直线的一般式方程教案

1、.教学目的：1 知识与技能明确直线的一般式方程的特征；会把直线一般式方程转化为斜截式，进而求直线的斜率与截距；会把直线方程的点斜式、两点式化为一般式。2过程与方法通过探究直线与二元一次方程的关系，让学生积极、主动地参与观察，分析、归纳、进而得出直线的一般式方程，培养了学生勇于探究的精神和学会用分类讨论的数学思想方法解决问题。3情感、态度与价值观通过课堂活动参与，激发学生学习数学的兴趣。同时，让学生认识事物之间的普遍联络与互相转化教学重点与难点重点：直线的一般式方程 难点：理解直线的一般式方程教学流程设计一、创设问题情境【师生活动】平面内的直线，它们的直线方程有几种表示形式？学生完成表格和练习

2、生：填表形 式方程适用范围各常数的几何意义点斜式 斜率存在x1,y1是直线上一个定点,k是斜率斜截式斜率存在k是斜率,b是y轴上的截距两点式不与垂直x1,y1、x2,y2是直线上两个定点截距式不与垂直且不过原点a是x轴上的非零截距,b是y轴上的非零截距一般式无当B0时,-是斜率,-是y轴上的截距过点 与x轴垂直的直线可表示成 过点 与y轴垂直的直线可表示成 2. 根据以下条件，写出适宜的直线的方程(1) 斜率是，经过点-1，3 2经过点1，2，平行于x轴3经过点2，1，斜率不存在 4经过原点，斜率是21、从上述几种形式的直线方程中，分析这四种直线的局限性，引出问题。2、平面直角坐标系中的任何一

3、条直线l能不能用一种自然优美的“万能形式的方程来表示？【设计意图】-老师让学生回忆，观察，发表自己的见解。学生可以积极主动地投入到课堂中，充分调动他们思维的活泼性。二、探究新知【师生活动】老师给出问题，引导学生分析，师生共同完成讨论.【设计说明】学生对分类讨论思想还不能纯熟应用，所以老师引导学生考虑问题，给出必须讨论的理由及讨论的分类根据，逐步引导学生进展正确的分类讨论，掌握这种数学思想.问题1：平面直角坐标系中的每一条直线都可以用一个关于的二元一次方程表示吗？【设计意图】讨论每条直线是否对应一个二元一次方程.师：我们要求一条直线的方程可以利用直线上的一点和它的斜率来表示，那么需要注意什么问题

4、？生：直线的斜率可能不存在.师：那么我们就需要分情况来讨论，分几种情况？哪几种？生：分成直线的斜率存在和不存在两种情况讨论.学生讨论完成两种情况的讨论，老师提问学生结果，并板书.生：假设直线的斜率存在，设直线上在y轴上的截距为b，斜率为，那么直线的方程为.假设直线的斜率不存在，设直线上的一点，那么直线的方程为师：这两个方程是不是关于的二元一次方程？生：是的.第二种情况可以看作是方程中的系数为.问题2 每一个关于的二元一次方程都表示一条直线吗？【设计意图】讨论每个二元一次方程是否对应一条直线.师：我们最熟悉的直线方程形式是哪一种？生：斜截式.师：那我们来讨论一个二元一次方程能不能化成直线的斜截式

5、方程?转化过程中需要注意什么问题？学生讨论变化方程为斜截式方程，老师最后纠错并板书讨论过程.生：方程可以变形为,所以它表示过点，斜率为的直线.师：变形过程中系数一定不为吗？你的结论严谨吗？生：不一定.系数为时，一定不为，方程可以变形为.，可以表示一条斜率不存在的直线.三、理解新知1.结论：1平面直角坐标系内的所有直线的方程都是一个二元一次方程.我们把关于的二元一次方程叫做直线的一般式方程，简称一般式.2一个二元一次方程就是直角坐标平面上的一条确定的直线.二元一次方程的每一组解都可以看成平面直角坐标系中的一个点的坐标，这个方程的全体解组成的集合，就是坐标满足二元一次方程的全体点的集合，这些点的集

6、合组成了一条直线.【设计意图】整理思路，得出结论，完善分类讨论思想的应用.2.考虑：直线方程的一般式与其他几种形式的直线方程相比，它有什么优点？【设计意图】理解一般式的特征，使学生理解一般式与其他形式的区别.3.探究：在方程中，为何值时，方程表示的直线：平行于轴；平行于轴；与轴重合；与轴重合；经过原点；与两坐标轴都相交【设计意图】熟悉一般式与斜截式的互相转化，加强对二元一次方程的几何意义的理解.四、运用新知1、根据以下各条件写出直线的方程，并且化成一般式：(1) 斜率是，经过点A，2； 2经过点B，2，平行于轴； 3在轴和轴上的截距分别是,3； 4经过两点3，2、5，.【设计说明】本例题由学生

7、自主完成，让学生对一般式方程有更深化的理解.2、把直线的一般式方程化成斜截式，求出直线的斜率以及它在x轴与y轴上的截距，并画出图形。解：由方程一般式，移项，去系数得斜截式由知在轴上的截距是3，又在方程或中，令，可得.即直线在x轴上的截距是6.因为两点确定一条直线，所以通常只要作出直线与两个坐标轴的交点即在x轴，y轴上的截距点，过这两点作出直线图2.总结：求直线的一般式方程 的斜率和截距的方法：（1） 直线的斜率k= 2在y轴上的截距b= 3在x轴上的截距a= 变式训练1、求以下直线的斜率以及在x轴和y轴上的截距 2、1求过点3，2，且与直线 平行的直线的方程 2求过点 ，且与直线 垂直的直线的方程【设计意图】让学生在题目中理解直线方程的几何意义，学会利用数形结合的思想解决直线在直角坐标系中的问题.纯熟掌握求解直线方程的条件,及解题方法， 纯熟掌握由一般式求直线斜率和截距。有变式2让学生考虑由直线的一般式如何判断平行和垂直。5、 课堂小结 6、 师：1直线方程的五种形式及其特点2本节课学习了哪些数学思想方法还学习了分类讨论思想、化归思想、数形结合思想.【设计意图】使学生对直线方程的理解有一个整体的认识，同时养成良好的学习习惯.