高中数学必修二培优精品讲义

1、学科教师辅导讲义28学员编号:学员姓名:辅导科目：数学学科教师:授课主题第01讲-三视图和直观图授课类型T同步课堂P实战演练S归纳总结课时数：3认识简单组合体的结构特征，并能运用这些特征描述现实生活中的简单物体结构;教学目标能画出简单的空间图形的三视图，能识别三视图说表示的立体模型;能通过三视图求出空间几何体的体积和表面积。授课日期及时段T (Textbook-Based )同步 堂体系搭建（一）几何体的结构特征及分类名称定义图形特征分类棱 柱一个多边形的点沿相同_方向移动相等距离形成的多面体。L1/1）侧棱平行且相等；2）底面平行且全等；3）不相邻侧棱截面是 平行四边形。1）直棱柱和斜棱柱；

2、2）正棱柱和非正棱苴；3）三棱柱、四棱柱等。棱 锥一个面是多边形.其余各回个公共点的三 = 角形的多面体。A棱锥被平行于底面的平 面所截，截面与底面相 似，面积比等于高平方 之比。1）三棱锥、四棱锥等；2）正棱锥和非正棱锥；棱台干口于底向的平面截去棱锥的多面体。L1）两个面相互平行的多边形；2）其余各面是桢心且相邻梯形的腰线共1）三棱台、四棱台等；2）正棱台和非正棱台。多面体与多面体的组合体:由两个或两个以上的多面体组成的几何体称为多面体与多面体的组合体.如下图一个三棱柱的组合体；如图（2）是一个四棱柱与一个四棱锥的组合体；如图（ 棱台的组合体.1）是一个四棱柱与3）是一个三棱柱与一个三多面体

3、与旋转体的组合体由一个多面体与一个旋转体组合而成的几何体称为多面体与旋转体的组合体如图 一个圆柱组合而成的；如图（2）是一个圆锥与一个四棱柱组合而成的；而图（ 组合而成的.1）是一个三棱柱与3）是一个球与一个三棱锥旋转体与旋转体的组合体由两个或两个以上的旋转体组合而成的几何体称为旋转体与旋转体的组合体.如图（ 1）是由一个球体 和一个圆柱体组合而成的；如图（ 2）是由一个圆台和两个圆柱组合而成的；如图（ 3）是由一个圆台、一 个圆柱和一个圆锥组合而成的.(三)三视图三视图的概念： 把一个空间几何体投影到一个平面上，可以获得一个平面图形，但是只有一个平面图形很 难把握几何体的全貌，因此我们需要从

4、多个角度进行投影，这样才能较好地把握几何体的形状和大小.通常，我们总是选择三种投影.(1)光线从几何体的前面向后面正投影，得到的投影图叫做几何体的正视图；(2)光线从几何体的左面向右面正投影，得到的投影图叫做几何体的侧视图；(3)光线从几何体的上面向下面正投影，得到的投影图叫做几何体的俯视图.几何体的正视图、侧视图和俯视图统称为几何体的三视图.三视图的画法规则： 画三视图时，以正视图为准，俯视图在正视图的正下方，侧视图在正视图的正右方，正、俯、侧三个视图之间必须互相对齐，不能错位.正视图反映物体的长度和高度，俯视图反映物体的长度和宽度，侧视图反映物体的宽度和高度，由此，每两个视图之间有一定的对

5、应关系，根据这种对应关系得到三视图的画法规则：(1)正、俯视图都反映物体的长度一一“长对正”；(2)正、侧视图都反映物体的高度“高平齐”；(3)俯、侧视图都反映物体的宽度一一“宽相等”(四)斜二测画法在立体几何中，空间几何体的直观图通常是在平行投影下画出的空间图形.要画空间几何体的直观图， 首先要学会水平放置的平面图形的直观图画法.对于平面多边形，我们常用斜二测画法画它们的直观图，斜二测画法是一种特殊的平行投影画法.斜二测画法的步骤：(1)在已知图形中取互相垂直的x轴和y轴，两轴相交于点 O.画直观图时，把它们画成对应的xz轴与y/轴，两轴交于点 O,且使/ xz O y/ =45°

6、 (或135° ),它们确定的平面表示水平面.(2)已知图形中，平行于 x轴、y轴的线段，在直观图中分别画成平行于X，轴、y/轴的线段，并使它们和所画坐标轴的位置关系与已知图形中相应线段和原坐标轴的位置关系相同.(3)已知图形中，平行于 x轴或z轴的线段，在直观图中保持长度不变，平行于y轴的线段，长度变为原来的一半.画图完成后，擦去作为辅助线的坐标轴，就得到了平面图形的直观图.线表示看不见的部分.画完直观图后还应注意检验.典例分析考点一：简单几何体的结构特征 例1、判断下列说法是否正确.(1)棱柱的各个侧面都是平行四边形；(2) 一个n ( n> 3)棱柱共有2n个顶点；(3)

