塑性力学塑性本构关系

1、.1塑性力学03.2第三章第三章 塑性本构关系塑性本构关系全量理论和增量理论全量理论和增量理论引言引言:塑性变形规律的复杂性塑性变形规律的复杂性, 到目前为止这个塑性本构关系到目前为止这个塑性本构关系问题还没有得到满意的解决问题还没有得到满意的解决.现在广义采用的理论分为两大类现在广义采用的理论分为两大类:(1)全量理论全量理论, 又称为形变理论又称为形变理论, 它认为在塑性状态下仍有应力它认为在塑性状态下仍有应力和应变全量之间的关系和应变全量之间的关系. 有有Hencky(亨奇亨奇)理论和理论和Ilyushin (伊伊柳辛柳辛)理论理论.(2)增量理论增量理论, 又称为流动理论又称为流动理论

2、, 它认为在塑性状态下是塑性应它认为在塑性状态下是塑性应变增量和应力及应力增量之间随关系变增量和应力及应力增量之间随关系.有有Levy-Mises(莱维莱维-米米泽斯泽斯)理论和理论和Prandtl-Reuss(普朗特普朗特-罗伊斯罗伊斯)理论理论. 3-1 建立塑性本构关系的基本要素建立塑性本构关系的基本要素Shield和和Ziegler指出指出, 建立塑性本构关系需要考虑三个基本要素建立塑性本构关系需要考虑三个基本要素:(1)初始屈服条件初始屈服条件;(2)流动法则流动法则;(3)加载条件加载条件.其中其中(1)和和(3) 在第二章已经解决在第二章已经解决, 本章要解决第本章要解决第(2)

3、点点.33-2 广义广义Hooke定律定律 在弹性范围内在弹性范围内, 广义广义Hooke定律可以表达为定律可以表达为11ijijijkkE 也可以表示为也可以表示为:1 21 2iiiiijijeSEG我们来证明一下我们来证明一下:由应力和应变的分解式由应力和应变的分解式,即即, ijijijmijijijmSe 代入上面广义代入上面广义Hooke定律的公式定律的公式,考虑到考虑到/ 2 1GE11ijijmijijmijkkeSE 1112132ijijmijmijijmSSEGE 所以可以写成两个相应分解张量之间的关系所以可以写成两个相应分解张量之间的关系.4 所以也可写成如下形式所以也

4、可写成如下形式3 32iijijiiieSG 当应力从加载面卸载当应力从加载面卸载, 也服从广义也服从广义Hooke定律定律,写成增量形式写成增量形式1 21 d2iiiiijijddedSEG这是七个方程这是七个方程1 21 2iiiiijijeSEG第二个式子是六个方程第二个式子是六个方程,但因为有但因为有 , 所以有所以有5个是独立的个是独立的.从第二式可以看到在弹性范围内应力主轴和应变主轴是一致从第二式可以看到在弹性范围内应力主轴和应变主轴是一致的的. 应变偏量的分量和相应的应力偏量的分量成正比应变偏量的分量和相应的应力偏量的分量成正比. 0iiS 第二式也可以写成第二式也可以写成 ,

5、把它代入应力强度的表达式把它代入应力强度的表达式就可以得到下面的第二式就可以得到下面的第二式, 然后有然后有 再代回上面第再代回上面第一式得到下面的第二式一式得到下面的第二式.2ijijSGe/3iiG.53-3 全量型本构方程全量型本构方程Ilyushin在在1943年提出的硬化材料在弹塑性小变形情况下的本年提出的硬化材料在弹塑性小变形情况下的本构关系构关系, 这是一个全量型的关系这是一个全量型的关系, 类似于广义类似于广义Hooke定律定律. 在小在小变形的情况下作出下列关于基本要素的假定变形的情况下作出下列关于基本要素的假定:(1) 体积变形式弹性的体积变形式弹性的, 即即1 2 iii

