战士救人的地点 A离岸边最近处。的距离为d,如战士想在最短时间 内将人送上岸，则摩托艇登陆的地点离O点的距离为（C ）d i -2C.D.解析：摩托艇要想在最短时间内到达对岸，其划行方向要垂直于江岸，摩托艇实际的运动是相对于水的划行运动和随水流的运动的合运动，垂直于江岸方向的运动速度为V2,到达江岸所

38、用时间t=&；沿V2江岸方向的运动速度是水速 V1在相同的时间内，被水冲下的距离，即为登陆点距离0点距离s = v1t = 咽。V2答案：C；若此船用最短【例题】某人横渡一河流，船划行速度和水流动速度一定，此人过河最短时间为了的位移过河，则需时间为 T2,若船速大于水速，则船速与水速之比为（<<<<<<精品资料»»»»d -斛析：设船速为 v1 ,水速为v2 ,何范为d ,则由题息可知 ：T1 = 一Vi当此人用最短位移过河时，即合速度v方向应垂直于河岸，如图所示，则T2 = , d 222联立式可得:Tiv2

39、 -v2<<<<<<精品资料Viv2T22 -T124v【例题】小河宽为d,河水中各点水流速度大小与各点到较近河岸边的距离成正比，v水=kx, k=-4-x是各点到近岸的距离，小船船头垂直河岸渡河，小船划水速度为v°,则下列说法中正确的是（ A ）A、小船渡河的轨迹为曲线d ，一、一,、一 lB、小船到达离河岸d处，船渡河的速度为 J2VoC、小船渡河时的轨迹为直线D、小船到达离河岸3d / 4处，船的渡河速度为 VTOvo指物拉绳（杆）或绳（杆）拉物问题。由于高中研究的绳都是不可伸长的，杆都是不可伸长和压缩的， 即绳或杆的长度不会改变，所以解题原

40、则是：把物体的实际速度分解为垂直于绳（杆）和平行于绳（杆） 两个分量，根据沿绳（杆）方向的分速度大小相同求解。合速度方向：物体实际运动方向分速度方向：沿绳（杆）伸（缩）方向：使绳（杆）伸（缩）垂直于绳（杆）方向：使绳（杆）转动速度投影定理：不可伸长的杆或绳，若各点速度不同，各点速度沿绳方向的投影相同。这类问题也叫做：斜拉船的问题 一一有转动分速度的问题【例题】如图所示，人用绳子通过定滑轮以不变的速度v0拉水平面上的物体 A ,当绳与水平方向成 0角时，求物体A的速度。解析：解法一（分解法）:本题的关键是正确地确定物体A的两个分运动。物体 A的运动（即绳的<<<<<

41、<精品资料末端的运动）可看作两个分运动的合成：一是沿绳的方向被牵引，绳长缩短。绳长缩短的速度即等于 v1=v0；二是随着绳以定滑轮为圆心的摆动，它不改变绳长，只改变角度。的值。这样就可以将vA按图示方向进行分解。所以Vi及V2实际上就是Va的两个分速度，如图所示，由此可得Vi _ V0cos 二 cos1<<<<<<精品资料解法二（微元法）：要求船在该位置的速率即为瞬时速率，需从该时刻起取一小段时间来求它的平均速 率，当这一小段时间趋于零时，该平均速率就为所求速率。设船在。角位置经at时间向左行驶 *距离，滑轮右侧的绳长缩短 4L,如图2所示，当绳与水

42、平方向 的角度变化很小时，4ABC可近似看做是一直角三角形，因而有 L=AXCOS8 ,两边同除以 N 得:二 LLX二cos 1:t.:t即收绳速率v0 =vAcos6 ,因此船的速率为：V0Va =-cos ?总结：微元法可设想物体发生一个微小位移，分析由此而引起的牵连物体运动的位移是怎样的，得出位移分解的图示，再从中找到对应的速度分解的图示，进而求出牵连物体间速度大小的关系。解法三（能量转化法）：由题意可知：人对绳子做功等于绳子对物体所做的功。人对绳子的拉力为F,则对绳子做功的功率为 P1 =Fv0；绳子对物体的拉力，由定滑轮的特点可知，拉力大小也为 F,则绳子对物体做功的功率为P2 =

43、 FVa cos日，因为 P1 = P2所以 Va评点：在上述问题中，若不对物体A的运动认真分析，就很容易得出VA = V0 cos9的错误结果；当物体A向左移动，。将逐渐变大，Va逐渐变大，虽然人做匀速运动，但物体 A却在做变速运动。总结：解题流程：选取合适的连结点（该点必须能明显地体现出参与了某个分运动）；确定该点合速度方向（物体的实际速度为合速度）且速度方向始终不变；确定该点合速度的实际运动效果从而依据 平行四边形定则确定分速度方向；作出速度分解的示意图，寻找速度关系。【例题】如图所示，在高为H的光滑平台上有一物体.用绳子跨过定滑轮C,由地面上的人以均匀的速度Vo向右拉动，不计人的高度，