7、棱柱的两个底面是全等的多边形；(4)如果棱柱有一个侧面是矩形，则其余各侧面也都是矩形.例2、有下面五个命题：(1)侧面都是全等的等腰三角形的棱锥是正棱锥；(2)侧棱都相等的棱锥是正棱锥；(3)底面是正方形的棱锥是正四棱锥；(4)正四面体就是正四棱锥；(5)顶点在底面上的射影既是底面多边形的内心，又是底面多边形的外心的棱锥必是正棱锥.其中正确命题的个数是().A.1个B.2个 C .3个D.4个例3、如果一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体一定是棱锥.这种说法是否正确？如果正确说明 理由；如果不正确，举出反例.例4、判断下图所示的几何体是不是台体？为什么?考点二：几何体中的基本计算例1、一

8、个圆台的母线长为 12 cm,两底面面积分别为 4兀52和25兀石.求(1)圆台的高；(2)截得此圆台的圆锥的母线长.考点三：简单几何体的组合体 例1、(1) 一个正方体内接于一个球，过球心作一截面，如下图所示，则截面可能的图形是(A .B.C .D.(2)如右图所示，在棱长为 1的正方体内有两个球相外切且又分别与正方体内切，求两球半径之和.考点四：简单几何体的表面展开与折叠问题例1、长方体ABCD-ABCD (如图)中，AB=3, BC=4, AA=5,现有一甲壳虫从 A出发沿长方体表面爬行到C.来获取食物，试画出它的最短爬行路线，并求其路程的最小值.例2、根据下图所给的平面图形，画出立体图

9、形.D1(2)9A(a G&1白考点五：空间几何体的三视图例1、如下图（1）所示的是一个奖杯的三视图，画出它的立体图形.ID tOrOiIDOio 1O例2、将一个长方体沿相邻三个面的对角线截去一个棱锥，得到的几何体的正视图与俯视图如图所示,几何体的侧（左）视图为（)正视图俯视图例3、某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为（26TRPractice-Oriented)实战演练实战演练课堂狙击1、下列命题中正确的是（）A.正方形的直观图是正方形B.平行四边形的直观图是平行四边形C.有两个面平行，其余各面都是平行四边行的几何体叫棱柱D.用一个平面去截棱锥，底面与截面之间的部分组成的

10、几何体叫棱台2、若一个圆锥侧面展开图是面积为2兀的半圆面，则该圆锥底面的面积为（）俯视图4、已知一个几何体的三视图如图所示，则此几何体的组成为（）A .上面.为棱台，下面为棱柱B上面为圆台，下面为棱柱C.上面为圆台，下面为圆柱D.上面为棱台，下面为圆柱正视图 侧视图俯视图6、若某几何体的三视图（单位:A. 10cm3Bcm）如图所示，则该几何体的体积等于（20cm3C. 30cm33D. 40cmi恻视图5、三棱锥S- ABC及其三视图中的正视图和侧视图如图所示，则棱 SB的长为（）2的正方形，如7、一水平放置的平面图形，用斜二测画法画出了它的直观图，此直观图恰好是一个边长为图则原平面图形的面

11、积为（课后反击1、以下四个命题中，正确的有（） 两个底面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台； 有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫做棱柱；在圆台上、下两底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆台的母线;一个棱锥的各条棱长都相等，那么这个棱锥一定不是六棱锥.D.A. B .C.2、下列关于棱锥、棱台的说法，其中不正确的是（）A.棱台的侧面一定不会是平行四边形B.棱锥的侧面只能是三角形C.由四个面围成的封闭图形只能是三棱锥D.棱锥被平面截成的两部分不可能都是棱锥4、扇形的半径为A.兀3,中心角为120。，把这个扇形折成一个圆锥，则这个圆锥的体积为（272)225、某几何体的三视图

12、如图所示，且该几何体的体积是A . 2B.空23C . -D. 32金，则正视图中的 x的值是（）26、一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积是（）/ XNA.工B1/ jM D 2A正视图侧I视图口俯视图战术指导：，1、棱柱概念的理解对于棱柱，有两个面平行，其余各面是平行四边形的几何体不一定是棱柱，其余各面必须是平行四边 形，且每相邻两个四边形的公共边必须互相平行的几何体才是棱柱，侧棱垂直于底面的棱柱是直棱柱，底 面是正多边形的直棱柱是正棱柱，正棱柱首先是直棱柱；2、正棱锥概念的理解顶点在底面的射影是底面正多边形的中心，侧棱与底面所成的角都相等，侧面与底面所成的二面角都 相等；3、三