6、iE(2) 应变偏张量和应力偏张量成比例应变偏张量和应力偏张量成比例ijijeS 这个假定就是应力和应变的定性关系这个假定就是应力和应变的定性关系, 即方向关系和即方向关系和分配关系分配关系. 方向关系指应变偏量主轴和应力偏量主轴方向关系指应变偏量主轴和应力偏量主轴重合重合, 也即应变主轴和应力主轴重合也即应变主轴和应力主轴重合,而分配关系是指而分配关系是指应变偏量和应力偏量成正比应变偏量和应力偏量成正比. 形式上和广义形式上和广义Hooke定律相似定律相似, 但这里的比例系数不是一但这里的比例系数不是一个常数个常数.这是一个非线性关系这是一个非线性关系.下面我们来看一下这个系数下面我们来看一

7、下这个系数等于什么等于什么?.6因为应力强度和应变强度的公式为因为应力强度和应变强度的公式为:32 23iijijiijijS Se e把把 代入上面右式并考虑上面左式得到代入上面右式并考虑上面左式得到ijijeS32ii(3)应力强度是应变强度的强度函数应力强度是应变强度的强度函数 , 即按单一曲即按单一曲线假定的硬化条件线假定的硬化条件. ii 综上所述综上所述, 全量型塑性本构方程为全量型塑性本构方程为1 2 iiiiE32iijijieS ii 注意的是上式只是描述了加载过程中的弹塑性变形规律注意的是上式只是描述了加载过程中的弹塑性变形规律. 加加载的标志是应力强度载的标志是应力强度

8、成单调增长成单调增长. 下降时为卸载过下降时为卸载过程程, 它时服从增量它时服从增量Hooke定律定律.ii.73-4 全量理论的基本方程及边值问题的提法全量理论的基本方程及边值问题的提法:iSp:uiSuViFxyzO设在物体设在物体 内给定体力内给定体力 ,在应力边界在应力边界 上给定面上给定面力力 , 在位移边界在位移边界 上给上给定位移为定位移为 , 要求确定物要求确定物体内处于塑性变形状态的各体内处于塑性变形状态的各点的应力点的应力 , 应变应变 和位和位移移 .按照全量理论按照全量理论,确定这确定这些基本未知量的基本方程有些基本未知量的基本方程有ViFSipuSiuijijiu平衡

9、方程平衡方程,0ij jiF几何方程几何方程.,12iji jj iuu本构方程本构方程1 2 iiiiE32iijijieS ii 其中其中32 23iijijiijijS Se e边界条件边界条件:, :ij jiuiiSlpSuu这就是对于全量这就是对于全量理论的塑性力学理论的塑性力学的边值问题的边值问题.83-5 全量理论的适用范围全量理论的适用范围 简单加载定律简单加载定律 全量理论适用小变形并且是简单加载全量理论适用小变形并且是简单加载. 那么上面是简单加载那么上面是简单加载? 理论上上指在加载过程中物体每一理论上上指在加载过程中物体每一点的各个应力分量按比例增长点的各个应力分量按

10、比例增长. 即即 0ijijt其中其中 是某一非零的参考应力状态是某一非零的参考应力状态, 是单调增加的参数是单调增加的参数.这样定义的简单加载说明这样定义的简单加载说明, 在加载时物体内应变和应力的主方在加载时物体内应变和应力的主方向都保持不变向都保持不变.0ij t 但是物体内的内力是不能事先确定的但是物体内的内力是不能事先确定的, 那么如何判断加载过那么如何判断加载过程是简单加载程是简单加载? Ilyushin指出指出, 在符合下列三个条件时在符合下列三个条件时, 可以可以证明物体内所有各点是处于简单加载过程证明物体内所有各点是处于简单加载过程:(1) 荷载荷载(包括体力包括体力)按比例

