高中数学技巧--妙--构造对偶式的八种途径

1、v1.0可编辑可修改构造对偶式的八种途径在数学解题过程中，合理地构造形式相似，具有某种对称关系的一对对偶关系式，并通过对这对对偶关系式进行适当的和，差，积等运算，往往能使问题得到巧妙的解决，收到事半功倍的效果。下面通过实例来谈谈构造对偶式的八种途径。一.和差对偶对于表达式u(x) v(x),我们可构造表达式 u(x)v(x)作为它的对偶关系式。,且 3sin 4cos 5,求 tan 的值。2解析：构造对偶式：3sin 4cos y r 3sin 4cos3sin 4cosy，得sincos再由 sin2cos21,得：y 7, tan点评：这种构造对偶式的方法灵巧，富有创意，有助于培养学生的

2、创新思维和创造能力。例2 已知：a, b, c, dR,且 a2 b2c2d21,求证：(ab)4 (ac)4 (a d)4(bc)4(bd)4 (c d)4 6。解：设M (a b)4 (a c)4 (a d)4 (b c)4 (b d)4 (c d)4,构造对偶式N (a b)4 (a c)4 (a d)4 (b c)4 (b d)4 (c d)4则有：M N6(a4b4c4d4 2a2b22a2c22a2d2 2b2c22b2d2 2c2d2)6(a2b2c2d2)2 6又N 0 ,故M 6 ,即原不等式成立。点评：这个对偶式构造得好！它的到来一下子使问题冰消融了。解法自然，朴素，过程简

3、洁,运算轻松!例 3 解方程：，x2 8x 21x2 8x 21 1011v1.0可编辑可修改123解：构造对偶式:一 x2 8x21 x28x 21 a,再由原方程联立可解得:.x2 8x 21x2 8x 2110 a10 a,(2)那么(1)2(2)2 得：2x2421 2(1002a2),(1)2(2)2 得：16x8x代入(3 )中得:一 一 9 2整理得：x 252164 22x2 42 -(100 一x2), 2254,解得：x 10 o3二.互倒对偶互倒对偶是指针对式子的结构，通过对式中的某些元素取倒数来构造对偶式的方法。例4若 x,y,z (0,1),求证:1 3。1 z x解

4、：设M构造对偶式:3,故M(1y)(1z)(1x),则一 (1 y3,即y)(1z)；(1 z x)3。例5设a1，a2, a3,|“，an为互不相等的正整数,求证:aia222A" 3an d 11 -n2231113解：设M =a222I HIan2 n,构造对偶式:a222HIa2111an31113v1.0可编辑可修改3iii又ai,a2,a3,|,an为互不相等的正整数，所以NIlli点评：解题时巧妙构思，对其构造了 “意料之中”的对偶式，化新为旧，等价转化，完成对 难点的突破，以达化解问题这目的。34例6已知对任意x (,0)(0,)总有.1f(x) 2f(一) x x0

5、,求函数y f(x)的解析解析：因f(x) 2f (1)x 0x 111用1替代上式中的x,构造对偶式：f(-) 2f (x) - 0xxx由X 2 得：f (x) x 4f d) 2 0 x x故 f (x)x2 2x3x三.共辗对偶共轲对偶是反映利用共轲根式或共轲复数来构造对偶式的方法。例7已知z c ,解方程：z z 3iz 1 3i。解析：由z z 3iz 1 3i构造对偶式：z z 3iz 1 3i由一得z z 2,代入得(z 1)(z 1 3i) 0,故 z 1 或 z 1 3i。z 1例8若z c,已知z 1且z 1,证明：为纯虚数。z 1一 7 1 一. 7 17 17 1解：

6、设乂=则M(二) 七一构造对偶式：N= z 1z 1 z 1z 1则M + N= - + :?- = 0 (因为 z z z 1)z 1 z 1z 1，又 0 (因为z 1)z 1v1.0可编辑可修改z 1 一，为纯虚数。z 1例9 已知：a 0,b 0,且 a b 1,求证：J20l J2bF 2四。证明：设m= J2a。J2T7,构造对偶式：n= J2aJ2BF222 M M N 4(a b) 4 8M 2 J2 ,即原不等式成立。四.倒序对偶倒序对偶是指针对式子的结构，通过和式或积式进行倒序构造对偶式的方法。例10求和：S 1C： 2cl2 3c3 4c4 m nC：解析：观察和式联想到

7、 Ck c；k,0 k n,n N ,故首先在和式右边添上一项0C0,则 S 0 C0 1C1 2c2 III nCl构造对偶式：S nC： (n 1)Cn (n 2)C2Ml 0C：即亦为： S 0 C0 1C； 2cl2 "I nCnn由+得：nC： nC1 "I nC： 1 nC：2S nC： nC1 | nC：1 nC； n(C0 U C；1 C：) 2S n 2nS n 2n点评：利用现成的对偶式，使问题本身变得简单，便易，如此处理，可谓“胜似闲庭信步”，岂不妙哉！例1 1正项等比数列an中，Ta1a2a3口an,Sa1a2a3an试用s,t表示 Q 1。a a2