13、角形的直观图的面积与原平面图形的面积比是多少？对于一边上的高为 h的三角形，其直观图的高 hK= ho224故三角形的直观图的面积与原三角形的面积之比是J2：4。本节所蕴含的数学方法主要是将要解决的问题化归为概念的理解上，将空间几何体问题转化为平面几何问题，立体几何离不开画图，借助几何体的直观图和三视图渗透数形结合的数学思想方法。直击高考r）组成一个几何体，该几何体三视图中1、【2015全国卷I】圆柱被一个平面截去一部分后与半球（半径为的正视图和俯视图如图所示.若该几何体的表面积为16+20兀，则r=（）A. 1B. 2C. 4D. 8恬视图2、【2014全国卷I】如图，网格纸的各小格都是正方

14、形，粗实线画出的是一个几何体的三视图，则这个几何体是（）A .三棱锥B.三棱柱C.四棱锥D.四棱柱D. 8+16 兀3、【2013全国卷I】某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A . 16+8 兀B. 8+8 兀C. 16+16 兀4、【2013广东】某四棱台的三视图如图所示,则该四棱台的体积是（A. 4B.14T16TD. 6俯视图不I+不1 土5、【2016全国卷I】如图某几何体的视图是个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径.若该几何体的体积是空L, 3则它的表面积是（A.18兀C. 20 TtD. 28 兀S(Summary-Embedded)归纳总结重点回顾考点一：简单

15、几何体的结构特征考点二：几何体中的基本计算考点三：简单几何体的组合体考点四：简单几何体的表面展开与折叠问题考点五：空间几何体的三视图考点六：空间几何体的直观图名师点拨 k1、棱锥的侧面三角形有一个公共顶点；三棱锥又叫四面体，其各个面都是三角形，都可以作为棱锥的 底面；用平行于底面的平面丢截棱锥，截面与底面之间的部分叫做棱台.正棱锥顶点在底面的射影是底面正多边形的中心，侧棱与底面所成的角都相等，侧面与底面所成的二面角都相等；2、对于棱柱，有两个面平行，其余各面是平行四边形的几何体不一定是棱柱，其余各面必须是平行四 边形，且每相邻两个四边形的公共边必须互相平行的几何体才是棱柱，侧棱垂直于底面的棱柱

16、是直棱柱， 底面是正多边形的直棱柱是正棱柱，正棱柱首先是直棱柱；3、以直角三角形的一条直角边所在直线为轴旋转所得的旋转体才是圆锥；圆台可以是直角梯形以垂直 于底边的一腰所在直线为轴旋转而得；用平行于底面的平面去截圆锥才可得到一个圆锥和一个圆台。学霸经验 ka本节课我学到了我需要努力的地方是学科教师辅导讲义学员编号：年 级：高一课时数：3学员姓名：辅导科目：数学学科教师：授课主题第02讲一柱体、椎体、台体、球的表面积和体积授课类型T同步课堂P实战演练S归纳总结教学目标能够熟练运用柱体、锥体、台体、球体的表面积和体积公式计算一些组合体的表面积和体积；用联系、类比的方法解决一些有关空间几体的实际问题

17、。授课日期及时段T (Textbook-Based)同步 堂体系搭建|限（一）柱体、锥体、台体的表面积A多面体的表面积1、多面体的表面积求法：求平面展开图的面积注：把多面体的各个面平铺在平面上，所得图形称之为多面体的平面积展开图（1）侧面积2、直棱柱的侧面积与全面积求法：侧面展开（如图）公式：S=cl （其中c为底面周长，l为侧棱长）；（2）表面积：侧面积十两底面积 （3）推论:正棱柱的侧面积:S=cl （其中c为底面周长，l为侧棱长）.长方体的表面积:S =2（ab+bc+ca）.（其中a,b,c分别为长方体的长宽高）正方体的表面积:S =6a2 （ a为正方体的棱长）3、斜棱柱侧面积与全面

18、积(1)侧面积：求法：作出直截面(如图)；注：这种处理方法蕴含着割补思想.公式：S=cl (其中c为直截面周长，l为侧棱长)；(2)表面积：侧面积十两底面积 .4、正棱锥的侧面积与全面积(1)侧面积求法：侧面展开(如图)；1公式：S=2ch(其中c为底面周长，h'为斜高)；(2)表面积：侧面积十底面积 .5、正棱台的侧面积与全面积(1)侧面积求法：侧面展开(如图)；1公式：s=2(c+c)h (其中c、c为底面周长，h为斜局)；(2)表面积：侧面积十两底面积 .6、正棱柱、正棱锥、正棱台的侧面积公式间的内在联系：求法：侧面展开(如图)；公式：S=2nrl (r为两底半径，l为母线长)；