11、增长按比例增长.如有位移边界条件应为零如有位移边界条件应为零.(2) 材料是不可压缩的材料是不可压缩的.(3)应力强度和应变强度之间幂指数关系应力强度和应变强度之间幂指数关系, 即即miiA这就是这就是Ilyushin简单加载定律简单加载定律.有人认为只有第有人认为只有第(1)条就可以了条就可以了.93-6 卸载定律卸载定律peo 从单向拉伸实验的应力应变曲线从单向拉伸实验的应力应变曲线看看:加载至过弹性极限达到加载至过弹性极限达到A点点,然后然后卸载至卸载至B点点, 此时总应变此时总应变 的弹性的弹性部分部分 中的部分应变中的部分应变 得到恢复得到恢复,塑塑性应变部分性应变部分 要被保留下来

12、要被保留下来.此时此时的应力和应变的改变量的应力和应变的改变量, 即即B点的应点的应力和应变为力和应变为ABep,因为卸载要服从弹性本构关系因为卸载要服从弹性本构关系, 即即 . 这就是说这就是说,我们可以我们可以由因为卸载引起的荷载的改变由因为卸载引起的荷载的改变E量量 按弹性计算得到按弹性计算得到.PPP 推广到复杂应力的卸载情况推广到复杂应力的卸载情况(即应力强度即应力强度 减小减小)得到得到: 卸载定律卸载定律 . 即即: 卸载后的应力或应变等于卸载前的应力或应变卸载后的应力或应变等于卸载前的应力或应变减去卸载时的荷载改变量减去卸载时的荷载改变量 为假想荷载按弹性计算所为假想荷载按弹性

13、计算所得之应力或应变得之应力或应变(即卸载过程中应力或应变的改变量即卸载过程中应力或应变的改变量.iPPP .10 使用卸载定律要注意两点使用卸载定律要注意两点:卸载过程必须时简单加载卸载过程必须时简单加载, 即卸载过程中各点的应力分量即卸载过程中各点的应力分量时按比例减少的时按比例减少的; 卸载过程中不发生第二次塑性变形卸载过程中不发生第二次塑性变形, 即卸载不引起应力改即卸载不引起应力改变符号而达到新的屈服变符号而达到新的屈服. 由卸载定律可以看出由卸载定律可以看出, 全部卸载后全部卸载后,在物体内不仅留下残余应在物体内不仅留下残余应变变, 而且还有残余应力而且还有残余应力.3-7 Lev

14、y-Mises流动法则和流动法则和Prandtl-Reuss流动法则流动法则塑性应力应变关系的重要特点时它的非线性和不唯一性塑性应力应变关系的重要特点时它的非线性和不唯一性. 全全量理论则企图直接建立全量形式表示的与加载路径无关的本量理论则企图直接建立全量形式表示的与加载路径无关的本构关系构关系, 一般是不正确的一般是不正确的. 所以作为描述本构关系应该是它们所以作为描述本构关系应该是它们的增量之间的关系的增量之间的关系. 这就是增量理论这就是增量理论, 也就是流动法则也就是流动法则. 这里这里介绍两个增量理论介绍两个增量理论. 即即Levy-Mises流动法则和流动法则和Prandtl-Re

15、uss流动法则流动法则.111. Levy-Mises流动法则流动法则 这个理论认为应变增量主轴和应力这个理论认为应变增量主轴和应力主轴重合主轴重合, 应变增量分量与相应的应力偏量分量成比例应变增量分量与相应的应力偏量分量成比例, 即即 0ijijdd Sd式中的比例系数决定于质点的位置和荷载的水平式中的比例系数决定于质点的位置和荷载的水平. 这一理论是这一理论是Levy和和Mises分别在分别在1871年和年和1931年独立提出的年独立提出的, 所以被称为所以被称为Levy-Mises流动法则流动法则. 这个关系式不包括弹性变形部分这个关系式不包括弹性变形部分, 所以所以只适用刚塑性体只适用

16、刚塑性体.2. Prandtl-Reuss流动法则流动法则 这个理论考虑了塑性状态变形中这个理论考虑了塑性状态变形中的弹性变形部分的弹性变形部分, 并认为弹性变形服从广义并认为弹性变形服从广义Hooke定律定律; 而对于而对于塑性变形部分塑性变形部分, 被认为塑性应变增量的主轴和应力偏量的主轴被认为塑性应变增量的主轴和应力偏量的主轴重合重合. 即即12eeijijijijijdedededSd SG又由塑性不可压缩性又由塑性不可压缩性,体积变化式弹性的体积变化式弹性的,有有12 iiiiddE这就是这就是Prandtl-Reuss流流动法则动法则.123-8 理想弹塑性材料的增量本构方程理想弹

