高级运筹学-库存论

1、Page:1库库存存论论Theory of Inventory 第五章第五章Page:2库存现象 存储论起源于水库蓄水问题。上游的水不断流入水库，水库又按一定规则放水，以使水库存储的水量保持在安全理想的状态，并能满足防洪、发电、航运、灌溉等等多种需要。 生产型企业需要储存一些原材料或零件，以满足市场的变化。 商店里需要储存货物以满足顾客需求。Page:3Page:4顾客的参与产出 产品 服务 投入 人力 物料 设备 技术 信息 能源 土地实施信息反馈实施信息反馈变换过程变换过程 生产与运作活动过程Page:5原料生产批发零售顾客物流物流商流商流信息信息流流资金资金流流Page:6-制造制造厂厂

2、从从制造商制造商运送运送往往裝配商裝配商組件裝配組件裝配出口商或批出口商或批发发商商从从裝配商裝配商运运往出往出口商或批口商或批发发商商海海运运空空运运地地区区性物流中心性物流中心编编 配商品配商品给给零售商零售商运运送商品送商品给给零售商零售商物流流程物流流程Page:7库存是缓解供给与需求之间不协调库存是缓解供给与需求之间不协调的重要环节的重要环节供应供应需求需求库存库存库存的基本问题库存的基本问题:什么时候补货什么时候补货 (When)? 补多少补多少(How many)?Page:8Types of InventoryMaintenance / Repair/Operating sup

3、ply (MRO)Finished goodsRaw materialWork-in-process (WIP)1.原材料 2.在制品3.维修备件 4.产成品Page:9库存的双重影响 积极影响 缓冲作用 制造与购买中的经济性 生产连续运行的媒介 服务水平(Service Level) 消极影响 占用流动资金 库存系统运行费用 机会成本(Opportunity Cost) 掩盖管理问题 Page:10库库存存Page:11Types of Inventories Held in a Supply ChainPage:12库存论发展的里程库存论发展的里程 1915年F哈里斯就稳定需求，即对供应的

4、情况得出关于存储费用的“简单批量公式”。 1929年，L梅厄（奥地利人）出版的仓库业的经营经济学是与库存论有关的早期著作之一。 二战后，由于成批生产的日益普遍，同时由于运筹学的其他分支和管理科学的建立，库存论得到深入的发展，例如随机性模型得到进一步的研究，20世纪50年代，库存论成为一门应用广泛的运筹学的分支学科。 库存论被应用到更广泛的领域：停车场大小，铁路车场侧线数量、电力系统发电设备容量、电子计算机容量等的决策问题都可应用库存论来解决。 自上世纪70年代，汽车工业的发展和生产管理，为库存论的研究注入新的要素，如JIT.Page:13库存问题的扩展 Expansion of Invento

5、ry Management 报童问题（Newsboy problems） 一名报童以每份0.20元的价格从发行人那里订购报纸然后再以0.50元的零售价格出售，但是他在订购第二天的报纸时不能确定实际的需求量而只是根据以前的经验知道需求量具有均值为50份标准偏差为12份的正态分布那么他应当订购多少份报纸呢？Page:14库存问题的扩展 Expansion of Inventory Management 约会问题(Date Problem) 您要与您的女朋友晚上六点钟在她家附近的一个地方约会，您估计从您的办公室乘车过去所用的平均时间是30分钟，但由于高峰期会出现交通阻塞因此还会有一些偏差，路程所用时

6、间的标准偏差估计为10分钟，虽然很难量化您每迟到一分钟所造成的损失，但是您觉得每晚到一分钟要比早到一分钟付出十倍的代价，那么您应当什么时候从办公室出发呢？Page:15库存问题的扩展 超额预售机票问题（Excessive Air Ticket Sales Problem) 一家航空公司发现一趟航班的持有机票而未登机（no-show）的人数具有为20人，标准偏差为10人的正态分布，根据这家航空公司的测算每一个空座位的机会成本为100美元，乘客确认票后但因满座不能登机有关的罚款费用估计为400美元，该航空公司想限制该航班的“超额预订”，飞机上共有150个座位，确认预订的截止上限应当是多少？Page