19、(2)表面积：S =2二r(r l).2、圆锥的侧面积与表面积(1)侧面积求法：侧面展开(如图)；公式：S =nrl ;(2)表面积：S =nr(r +l) ( r为两底半径，l为母线长)事实上：圆锥侧面展开图为扇形，扇形弧长为27f ,半径为圆锥母线i ,故面积为i父2死xi=m .3、圆台的侧面积与表面积(1)侧面积求法：侧面展开(如图)；公式：S=n(r+R)l；事实上：圆台侧面展开图为扇环，扇环的弧长分别为2用、27TR,半径分别为x、x中，故圆台侧面积为1_1_S =1X2 j!RX(x 书)_1 X2霓乂xR _r)x+jRl ,x =!s(R r)xT , S zzjl(r &q

20、uot;tRy .r R'(2)表面积：nr2 +nR2 +n:(r +R)l . ( r、R分别为上、下底面半径，l为母线长)4、圆柱、圆锥、圆台的侧面积公式间的内在联系：圆台侧面积公式：sw4R)lR=rr =0r11圆柱侧面积公式：SgnlT圆锥侧面积公式：sTRlgcl(二)柱体、锥体、台体的体积A、棱柱、棱锥、棱台的体积1、棱柱体积公式：V =Sh (h为高，S为底面面积)；12、梭锥体积公式： V =1Sh ( h为局，S为底面面积)；33、棱台体积公式：V-3（S+Sg）h （h为高，S、S2分别为两底面面积）事实上：设小棱锥高为x ,则大棱锥高为xp .于日.1_,_

21、1 _1 _ .1一一.ae£ V 0(x h) 一 Gx 5h , (S2 _S| )x .33 飞 34、B、1、x _ S _x _x -h - S2 -h棱柱、圆柱、Si1111：!；'( 七. )( S；- S1)xS2h 3( S2 S1) 时 =3(S1%S£ S2)h.x棱锥、圆锥、圆柱的体积:棱台体积公式间的内在联系:圆台的体积V =nr2h （h为高，r为底面半径）2、圆锥的体积:1 2 ， 、，、 .、V =-nR h （h为局，R为底面半径）33、圆台的体积:1V =_皿2 +rR+R2）h（ r、R分别为上、下底半径，h为局）3事实上：设小

22、圆锥高为x,则大圆锥高为x4h （如图）.是 V;R2(x h)r2h = ;(R r)(R -r)x 1 R2h .3333x =Lx%(R)x Z±h , VmR 七)rh 4 市力mr2 +R +R2)hx,hRhR333,4、圆柱、圆锥、圆台体积公式间的内在联系:（三）球的体积与表面积1、球的体积：V =4nR3.32、球的表面积：S=4nR2.3、球面距离：在球面上，两点之间的最短连线的长度，就是经过这两点的大圆在这两点间的一段劣弧的长 度。我们把这个弧长叫做两点的球面距离.（四）祖咂原理：骞势既同，则积不容异 这就是说，夹在两个平行平面间的两个几何体，被平行于这两个平面的

23、任意平面所截，如果截得的两个截 面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等.应用祖附I原理可说明：等底面积、等高的两个柱体或锥 体的体积相等.典例分析考点一：几何体的表面积和侧面积例1、某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的表面积是（）B . 30 + 6#C . 56+1275A. 28+ 6 5A. 3 B侧视图例2、已知四棱锥P-ABCD勺三视图如图所示，则四棱锥P ABCM四个侧面中面积最大的是 （）考点二：几何体的体积例1、若某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则此几何体的体积等于cm3.2俯视图例2、某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为僻挑用1GH 正主）视图560A.

24、3580B. 3考点三：球的组合体及球的性质例1、已知H是王O的直径AB上一点,AH： HB= 1 ： 2ABL平面a , H为垂足，a截千O。所得截面的面积为兀,则球。的表面积为例2、已知两个圆锥有公共底面，且两圆锥的顶点和底面的圆周都在同一个球面上.若圆锥底面面积是这一3个球面面积的布，则这两个圆锥中，体积较小者的高与体积较大者的高的比值为考点四：空间几何体体积求法例析A公式法例1、四棱锥P -ABCD的顶点P在底面中的射影恰好是 A ,其三视图如图，则四棱锥P_ABCD的体积B、分割法例1、如图，在多面体 ABCDEF中，已知面ABCD是边长为3的正方形,一 3 ，一EF/AB, EF