17、塑性材料的增量本构方程 对于理想弹塑性材料对于理想弹塑性材料, 后继屈服面和初始屈服面是重合的后继屈服面和初始屈服面是重合的. 若采若采用用Mises条件条件, 则应有则应有 求微分有求微分有32iijijsS S0ijijS dS 又因为应变比能的增量为又因为应变比能的增量为ijijmijijmijijdWdSdde 3mmijijmijijmijijijijmmijijddSdeS dedS de 上式第一项是体积比能增量上式第一项是体积比能增量,第二项为形状变形比能第二项为形状变形比能,记为记为dW这样考虑这样考虑Levy-Mises定律有定律有:21223dijijijijijijij

18、idWS deSdSd Sd S SdG232didWd所以有所以有.13 理想弹塑性材料的增量型本构方程可以写为理想弹塑性材料的增量型本构方程可以写为23122dijijijsdWdedSSG12 iiiiddE3-9 理想刚塑性材料的增量型本构方程理想刚塑性材料的增量型本构方程 理想刚塑性材料的理想刚塑性材料的Levy-Mises流动法则为流动法则为 0ijijdd Sd把它代入把它代入Mises屈服条件屈服条件32iijijsS S得到得到132ijijsddd现在定义应变现在定义应变增量强度为增量强度为32iijijddd那么那么32iSdd 理想刚塑性材料的增量型本构方程为理想刚塑性

19、材料的增量型本构方程为:3 2iijijSddS.143-10 弹塑性硬化材料的增量型本构方程弹塑性硬化材料的增量型本构方程 对于弹塑性硬化材料对于弹塑性硬化材料, 采用等向硬化模型采用等向硬化模型, 取取Mises屈服条件屈服条件, 即即piiHd(对于理想弹塑性对于理想弹塑性Mises条件为条件为 )is iSiio去掉弹性去掉弹性SippiidopiHd理想弹塑性理想弹塑性1tg H上式微分得到上式微分得到ppiiidH ddH d 是函数是函数 对自变量的导数对自变量的导数, 有简单的物理意义有简单的物理意义, 见上图见上图.在线性强化时在线性强化时 时常数时常数.由把由把Levy-M

20、ises流动法则代入塑性流动法则代入塑性应变增量强度应变增量强度 的公式得到的公式得到HHHpid2233piijijiddS Sd所以所以3322piiiidddH.15 将上面得到的将上面得到的 代入代入Levy-Mises流动法则就得到弹塑性硬化流动法则就得到弹塑性硬化材料的增量型本构方程材料的增量型本构方程:d3122iijijijiddedSSGH12 iiiiddE或写成或写成:312122iijmijijijiddddSSEGH 例题例题3-1 如图所如图所示示, 一薄壁圆管一薄壁圆管,其材料的拉伸硬其材料的拉伸硬化曲线为线性化曲线为线性.试根据增量理论试根据增量理论分别对下列三

21、种分别对下列三种加载路径求管的加载路径求管的总轴向应变总轴向应变 和和切向切向 应变应变zzzzzPPTTzpos1tg Fx.16zS3SzoABC(1)(2)(3)屈服曲线屈服曲线先拉后扭先拉后扭OAB先扭后拉先扭后拉OCB拉扭同时拉扭同时,并保持比例并保持比例,如如图图OB.解解: 根据题意薄壁圆管的应根据题意薄壁圆管的应力只有力只有 , 其它为零其它为零.应应力强度为力强度为 ,那么那么Mises屈服条件是一椭屈服条件是一椭圆圆:,zz 223izz2223zzs每一加载路径分为弹性和每一加载路径分为弹性和弹塑性两个阶段弹塑性两个阶段, 在弹性在弹性阶段本构关系有阶段本构关系有:11,