7、:16要达到的目标要达到的目标满足需求满足需求达到最小成本达到最小成本可控变量可控变量订货时间订货时间每次进货量每次进货量成本的构成成本的构成与存储有关的费用与存储有关的费用由缺货所引起的费用由缺货所引起的费用采购费用采购费用库存问题的要素 Page:17库存问题中的概念 需求（demand) 离散 随机 补充（订货）（replenishment) Lead time (从订货到进货的时间，备货时间） 订货周期（ Order Cycle Time ) 订货量（ Order Quantity ） 费用（cost) 存储费 Holding Cost 订货费 Ordering Cost + Purc

8、hase Cost 缺货费 Shortage Cost 生产费 （设备安装费+生产费用）Page:18库存问题中的概念 存储策略 （inventory strategy) t0循环策略，每隔t0时间补充库存量Q0 (s,S)策略，当存储量xs时，不补充； 当xs时，不补充；当xs时，补充库存量到SPage:19库存问题的分类 确定性需求模型 不允许缺货、瞬时生产时间 不允许缺货、生产需要时间 允许缺货、瞬时生产时间 允许缺货、生产需要时间 价格有折扣 随机性需求模型 离散需求 连续需求Page:20库存问题的分类 定量订货模型（EOQ)(fixed-order quantity model,

9、Q model) 事件驱动的，当到达规定的再订货水平的事件发生时，就进行订货，这种事件可能随时发生； 平均库存量较小，有利于贵重物品的库存； 定期订货模型（Fixed-time period model, P model) 时间驱动的，只限定在时间期末进行订货； 平均库存量较大。Page:21确定性需求库存模型确定性需求库存模型经济批量模型（EOQ)Economic Ordering QuantityEconomic Lot SizePage:22模型一、不允许缺货、瞬时生产时间模型一、不允许缺货、瞬时生产时间 模型假设：缺货费用无穷大；当库存降至零时，可立即得到补货，忽略生产时间；需求是连续

10、的、均匀的，需求速度为R;每次订货量不变，订购费不变；单位存储费不变。Page:23经济批量经济批量(EOQ)t进货周期进货周期时间时间库库存存水水平平最高库存最高库存 Q平均库存平均库存 Q/2一年一年12tCRtPage:24费用分析费用分析 单位货物存储费率C1单位货物缺货损失C2每次采购费用C3最佳采购量Q*每次采购量缺货成本缺货成本+采购费采购费库存费用库存费用总成本总成本费用Page:25平均费用平均费用C(t) C(t) 存储费订货费存储费订货费31Ct1C2Rtn第一项是存储费用，时间越长，该项费用越大，因此从存储费用看每次应当尽量少购一点；n第二项是订购费，它与订货量无关，因

11、此订货量越大（可用时间越长），单位货物费用越少，从这一点上说应当每次尽量多采购一些。Page:26经济批量模型的解(EOQ) 订货周期 经济批量 最少平均费用（不包括KR）RCCt130213002CRCRtQRCCtCC3102)(minPage:27例 1 EOQ的应用 某医院药房每年需某种药品1600瓶，每次订购费为5元，每瓶药品每年保管费0.1元，试求每次应订多少瓶？解：已知 R=1600，C1=0.1，C3=5。 经济批量)(40001. 0/160052/2130瓶CRCQPage:28比较分析批量年存储费 年订购费 年总费用 费用最小批量QC1002003004005006005

12、1015202530804026.7201613.3855041.7404143.3Q*Page:29例2 某厂按合同每年需提供D个产品，不许缺货，假设每一周期工厂需装配费C3元，存储费每年每单位产品为C1元,问全年应分几批供货才能使装配费、存储费两者之和最少？Page:30分析 设全年分n次供货，则每批的供货量： 周期为1/n; 每个周期内平均存储量：Q/2 每个周期的平均存储费： 全年所需存储费：C1Q/2 全年所需装配费：C3n=C3 D/Q 全年所需总费用： nDQ nQC21QDCQCQC312)(Page:31分析 每批最佳订货量： 最佳批次： 最佳时间间隔：1302CDCQ 31