8、 川 an解析：传统解法都用 a1，q表示s, T及Q,然后通过 a1和q找到s, T, Q的等量关系，这种解法虽思路正确，但运算繁琐，加之在用等比数列求和公式时还要讨论q 1和q 1两种情形，如 44v1.0可编辑可修改此解题会陷入漫漫无期的运算之中，很少有人能够到达终点。其实，观察和式子与积式特征不妨 采取“本末倒置”构造倒序对偶序式一试。由题意知：T a1a2 a3111an构造倒序对偶式:an an 1 an 2 W ai由X得：T2 (a1 an)(a2 an 1)n(an aj (ai an)2,即 T (a an尸再来看：Q 1ai a2 川 an55构造倒序对偶式：Q 1an

9、an 1ai即+得：1an 2III(i即2Qa ana2an 2a ana2 an 2IIIan a1an 4由等比数列性质可知，右边的分母均为a1 an,故2Q(a an) (a?an 1)(ana)a1 an2s即 2Q 二S , . QamSaianTn2五.定值对偶定值对偶是指能利用和，差，积，商等运算产生定值，并借此构造出对偶式的方法。x2例12已知函数 f (X) -o1 X111f(4)f(3)也) f(1) f(2)f(3)f(4),则5= v1.0可编辑可修改67解析：f(x) f(l) - x 12x2 x(1)2x1(-)2x发现定值：f(x)1那么S f(-)4f(-

10、)x1f(-) f3f(2)f(3)f(4)构造对偶式：Sf(4) f(3)f(2)f(1)吗)11f(3) f(4)由+得:_ 1.12s f(/ f f(3)f(3)1 f(2)f(2)2f(1),1,1,1f(2) f(2) f f(3) f f(4)六.奇偶数对偶奇偶数对偶指利用整数的分类中奇数与偶数的对称性构造对偶式的方法。例1 3求证:2n 12n解：设M4 6 |,llh2n 1|-2,构造对偶式：N2n 12nIII2no2n 1因此M从而M 2 M2n2n 1,2n 1例 14求证：(1 1)(1 1X"。)3 3n 13n 2证明：待证不等式的左边为：(111)(

11、1 对 k13n 25 in 贮。4 3n 2III3n 1构造两个对偶式:3n32712 3'4 5 625 in,明占P3n3n 1433n6iii13n3n3nv1.0可编辑可修改78M3(13nIII3H)(2%(4 73n 1)3n 13 6 3n M33n 1故原不等式成立。点评：灵活地选取解题方法，对其构造了 “意想不到”的对偶式，从而完成了解答，充分体现了解题技巧。七.轮换对偶轮换对偶是指针对式子的结构,通过轮换字母而构造对偶式的方法。例1 5求证：对任意实数2 b2-b 8不等式成立。 1 a 1证明:b2b2构造对偶式N b 1(a b)(a b)2(b 1)(a1

12、)(b1)(a1)4 2 2 8,8,即M8。当且仅当2时等号成立。例 1 6设 a,b,cb2证明:b2构造对偶式:b2 M2,2abb2 b0,b2b c八.互余对偶v1.0可编辑可修改三角中的正弦与余弦是两个对称元素，利用互余函数构造对偶式，借用配对思想可以轻 松完成有关三角题的解答。例 1 7 已知 x 0,解方程：cos2x cos2 2x cos2 3x 1 222 _2_ -2_2_2_斛析：右令 M cos x cos 2x cos 3x,构造对偶式：N sin x sin 2x sin 3x则：M N 32M N cos2x cos4x cos6x 2cosxcos3x 2c

13、os 3x 12cos3x(cosx cos3x) 1 4cosxcos2xcos3x 1 M N 4cos x cos2x cos3x 11由十得：cosxcos2xcos3x (2M2),又 M 14cosx cos2x cos3x 0cosx 0 或 cos2x0或 cos3x 0,x 0,-288x 一或 x 或 x。642点评：通过构造对偶式，创设了 cosxcos2xcos3x 0这一美妙而又能打开书局面的有利条 件，可谓“高招” ！例 1 8求 sin210， cos2 40. sin10 . cos40,.的值。解析：令 M sin210 * cos2 401sin10' cos40;,构造对偶式： N cos210sin2 40* cos10'*' sin 40-,则M N 2 sin10vcos40cos10、sin40， 2 sin50M N cos20 - cos80H sin10，cos40， cos10 sin40:1 2sin 50 sin 301 sin30sin