25、=' , EF 与 AC 面的距离为2,则该多面体的体积为例1、已知PA、PB、PC两两互相垂直,且 PAB、APAC> 4PBC 的面积分别为 1.5 cm2, 2 cm2 , 6cm2 ,则过P、A、B、C四点的外接球的体积为D特殊化法例1、如图，直三棱柱 ABC -A1B1C1体积为V ,点P、Q分别在侧D1QB棱AA、DD1上，AP=DQ,则四棱锥 BAPQD的体积为E、等体积转化（变换角度）例1、如图，在长方体 ABCDABGD中，如果分别过BC、AD的2个平行平面将长方体分成体积相等 的3部分，那么C1N=.ND1 一P(Practice-Oriented)实战演练实

26、战演练课堂狙击1、已知某球的体积大小等于其表面积大小，则此球的半径是（）A.第B . 3C.4D.52、一几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A. 200+ 9 兀僻槐相B . 200+18 兀 C140 + 9 兀D. 140+ 18 兀3、已知直三棱柱 ABC- A1B1G的6个顶点都在球O的球面上.若 AB= 3, AC= 4, AB±AC, AA= 12,则球 O的半径为（ ）1J2 .10C.1323, 104、正三棱锥底面三角形的边长为0,侧棱长为2,则其体积为（1 A.4B.C.D.5、将长为a,宽为b（a>b）的长方形以a为轴旋转一周,所得柱体的体积为

27、V,以b为轴旋转一周，所得柱体的体积为V2,则有（）A. Vi>V2B . Vi<V2D. V1与V2的大小关系不确定6、一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为7、某几何体的三视图如图所示，则其表面积为 在视图傲视图8、如图，在三棱柱 AiBiC ABC中，D, E, F分别是AB, AC, AA的中点.设三棱锥 F ADE的体积为V,三棱柱 AiBiG ABC的体积为V2,则Vi ： V2=9、已知正四棱锥 P ABCD勺底面边长为 6,侧棱长为 5,求四棱锥 P ABCD勺体积和侧面积.10、在球面上有四个点 P、A B C,如果PA PB PC两两垂直且 PA= PB

28、= PC= a,求这个球的体积.课后反击1、将一个棱长为a的正方体，切成27个全等的小正方体，则表面积增加了（）A. 6a2B . 12a2C. 18a2D. 24a22、正方体的八个顶点中有四个恰为正四面体的顶点,A2B.3C.则正方体的全面积与正四面体的全面积之比为（）乎D.平3、正四棱柱的体对角线长为6,侧面对角线长为3小,则它的侧面积是4、平面a截千O O的球面所得圆的半径为A.、/6tiB. 4、/3兀1,球心O到平面a的距离为亚，则此球的体积为（）C. 4、/6兀D .胞兀5、正过球面上三点A B、C的截面到球心的距离是球半径R的一半，且AB= 6, BC=8AC= 10,则球的3

29、30表面积是（）A. 100 兀B300兀C.100兀D.4003兀6、某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥的表面积是（）89正（主）视图侧（左）视图16+32 攵A. 32 B . 16+16山C . 48D1的小圆锥后得到的圆台是原来圆锥的体7、一圆锥的底面半径为4,用平行于底面的截面截去底面半径为积的（）63A.64B.1116C.4D.1648、体积为8的一个正方体，其全面积与球。的表面积相等，则球。的体积等于9、如图所示，在长方体 ABCD- A B' C D'中，截下一个棱锥C A DD ,求棱锥 C A DD的体积与剩余部分的体积之比.10、如图所示，在边长为 5+

30、2啦的正方形ABCD43,以A为圆心画一个扇形，以。为圆心画一个圆，M MK为切点，以扇形为圆锥的侧面，以圆O为圆锥底面，围成一个圆锥，求圆锥的全面积与体积.战术指导,1 . 一种数学思想计算旋转体的侧面积时，一般采用转化的方法来进行，即将侧面展开化为平面图形，“化曲为直”来解决，因此要熟悉常见旋转体的侧面展开图的形状及平面图形面积的求法.2 .两种位置：球的组合体的内切与外接如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体 的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径.球与旋转体的组合，通常作它们的轴截面进行解 题.3 .三种方法一一求空间几何

31、体体积的常用方法(1)公式法：直接根据相关的体积公式计算.(2)等积法：根据体积计算公式，通过转换空间几何体的底面和高使得体积计算更容易，或是求出一些体积比等.(3)割补法：把不能直接计算体积的空间几何体进行适当的分割或补形，转化为可计算体积的几何体.直击高考)A. 17 %B.C. 20 %D. 28兀1、【2016注国I卷？！】如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径.该几何体的体积是2",则它的表面积是(32、12015沦国I卷 例】圆柱被一个平面截去一部分后与半球（半径为r）组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示.若该几何体的表面

