高等数学教案--定积分的应用

1、高等数学教案一定积分的应用时授课计划第一课时教学过程及授课内容教学过程i.一.定积分应用的微元法用定积分计算的量的特点:(1)所求量(设为F )与个给定区间1a,bl有关，且在该区间上具有可加性.就是说，F是确定于 hb】上的整体量，当把 Ia,b1分成许多小区间时,n整体量等于各部分量之和，即F = £ Fi。i 1(2)所求量F在区间a,b上的分布是不均匀的，也就是说， F的值与区问Ia,b】的长不成正比(否则的话，F使用初等方法即可求得，而勿需用积分方法了).用定积分概念解决实际问题的四个步骤： 第一步：将所求量F分为部分量之和,即：Fn=F AFi ；i 1第二步:求出每个部

2、分量的近似值，AF产f () Axi(i =1,2,| ,n);第三步:写出整体量 F的近似值，F =X AFi -Z f (。)Axi ；n第四步：取？u = maxAxiT 0时的工“1) xi极限，则得i=1n .bF =1也£ f (-i)Axi = fa f(x)dx.0 i 1观察上述四步我们发现，第二步最关键，因为最后的被积表达式的形式就是 在这一步被确定的，这只要把近似式f(£) Ax中的变量记号改变一下即可(匕换为x; Ax换为dx).而第三、第四两步可以合并成一步：在区间a,b上无限累加，即在Ia,b】上积分.至于第一步，它只是指明所求量具有可加性，这是

3、F能用定积分计算的前提，于是，上述四步简化后形成实用的定积分应用的微元法：(一)在区间Ia,b微元法.上任取一个微小区问Ix,x+dx,然后写出在这个小区间上似值，记为dF = f (x)dx (称为F的微(二)将微元dF在b ,b 上积分(无y的部分量AF的近元)；一x限累加)，即得bF = f(x)dx. - a微元法中微元的两点说明：(1) f(x)dx作为AF的近似值表达式，应该足够准确，确切的说，就是要求 其差是关于Ax的高阶无穷小.即AF-f(x)dx = o( Ax).这样我们就知道了，称作微元的量f(x)dx,实际上是所求量的微分dF;(2)具体怎样求微元呢？这是问题的关键，这

4、要分析问题的实际意义及数量 关系，一般按着在局部 Ix,x+dx上，以“常代变”、“匀代不匀”、“直代 曲”的思路(局部线性化)，写出局部上所求量的近似值，即为微元dF = f (x)dx二、用定积分求平面图形的面积1.直角坐标系下的面积计算用微元法不难将下列图形面积表示为定积分.(1)曲线y= f(x)(f (x)之0), x = a,x = b及Ox轴所围图形，如下左图，面 积微元 dA = f (x)dx,面积 A=/ f (x)dx., a(2)由上、下两条曲线 y = f (x),y = g(x)(f (x)至 g(x)&x = a,x = b所围成的图形，如下右图，面积微元

5、 dA = f (x) - g(x)dx,面积 bA = . f(x) -g(x)dx.a(3)由左右两条曲线x=W(y),x=5(y)&y = c, y = d所围成图形(见下左d图)面积微元(注意，这时就应取横条矩形dA,即取y为积分变量)解方 y1 y = x2、.程组y2 x ,得交点(00）及（1, 1）.积 y dyx =：（y）d分变量,yOx x dx xy =x,(2)选择积-j 微元，本题'x=qy)均可，习惯O（1,1）分变量，写出面取竖条或横条作dA上取竖条，即取x为积变化范围为0,1,dA = (. x - x2)dx,1 3一x33.(3)将A表示成

6、定积分，并计算A = j （Tx-x2）dx= - x20i3例2求y2=2x及y = x-4所围成图形面积解作图(如下图)求出交点坐标A(2, -2),B(8,4)。观察图得知，宜取y为积分变量,虑一下，若取x为积分变量，即r( 便之处？)，于是得1 2(y+4) -y dy,4= 18._2x41 21 21 3A = "(y 4) -二y dy = -y 4y -y a2262.极坐标下的面积计算曲边扇形：是指由曲线r =r(e)及两条射线日=u,e = P所围成的图形(如下图)取H为积分变量，具变化范围为口，打，在微小区间38+dH上”以常代变”，即以小扇形面积 dA作为小曲

7、边扇形面积的近似值，于是得面积微元为1 1-0dA = 2r2S )d6 ,将dA在目,P 上积分，使得曲边扇形面积为A =万Q r2d例3计算双纽线r2 =a2cos2日(a>0)所围成的图形的面积(如下图所示).解：由于图形的对称性，只需求其在第一象限中的面积，再4倍即可，在第一象限日的变化范围为0,-,于是4i 1 T 2 一 2.一A=4 2 0 a 8s21dl =a sin2。兀4 _a20 一 a例4求心形线r =1 +C0S6及圆r =3cos日所围成的阴影部分面积(如下图) 解：先求两线交点，以确定 e的变化范围，解方程组，r = 1 cosu ,r =3cos.,_.