22、 zzzzEG在弹塑性阶段本构关系有在弹塑性阶段本构关系有:312122izmzziddddSSEGF13izzzidddGF下面分三个路径进行计算下面分三个路径进行计算.17zS3SzoABC(1)(2)(3)屈服曲线屈服曲线(1) OAB路径路径,分分OA和和AB段段.OA段是弹性阶段段是弹性阶段, A点是屈服点是屈服点点, 则有则有10zSOAzOAEAB段是弹塑性阶段段是弹塑性阶段, 保持不变保持不变, 变变化化, 其它应力分量为零其它应力分量为零, 则有则有/32/3,/30zSzSrSzmzrSSSdddSdSdS zS0/3zS从从Mises屈服条件得屈服条件得2233izzii

23、zdd将这些量代入弹塑性本构关将这些量代入弹塑性本构关系系, 并沿路径积分并沿路径积分,则得则得SizzABABABiddF2ln|ln2SSSSiFF2/ 3220313 SzzABABzzSzddGF.1813143SzABGF得到得到:zS3SzoABC(1)(2)(3)屈服曲线屈服曲线总应变为总应变为 1111ln213143zSSzEFGF(2)同理可得同理可得OCB路径总应变路径总应变 21111413ln23zSSzEFGF(3)同理可得同理可得OB路径总应变路径总应变 3111112131132zSSzEFGF可以看到应力状态相同可以看到应力状态相同,由于由于路径不同所得应变状

24、态不同路径不同所得应变状态不同.193-12 Prandtl-Reuss假设的实验验证假设的实验验证Prandtl-Ress假设是应力主轴和塑性应变增量主轴是一致的假设是应力主轴和塑性应变增量主轴是一致的, 也就是说应力也就是说应力Lode参数和塑性应变增量的参数和塑性应变增量的Lode参数应该相等参数应该相等.为了验证这一点为了验证这一点, W.Lode做了薄壁圆筒受轴向拉伸和内压力的做了薄壁圆筒受轴向拉伸和内压力的复合抗力实验复合抗力实验. 实验结果表明它们大致上是成立的实验结果表明它们大致上是成立的.pd3-13 增量理论的基本方程及边值问题的提法增量理论的基本方程及边值问题的提法 问题

25、的提法问题的提法 在加载过程的某一瞬时在加载过程的某一瞬时, 已知已知 , 和外和外荷载的增量荷载的增量:,ijijiu:;:;:.iiuiVdFSdpSdu体力增量面力增量位移增量求求:,.ijijidddu相应的应力增量应变增量和位移增量.20 基本方程基本方程 这些基本物理量必须满足增量型基本方程这些基本物理量必须满足增量型基本方程., 01 211 2 : 2311 2 : 23ij jiiji jj iijijkkijijijijkkijddFddududdSdGEddSd SdGE 平衡方程几何方程本构方程弹性区塑性区其中其中 是卸载或中性变载是卸载或中性变载, 是加载是加载.0d

26、0d 边界条件边界条件: ; : ij jiuiiSdldpSdudu在弹塑性区交界面上还应满足一定的连续条件在弹塑性区交界面上还应满足一定的连续条件. 上述条件下可求出上述条件下可求出 这这15个量个量, 然后叠加到原然后叠加到原来的来的 上上, 最后确定新的屈服面最后确定新的屈服面, 再求下一步增量再求下一步增量. ,ijijidddu,ijijiu.213-14 全量理论与增量理论的比较全量理论与增量理论的比较 增量理论在加载过程中最后的应变状态取决于应变路径增量理论在加载过程中最后的应变状态取决于应变路径, 而全而全量理论不管应变路径量理论不管应变路径. 特别是在中性变载情况特别是在中