32、积为16+20%,贝U r=()A. 1B.D. 8”今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺.问：积及为米几何?其意思为：”在屋内墙角处堆放米（如图，米堆为3、12015泠国I卷？九章算术是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题:个圆锥的四分之一），米堆底部的弧长为 8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少?知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为 3,估算出堆放的米约有（A. 14 斛C. 36 斛B. 22 斛4、12013泠国I卷 例】如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高器口，再向容器注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6cm,如不计容器的厚度,D. 6

33、6 斛8cm,将一个球放在容 则球的体积为（B.D.S(Summary-Embedded)归纳 总结重点回顾考点一：几何体的表面积和侧面积考点二：几何体的体积考点三：球的组合体及球的性质考点四：空间几何体体积求法例析A公式法B、分割法C补形法D特殊化法E、等体积转化（变换角度）名师点拨e,则 2=. i结论3:若圆台母线长为l ,上、下底面半径分别为r、R ,侧面展开图扇环圆心角为6 ,则0 = 2i 乂区.l证明：设小圆锥母线长为X ,则有 *1_2口=.二_2汗Xx r x rrl- - X -_L'人)x l R l R -r R -r几个重要结论的补充及应用 结论1 :锥体平行

34、截面性质锥体平行截面与锥体底面相似，且与底面积比等于两锥侧面积面积比，等于两锥全面积面积比，等于两锥对应线段（对应高、对应斜高、对应对角线、对应底边长）比的平方 结论2:若圆锥母线长为l ,底面半径为r ,侧面展开图扇形圆心角为. 1=2 二r =2二r(RR 之二 rtx rl学霸经验 事3本节课我学到了我需要努力的地方是学科教师辅导讲义学员编号：年 级：高一课时数：3学员姓名：辅导科目：数学学科教师：授课主题第04讲一空间点、直线、平面之间的位置关系授课类型T同步课堂P实战演练S归纳总结教学目标理解和掌握平面的性质定理，能合理运用；掌握直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系；会判断异

35、面直线、掌握异面直线的求法；会用图形语言、符号语言表示点、线、面的位置关系。授课日期及时段T (Textbook-Based)同步 堂体系搭建| d * -(一)平面平面的概念：平面是一个不加定义，只需理解的原始概念.立体几何里所说的的平面是从现实生活中常见的平面抽象出来的.常见的桌面、平静的水面等都给我们以平面的局部形象.平面是理想的、绝对的平且无大小，无厚度，不可度量.平面的表示方法(1) 一个平面：当平面是水平放置的时候，通常把平行四边形的锐角/画成45 ,横边画成邻边的2倍长，如右图.(2)两个相交平面：画两个相交平面时，通常要化出它们的交线，当一个平面的一部分被另一个平面遮住，应把被

36、遮住部分的运用集合观点准确使用图形语言、符号语言和文字语言空间图形的基本元素是点、直线、平面.从运动的观点看，点动成线，线动成面，从而可以把直线、平面看 成是点的集合，因此还可借用集合中的符号语言来表示点、线、面的基本位置关系如下表所示：图形语言何语日文子语百（读法）_aAw a点A在直线a上.A_a aA正a点A不在直线a上./- A /Aw久点A在平卸口内.A/ /A2 «点A不在平囿口内*-A-b aac b = A直线a、b交十A点./7a/a u久直线a在平面a内.a工/aca =0直线a与平面u无公共点*a、.AAyacct = A直线a与平囿支交于点a*vB7a c P

37、 = 1平囿a、P相交于直线1（二）平面的基本性质 公理1:如果一条直线的两点在一个平面内，那么这条直线上的所有点都在这个平面内，八一 A ：推理模式：$= ABun . 如图不：或者：= A = a,B = a , ABUotB ：公理1的作用：判定直线是否在平面内；判定点是否在平面内；检验面是否是平面.公理2 :如果两个平面有一个公共点，那么它们还有其他公共点，且所有这些公共点的集合是一条过这个公 共点的直线.A三.一推理模式：H Awl如图示：A -或者：.A=a,AP, .aoP=l,Al公理2的作用：判断两个平面是否相交及交线位置;判断点是否在线上 今后所说的两个平面（或两条直线），

38、如无特殊说明，均指不同的平面（直线）.公理3 :经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面，A,B,C不共线】推理模式：A, B,CWa ，=久与P重合.A,B,CwP ；或者：; A, B,C不共线，存在唯一的平面 社,使得A,B,C wa .推论1：经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面；推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面；推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面.（1）以上是确定平面的四个不同的条件，是判断两个平面重合的依据，是证明点线共面的依据， 也是作截面、辅助面的依据.（2） “有且只有一个”的含义要准确理解.这里的“有”是说图形的存在，“只有一个”是说图形唯