8、1“.冗 由3cos8 =1+cos8得cose =-，故8 = ±,考虑到图形的对称性，得所求231 1 )的面积为A = 2 |- f3(1+cos6)2d6 十一 72(3cos6)2d61 cos2i=03 (1 2cosi )de + f 2(1+cos20)d0 2 33 .11 2 sin 二 sin 2 二24.1.一 sin 212r = 3cos 0兀2冗3：2 02 3三、用定积分求体积1.平行截面面积为已知的立体体积设一物体被垂直于某直线的平面所截的面积可求，则该物体可用定积分求其 体积.不妨设上述直线为X轴，则在x处的截面面积A(x)是x的已知连续函数，求

9、该物体介于x=a和x=b(a <b)之间的体积(如下图)为求体积微元，在微小区间x,x + dx上视A(x)不变，即把x,x+dx上的立 体薄片近似看作A(x)为底，dx为高的柱片，于是得dV =A(x)dx,再在x的变化区间a,b上积分，则得公式bV = i A( x)dx. a例5设有底圆半径为R的圆柱，被一与圆柱面交成口角且过底圆直径的平 面所截，求截下的楔形体积(如下页图)。解取坐标系如图，则底圆方程为在x处垂直于x轴作立体的截面，得一直角三角形，两条直角边分别为 y及 ytana 即 Jr_ 2 x=tan ： (R x -) -x2 及 ；R2 -x2 tan« ,

10、其面积为 A(x)=1(R2-x2)tan。,从而得2楔形体积为R 1RR=2R3tan:V= q (R -x ) tan： dx = tan。： i (R -x )dx22.旋转体体积设旋转体是由连续曲线y = f (x)和直线x= a, x = b(a <b),及 x轴所围成的曲边梯形绕x轴旋转而成(如下图)，我们来求它的体积 V。在区间a,b上点x处垂直x轴的截面面积为A(x)= f 2(x).在x的变化区问ba,b内积分，得旋转体体积为V = q f (x)dx.类似地，由曲线x=5(y),直线y=c,y = d及y轴所围成的曲边梯形绕 y轴 旋转，所得旋转体体积(如下图)为d

11、2v = 4 9(y)dy.c222例6求由星形线x3 +y3 =a3(a>0)绕x轴旋转所成旋转体体积(如下O|y. A a x-a2解由方程x22 y3 =a3解出22= (a-x3)3,于是所求体积为V = TTL y2dx =2 冗工(a3 x3 )3dx4 22 4a O 二 1 二 二 O29 Q=2 冗(a -3a3x3 +3a3x3 -x )dx =而.0105四、平面曲线的弧长设有曲线y = f(x)(假定其导数f'(x)连续)，我们来计算从x = a到x=b的 一段弧长的长度s (如下页图).我们仍用微元法，取 x为积分变量，xwa,b,在微小区间x,x +

12、dx内， 用切线段MT来近似代替小弧段MN (“常代变”)得弧长微元为ds = MT = . MQ2 QT2 = J(dx)2 (dy)2 = J1 y'2dx.这里ds+y'2dx也称为弧微分公式.在x的变化区间a,b内积分，就得所求弧长s =.1 y'2dx =1 If'(x) 2dx.a'a "五、课堂练习思考题 习作题思考题答案习作题答案2 o 1 2.281. - -2. nr h .3. 一 n .3 315六、小结1 .定积分应用的微元法2 .用定积分求平面图形的面积3 .用定积分求体积4 .平面曲线的弧长七、布置作业P1381

13、2 3第二课时教学过程一、定积分的物理应用1.功(1)变力做功设物体在变力F(x)作用下沿x轴由a处移动到b处，求变力F(x)所做的功.由于力F(x)是变力，所求功是区间a,b上非均匀分布的整体量，故可以用 定积分来解决.禾I用微元法，由于变力F(x)是连续变化的，故可以设想在微小区问 x,x+dx上作用力F(x)保持不变(“常代变”求微元的思想)，按常力做功公式 得这一段上变力做功近似值.F(x),b .O a x dx x如图所示建立坐标系，变力F(x)使物体从微小区间x,x + dx的左端点x处 移动到右端点x+dx处，所做功的近似值，即功微元为dW = F(x)dx,将微元dW 从a到