27、性变载情况, 两者相差最明显两者相差最明显. 因为九个实验观察因为九个实验观察, 对中性变载不产生塑性应变的改变对中性变载不产生塑性应变的改变, 增量理增量理论反映了这一特点论反映了这一特点, 而按全量理论只要应力分量改变而按全量理论只要应力分量改变, 塑性应变塑性应变也要发生改变也要发生改变. 这是因为加载条件中的中性变载就是增量理论这是因为加载条件中的中性变载就是增量理论的塑性部分等于零的塑性部分等于零. 增量理论在中性区可以保证应力应变的连续性增量理论在中性区可以保证应力应变的连续性, 而全量理论而全量理论不能不能.在小变形且简单加载的情况下在小变形且简单加载的情况下, 这两个理论是一致

28、的这两个理论是一致的. 现在我现在我们来证明一下们来证明一下,下面是这两个理论下面是这两个理论.12ijijijdedSd SG12 iiiiddE1 2 iiiiE32iijijieS增量理论增量理论全量理论全量理论小变形且小变形且简单加载简单加载.2200 ijijijijSS令即简单加载各分量成比例简单加载各分量成比例代入增量理论公式代入增量理论公式,因为简因为简单加载所以在加载过程中单加载所以在加载过程中主方向不变主方向不变,又是小变形又是小变形,下下面积分存在面积分存在. 增量理论第一增量理论第一式有式有: 0001 21 2 ttiiiiiiijddEE增量理论第二式有增量理论第二

29、式有:000001 2tijijttijijedeSdSdG 0000112112tijijtijSSdGdSG 0112tdG 令2 , ijijijijijijeSe eS S上式变为将该式自乘 得23332232ijijijijiiijijijije ee eS SS S则3 2iijijieS所以.23上面就证明了在简单加载上面就证明了在简单加载,小变形情况下小变形情况下:增量理论增量理论=全量理论全量理论. 虽然增量理论比较合理虽然增量理论比较合理, 但全量理论仍有很大的工程应用范但全量理论仍有很大的工程应用范围围. 这不仅式因为全量理论适用于简单加载这不仅式因为全量理论适用于简单加

30、载, 数学处理方便数学处理方便, 而而且对于偏离简单加载一个相当大的范围全量理论也适用且对于偏离简单加载一个相当大的范围全量理论也适用.3-15 塑性势理论塑性势理论前面所讨论的基本上是有前面所讨论的基本上是有Mises条件和条件和Prandtl-Reuss流动法则流动法则建立的塑性本构关系建立的塑性本构关系.本节应用塑性势的概念讨论一般的屈服本节应用塑性势的概念讨论一般的屈服和流动问题和流动问题. Mises在在1928年把弹性势的概念推广于塑性力学年把弹性势的概念推广于塑性力学以后以后, 使得塑性力学中的屈服条件使得塑性力学中的屈服条件,硬化条件和塑性应变增量硬化条件和塑性应变增量建立了联

31、系建立了联系.1.塑性势塑性势 弹性势弹性势 大家知道大家知道, 在弹性力学中应变和弹性应变比能有在弹性力学中应变和弹性应变比能有下列关系下列关系,即即0ijijij.24式中式中 是弹性应变比能是弹性应变比能, 对理想弹性体它是正定函数对理想弹性体它是正定函数, 称为称为弹性势弹性势. 若把若把 看成应力空间的一个等势看成应力空间的一个等势面面, 则上式可以理解为则上式可以理解为: 应变矢量的方向与弹性势的梯度方向应变矢量的方向与弹性势的梯度方向,即即等势面的外法线方向一致等势面的外法线方向一致.0ij0 ijCC是常量 塑性势塑性势 Mises在在1928年提出了类似与弹性势的塑性势理论年提出了类似与弹性势的塑性势理论.他考虑到塑性变形的特点他考虑到塑性变形的特点, 提出塑性势不仅与应力状态有关提出塑性势不仅与应力状态有关,而而且与加载历史有关且与加载历史有关, 即即 , 类似与弹性势有类似与弹性势有,ijggKpijijgdd式中式中 是一个非负的比例系数是一个非负的比例系数, 是标量是标量. 如果如果 ,它在应力空间中表示的面就是等势面它在应力空间中表示的面就是等势面. 上式即表示塑性应变增量矢上式即