44、若人从地面上平台的边缘A处向右行走距离 s到达B处，这时物体速度多大？物体水平移动了多少距离？解析：人的实际运动为合运动，将此合运动分解在沿绳方向和垂直于绳的方向。全解设人运动到B点时，绳与地面的夹角为 。人的运动在绳的方向上的分运动的速度为：V0 cos6 o物体的运动速度与沿绳方向的运动速度相同，所以物体的运动速度为v = v0 cos ?=VoS = o,s2h2物体移动的距离等于滑轮右端绳子伸长的长度,d=%ose-h=犷帚答案：v = v0s , d=Vs2+h2h s2 h2小Z分清合运动是关键，合运动的重要特征是，合运动都是实际的运动，此题中，人向前的运动是 实际的运动，是合运动

45、；该运动分解在沿绳的方向和垂直于绳的方向，这两个运动的物理意义是明确的， 从滑轮所在的位置来看，沿绳的方向的运动是绳伸长的运动，垂直于绳的方向的运动是绳绕滑轮的转动， 人同时参与了这两个运动，其实际的运动（合运动）即是水平方向的运动【例题】如图所示，重物 M沿竖直杆下滑，并通过绳带动小车m沿斜面升高.问：当滑轮右侧的绳与竖直方向成。角，且重物下滑的速率为 v时，小车的速度为多少？解析：方法一：虚拟重物 M在A时间内从 想为两个分运动所合成，即先随绳绕滑轮的中心轴A移过Ah到达C的运动，如图（1）所示，这个运动可设O点做圆周运动到 B,位移为 A$,然后将绳拉过 A2到C.1.右 A 很小趋近于

46、 0,那么 A Q0 ,则 Ai = 0,又 OA=OB, /OBA =1(180A1)t 90 .2<<<<<<精品资料»»»»亦即 A$近似_L A 2,故应有： A 2= A h cos 0' S：hcosi因为:='. cosu-1.-:t所以 v'= v cos 0方法二：重物 M的速度v的方向是合运动的速度方向，这个v产生两个效果：一是使绳的这一端绕滑轮做顺时针方向的圆周运动；二是使绳系着重物的一端沿绳拉力的方向以速率v运动，如图（2）所示，由图可知，v'= v cos 0.

47、【例题】一根绕过定滑轮的长绳吊起一重物B,如图所示，设汽车和重物的速度的大小分别为vA,vB ,A、 、a = vb B、v avbC、va <vb D、重物B的速度逐渐增大【例题】如图所示，一轻杆两端分别固定质量为 mA和mB的两个小球A和B （可视为质点）。将其放 在一个直角形光滑槽中，已知当轻杆与槽左壁成“角时，A球沿槽下滑的速度为 Va,求此时B球的速度Vb?解析：A球以Va的速度沿斜槽滑下时，可分解为：一个使杆压缩的分运动，设其速度为Vai； 一个使杆绕B点转动的分运动，设其速度为 Va2。而B球沿斜槽上滑的运动为合运动，设其速度为Vb,可分解为：一个使杆伸长的分运动，设其速度

48、为Vbi, Vbi=Vai； 一个使杆摆动的分运动设其速度为 Vb2；由图可知：VB1 =VBsin 一 二VA1 =VAcos：LJ ILJr IrVB =VA cot 二面接触物体的速度问题<<<<<<精品资料»»»»求相互接触物体的速度关联问题时，首先要明确两接触物体的速度，分析弹力的方向，然后将两物体 的速度分别沿弹力的方向和垂直于弹力的方向进行分解，令两物体沿弹力方向的速度相等即可求出。【例题】一个半径为R的半圆柱体沿水平方向向右以速度Vo匀速运动。在半圆柱体上搁置一根竖直杆，此杆只能沿竖直方向运动，如图所示

49、。当杆与半圆柱体接触点P与柱心的连线与竖直方向的夹角为也求竖直杆运动的速度。解析：设竖直杆运动的速度为Vi,方向竖直向上，由于弹力方向沿OP方向，所以V。、Vi在OP方向的投影相等，即有 V0sin8 =V1cos6 ,解得Vi=Vo。tan 0【例题】一根长为 L的杆OA,。端用钱链固定，另一端固定着一个小球 A,靠在一个质量为 M,高为 h的物块上，如图所示，若物块与地面摩擦不计， 试求当物块以速度 v向右运动时，小球A的线速度va （此 时杆与水平方向夹角为 。解析：解题方法与技巧：选取物与棒接触点B为连结点。（不直接选A点，因为A点与物块速度的v的关系不明显）。因为B点在物块上，该点运