14、b求定积分，得F(x)在整个区间上所做的功为bW = a F(x)dx.例1在原点O有一个带电量为十q的点电荷，它所产生的电场对周围电荷有作用力.现有一单位正电荷从距原点a处沿射线方向移至距O点为b(a<b)的地 方，求电场力做功.又如果把该单位电荷移至无穷远处，电场力做了多少功？解 取电荷移动的射线方向为x轴正方向，那么电场力为F=kq2 (k为常x数)，这是一个变力.在x,x+dx上，以“常代变”得功的微元为dW=kdx于是功为xkq .一 /1、W = =dx = kq iJo 21ax < XJ,11、=kq( ).a a b当 dx 二一 kq1二kqa a若移至无穷远处

15、，则做功为物理学中，把上述移至无穷远处所做的功叫做电场在 a处的电位，于是知电 场在a处的电位为V=蛆.a例2设汽缸内活塞一侧存有定量气体，气体做等温膨胀时推动活塞向右移动一段距离，若气体体积由Vi变至V2,求气体压力所做的功（如下图）.O si s S2解气体膨胀为等温过程，所以气体压强为P = C（V气体体积，.常数）,而活塞上的总压力为F = PQ = CQ = C V S,（Q活塞的截面积，S为活塞移动的距离，V=SQ）以&与S2表示活塞的初 始与终止位置，于是得功为S2S2 1W = FdS=C dS'Si-Si SV2 1 二 CdVV1 VV2V2= ClnV =

16、Cln.V1V1（2）抽水做功例3 一个底半径为4m,高为8m的倒立圆锥形容器，内装6m深的水，现要 把容器内的水全部抽完，需做功多少？解 我们设想水是一层一层被抽出来的，由于水位不断下降，使得水层的提升高度连续增加，这是一个“变距离”做功问题，亦可用定积分来解决.选择坐标系（见下图）,于是直线AB方程为y = 1x + 4.2在x的变化区间2,8内取微小区间x,x+dx,则抽出这厚为dx的一薄层水所需做功的近似值为8于是功为dW=dV ”一水的比重）828 x 282 xW =九乙：xy dx = d b x(4 -) dx =冗了 |2(16x -4x + )dx=，(8x2 -4x3 +

17、4 8x . 83.33一)=9.8父63冗父10 (J) (¥ =9.8父10 N/m )16 22 .液体对平面薄板的压力设有一薄板，垂直放在比重为 学的液体中，求液体对薄板的压力.由物理学知道, 在液体下面深度为h处，由液体重量所产生的压强为中=柏，若有面积为A的薄 板水平放置在液深为h处，这时薄板各处受力均匀，所受压力为 P=WA = ?hA, 如今薄板是垂直于液体中，薄板上在不同的深度处压强是不同的， 因此整个薄板 所受的压力是非均匀分布的整体量.下面结合具体例子来说明如何用定积分来计 算.例4 一个横放的半径为R的圆柱形水桶，里面盛有半桶油，计算桶的一个端面所受的压力（设

18、油的比重为 不）.解 桶的一端面是圆板，现在要计算当油面过圆心时，垂直放置的一个半圆 板的一侧所受的压力.选取坐标系（如下图）圆方程为 x2+y2 =R2.取x为积分变量，在x的变化区间0, R内取微小区间x,x + dx,视这细条上压强不变，所受的压力的近似值， 即压力微元为dP = ' xdS = 2 x . R2 - x2dx,于是，端面所受的压力为1R2-R3.o 3P 二一 QR(R2 -x2)2 d(R2 -x2)23l2 2 2-(R2-x2)2> 1第三课时教学过程3 .转动惯量在刚体力学中转动惯量是一个重要的物理量， 若质点质量为m,到一轴距离为r ,则该质点绕

19、轴的转动惯量为I =mr2现在考虑质量连续分布的物体绕轴的转动惯量问题，一般地，如果物体形状对称，并且质量为均匀分布时，则可以用定积分来解决 .例5 均匀细杆长为l ,质量为m ,试计算细杆绕过它的中点且垂直于杆 的轴的转动惯量.解选择坐标系（如下图）.先求转动惯量微元dl ,为此考虑细杆上x, x + dx一段，它的质量为mdx, 把这一小段杆设想为位于x处的一个质点，它到转动轴距离为|x,于是得微元Rm 2 R .o 2为沿x方向，从0积到R,就得到圆板的转动惯量4R 2m 3 2mx2 x dx =2 0 RR 4二、经济应用问题举例1.已知总产量的变化率求总产量例7设某产品在时刻t总产量的变化率为f (t) = 100+12t-0.6t2求从t=2到t=4的总产量(t的单位为h).解设总产量为Q(t),由已知条件Q'(t)= f (t),则知总产量Q(t)是f(t)的一个原函数，所以有4.,、. 2、.23 4(f(t)dt = g(100+12t 0.6t )dt=(100t