39、一.因此，在证明有关这类语句的命题时，要从“存在性”和“唯一性”两方面来论证.（三）空间两直线的位置关系八/位直大系共面情况公共点个数相交直线在同一半囿内有且只介-个公共点平行直线在同一半囿内没有公共点异面直线不同在任何一个平囿内没有公共点（四）平行直线公理4:平行公理：平行于同一条直线的两条直线互相平行，推理模式：a/b,b/c= ac.(1)它是判断空间两条直线平行的依据；(2)它说明平行关系具有传递性等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行，且方向相同，那么这两个角相等.(五)异面直线定义：不在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线(1)异面直线既不平行，也不相交，永远不存在一个

40、平面能同时包含这两直线；(2)不能把异面直线误认为：分别在不同平面内的两条直线为异面直线(3)异面直线一般是对两条直线而言的，没有三条异面直线的说法.异面直线的画法： 画异面直线时，为了充分显示不共面的特点，常常需要以辅助平面为衬托，以加强直观异面直线判定定理： 过平面内一点与平面外一点的直线，和这个平面内不经过该点的直线是异面直线l ,A 皂 a,推理模式：>=直线AB与直线l是异面直线B ;B ' L(六)异面直线所成的角定义：已知a, b是两条异面直线，经过空间任意一点O作直线a'a,b'/b ,我们把直线a'和b'所成的锐角(或直角)叫做异

41、面直线 a , b所成的角.(1)异面直线所成的角与 0点的位置无关.(2)如果两条异面直线所成角是直角，则说这两条异面直线互相垂直，记作a-L b.(ji "I 异面直线所成角的范围是 . 0，j 求异面直线所成角的步骤:(1)恰当选点，由平移构造出一个交角；(2)证平行关系成立；(3)把角放入三角形或其它平面图形中求出；(4)作结论：若求出的角是锐角或直角，则它就是所求异面直线所成的角；若求出的角是钝角，则它的补 角才是所求异面直线所成的角.(七)直线、平面的位置关系空间直线与平面的位置关系有以下三种：(1)直线在平面内：如果一条直线a与平面a有两个不同的公共点，那么这条直线就在

42、这个平面内，记作a? a .(2)直线与平面相交：直线 a与平面a只有一个公共点 A,叫做直线与平面相交，记作 an a = A,公共点 A叫做直线a与平面a的交点.(3)直线与平面平行：如果一条直线a与平面a没有公共点，叫做直线与平面平行，记作 all a.两个平面的位置关系有且只有一下两种：(1)两个平面平行-没有交点(2)两个平面相交-有一条公共直线空间四边形：顺次连接不共面的四点 A、R C D所构成的图形，叫做空间四边形.这四个点中的各个点叫做空间四边形的顶点；所连接的相邻顶点间的线段叫做空间四边形的边；连接不相邻的顶点的线段叫做空 间四边形的对角线.典例分析考点一：平面及其性质例1

43、、对下图的几何图形，下列表示错误的是(例2、判断下列说法是否正确，并说明理由.（1）平面的形状是平行四边形（）（3）平面ABCM面积为10m（）例3、下列说法正确的个数（）铺的很平的一张纸是一个平面；可以一个长厚一些，那么300个平面重合在一起时一定比A. 0个B. 1个例4、如右图，已知E,F,G,H分别为空间四边形（2）任何一个平面图形都可以表示平面（）（4）空间图形中，后引的辅助线是虚线（）20cm宽30cm的平面；通常 300页的书要比10页的书 10个平面重合在一起厚.C. 2个D. 3个ABCD 各边 AB, AD,BC,CD 上的点，且 EFfGH = P ,求证：B,D,P共线

44、.P例5、下列命题：公理1可用集合符号叙述为：若 AW1,BW1且AWct,BWa ,则必有l w u ；四边形的两条对角线必交于一点；用平行四边形表示的平面，以平行四边形的四边作为平面边界线；梯形是平面图形.其中正确的命题个数为（）A. 1B. 2C. 3D. 4考点二：直线及其位置关系例1、若a、b是异面直线，直线 c / a,则c与b的位置关系是（）A.相交B.异面C.平行D.异面或相交例2、在长方体 ABCD-ABGD中，E、F分别是BD和CD的中点，长方体的各棱中与EF平行的有（）A. 1条B .2条C.3条D .4条例3、空间四边形ABCD,给出下列说法：直线AB与CD异面；对角线