50、动方向不变且与物块运动方向一致，故 B点的合速度（实 际速度）也就是物块速度v; B点又在棒上，参与沿棒向A点滑动的速度vi和绕。点转动的线速度 V2。因此，将这个合速度沿棒及垂直于棒的两个方向分解，由速度矢量分解图得：v2=vsin &设此时OB长度为a,则a=h/sin 0。令棒绕O点转动角速度为 以则： 2 w=v2/a=vsin 孙。故 A 的线速度 va= 3 L=vLsin 2 Vh。1.常规题的解法【例题】如图所示，某滑板爱好者在离地h= 1.8 m高的平台上滑行，水平离开A点后落在水平地面的B点，其水平位移 S产3 m。着地时由于存在能量损失，着地后速度变为v=4 m/

51、s,并以此为初速沿水平地面滑行S2 =8 m后停止，已知人与滑板的总质量m=60 kg。求:<<<<<<精品资料<<<<<<精品资料2(空气阻力忽略不甘，g取10m/s)(1)人与滑板离开平台时的水平初速度。(2)人与滑板在水平地面滑行时受到的平均阻力大小。解析：(1)人和滑板一起在空中做平抛运动，设初速为Vo,飞行时间为t,根据平抛运动规律有t=J2h , Vo=S- g t解得 v0 = 一 = m/s = 5m/s 2h 2 1.8,g , 1012(2)设滑板在水平地面滑行时受到的平均阻力为f,根据动能定理有 -f

52、S2=0mv22mv 60 4 、斛得fN = 60N2S22 8本题主要考查的知识点是动能定理和平抛运动的规律。滑行者共参与了两个运动：在A-B段做的是平抛运动；在B-C段做的是匀减速运动.由动能定理可求出平均阻力，而根据平抛运动的规律可求出人离 开平台时的速度【例题】如图所示，墙壁上落有两只飞镖，它们是从同一位置水平射出的，飞镖A与竖直墙壁成 530角，飞镖B与竖直墙壁成370角，两者相距为d,假设飞镖的运动是平抛运动，求射出点离墙壁的水平距离？(sin370=0.6, cos370= 0.8)解析：设射出点离墙壁的水平距离为(根据反向沿长线是中点)s% 二h22tan532tan37s,

53、 A下降的高度 , B下降的高度h2,根据平抛运动规律可知:,妥 24d答案：s =7知识链接：本题的关键是理解箭头指向的含义 体的位移方向。理解两个重要的推论：箭头指向代表这一时刻速度的方向，而不是平抛物<<<<<<精品资料<<<<<<精品资料»»»»推论1:做平抛(或类平抛)运动的物体在任一时刻任一位置处，设其末速度方向与水平方向的夹角为仇位移与水平方向的夹角为%则tan 0 =2tan a推论2：做平抛(或类平抛)运动的物体任意时刻的瞬时速度的反向延长线一定通过此时水平位移的中

54、点。【例题】如图所示，排球场总长为18m,设球网高度为2m,运动员站在网前 3m处正对球网跳起将球水平击出。(1)若击球高度为2.5m,为使球既不触网又不出界，求水平击球的速度范围；(2)当击球点的高度为何值时，无论水平击球的速度多大，球不是触网就是越界?解析：(1)排球被水平击出后，做平抛运动若正好压在底线上，则球在空中的飞行时间：t12x2.51 s= 2由此得排球越界的临界速度v1 =m/s =1242m/s。t11/ ， 2若球恰好触网，则球在网上方运动的时间t22(h0 -H)2 (2.5-2)10s = -s= s。.10由此得排球触网的临界击球速度值s2v2 W31/ . 10m

55、/s =3v'10m / s。使排球既不触网又不越界，水平击球速度v 的取值范围为：3v10m/s <v E12J2m/s。(2)设击球点的高度为 h,当h较小时，击球速度过大会出界，击球速度过小又会触网，临界情况是球 刚好擦网而过，落地时又恰好压在底线上，如图所示，则有 ：二X2gX2 21 -()Xi7)232m =m。15即击球高度不超过此值时，球不是出界就是触网【例题】抛体运动在各类体育运动项目中很常见，如乒乓球运动。现讨论乒乓球发球问题，设球台长 2L、网高h,乒乓球反弹前后水平分速度不变，竖直分速度大小不变、方向相反，且不考虑乒乓球的旋转 和空气阻力。(设重力加速度为 g)(1)若球在球台边缘 。点正上方高度为hi处以速度vi水平发出，落在球台的 Pi点(如图实线所示)， 求P1点距O点的距离x1。2LH(2)若球在。点正上方以速度 V2水平发出，恰好在最