45、 ACW BD相交；四条边不能都相等；四条边的中点组成一个平行四边形.其中正确说法的个数是（）A. 1个B. 2个C . 3个D. 4个例4、a、b、c是空间中三条直线，下面给出几种说法：若 a / b, b / c,贝 U a / c;若a与b相交，b与c相交，则a与c也相交；若a、b分别在两个相交平面内，则这两条直线不可能平行.上述说法中正确的是 （仅填序号）.例5、已知E、F、G H为空间四边形 ABCM边AR BG CD DA上的点，若售AH=AB AD 2CF CG 1 一一则四边形EFGH状为.CB CD 3例6、如右图，已知不共面的直线 a,b,c相交于。点，M、P是直线a上两点

46、，N、Q分别是直线b、上一点.求证： MN和PQ是异面直线.例7、正四面体A-BCD的棱长为a , E、F分别为棱AD、BC的中点，求异面直线 AF和CE所成角的余弦值.例8、如右图，等腰直角三角形 ABC中，/A = 90C,BC=J2, DA_L AC,DA_L AB,若DA = 1,且E为DA的中点.求异面直线 BE与CD所成角的余弦值.P(Practice-Oriented)实战演练实战演练 七课堂狙击1、在空间内，可以确定一个平面的条件是（）A.两两相交的三条直线B.三条直线，其中的一条与另外两条直线分别相交C.三个点D .三条直线，它们两两相交，但不交于同一点E .两条直线2、分别

47、和两条异面直线都相交的两条直线的位置关系是（）D.异面或相交A.异面B.相交 C .平行3、从空间一点P分别向/BAC的两边AB,AC作垂线PE,PF ,垂足分另ij为E, F ,则/ EPF与/ BAC的关系为（）A.互补B.相等 C .互补或相等D .以上都不对4、下面6个命题：四边相等的四边形是菱形；两组对边相等的四边形是平行四边形；若四边形有一组对角相等，则该四边形是圆内接四边形；在空间，过已知直线外一点，引该直线的平行线，可能不只一条；四条直线两两平行，无三线共面，它们共可确定6个平面.其中正确命题的个数是（）A . 0B.1C.2D. 35、在正方体 ABCD AiBiCiDi中，

48、与ADi成60t的面对角线共有（）A . 4条B . 6条C. 8条D. 10 条6、正方体 ABCD/BiCD中，P、Q R分别是AR AR BC的中点，那么，正方体的过 P、Q R的截面图形 是（）.A.三角形B .四边形 C .五边形D.六边形，_ ，_,17、已知线段 AR CD分别在两条异面直线上，M N分别是线段 AR CD的中点，则 MN-（AC+BD）（填“>”，"V” 或“="）.8、正方体 ABCD和iGD中，E、F分别是AB和AA的中点.求证: （1）E、C D、F四点共面;（2）CE、DiF、DA三线共点.4 一一, I ,一19、如图，平面

49、ABE已平面 ABCD四边形 ABEF与ABCDWB是直角梯形，/ BAD= Z FAB= 90 , BC 2AD, BE1,一，刀A, G H分别为FA FD的中点.(1)求证：四边形 BCH,平行四边形；(2)C、D F、E四点是否共面？为什么?10、如图所示，正方体ABCD/B1CQ中，AiC与截面DBC交于。点，AC,BD交于M点，求证：Ci,O,M三点共线.课后反击1、若直线a、b与直线l相交且所成的角相等，则 a、b的位置关系是()A.异面B.平行 C .相交D .三种关系都有可能2、正方体ABCDA1CD中，既与AB共面也与CC共面的棱白勺条数为().A. 3 B .4C.5D.

50、63、设A、B C、D是空间四个不同的点，在下列命题中，不正确的是()A.若ACW BD共面，贝U ADW B前面B.若ACW BD是异面直线，则 AD与BC是异面直线C.若 AB= AC DB= DC 贝U AD= BCD,若 AB= AC DB= DQ 贝U ADL BC8、如图，在长方体 ABCDABCD中，ACADB = Q E、F分别是 BO和CO的中点，则在长方体各棱中与EF平行的有 条.9、如右图，正方体 ABCD ABiCDi中，求AC与AD所成角的大小10、如图，空间四边形ABC加，E、F分别是ADAB的中点，GH分别在BCCD±,且BG：GO DH： HC=1 ： 2.(1)求证：E F、G H四点共面；设FG5HE交于点P,求证：P、A C三点共线.战术指导异面直线的判定方法：(1)判定定理：平面外一点A与平面内一点B的连线和平面内不经过该点的直线是异面直线.(2)反证法：证明两线不可能平行、相交或证明两线不可能共面，从而可得两线异面.直击高考定正确的是（）A. 1 1114 B . 1 1 / 141、2014?广东】若空间中四条两两不同的直线11, 12, 13, 14,满足ll±l2, I2/I3, l3