13、02CDCn DCCt1302Page:32例3 某轧钢厂每月按计划需生产角钢3000吨，每吨每月存储费5.3元，每次生产需调整机器设备，供需装配费2500元.试排一个全年的排产计划。分析： 若按每月生产角钢一次，按批量3000吨。则全年需总费用：12*（5.3*1/2*3000+2500)=125400元/年Page:33分析 由E.O.Q公式计算生产批量： 全年批次： n0=3000*12/Q0=21.4 间隔时间： t0=365/21.4=17天 全年所需总费用：108037元 可节约 费用17363元16823 . 53000*2500*20QPage:34模型二、不允许缺货、生产需要

14、时间模型二、不允许缺货、生产需要时间 生产速度生产速度P PT时间时间库库存存水水平平最高库存最高库存Q平均库存平均库存 Q/2一年一年12)(CtTRPt-T边生产边销售期边生产边销售期销售期销售期tPage:35 变量：变量： 最大存储量最大存储量=最大订购量：最大订购量：Q 订货周期：订货周期： t 边生产边销售期：边生产边销售期：T 存储期：存储期：t-T 关系：关系： Q=(P-R)T=R(t-T)模型二、不允许缺货、生产需要时间模型二、不允许缺货、生产需要时间Page:36平均费用平均费用C(t) C(t) 存储费调整费存储费调整费31Ct1C2R)-(PtPR最佳生产周期最佳生产

15、周期：RPP130RC2Ct每次最佳生产批量：每次最佳生产批量：RPP1300C2RCRtQT T与与t t 的关系：的关系：RtPT )()(TtRTRPPage:37例4 某厂每月需产品100件，每月生产率为500件，每批装配费为5元，每月每件产品存储费为0.4元，问应如何安排生产使总费用最少？Page:38分析 已知：C3=5, C1=0.4, P=500, R=100 最佳周期：t0=Q0/R=56/100=0.56(月）（件）563125)(2130RPCRPCQPage:39例5 某商店经销甲商品，成本单价为500元，年存储费为成本的20%，年需求量365件需求速度为常数，甲商品的

16、订购费为20元，提前期为10天，求E.O.Q.和最低费用。Page:40t进货周期进货周期时间时间库库存存水水平平最高库存最高库存 Q12tCRtt1Page:41分析 C1=500*0.2=100元/年.件；R=365件/年； C3=20元 12100365*20*22130CRCQ件1010*365/10 RR当库存降至当库存降至1010件时，就开始订货。件时，就开始订货。天年12033. 0365/12/00RQtPage:42模型三：允许缺货、瞬时生产时间模型三：允许缺货、瞬时生产时间 缺货期缺货期t2t1库存期库存期时间时间库库存存水水平平最高库存最高库存S平均库存平均库存S/2一一

17、 年年缺货量缺货量Q1112CtRt2222CtRttQPage:43 变量： 最大存储量：S 最大订购量：Q 最大缺货量：Q-S 订货周期： t=t1+t2 存储期：t1 缺货期：t2 关系： S=Rt1 t1=S/R模型三：允许缺货、瞬时生产时间模型三：允许缺货、瞬时生产时间 缺货期缺货期t2t1库存期库存期时间时间库库存存水水平平最高库存最高库存S平均库存平均库存S/2一一 年年缺货量缺货量Q1112CtRt2222CtRttQPage:44t时间内平均费用时间内平均费用C(t1, t2) 存储费订货费缺货费存储费订货费缺货费)22(1222311121CtRtCCtRttt最佳订货周期

18、：最佳订货周期：22113210CCCRC2CtttPage:45最佳订货批量最佳订货批量)(2S211320CCCRCC22113002RtQCCCCRC最大库存量最大库存量最佳缺货量最佳缺货量00S-QPage:46三个模型的经济批量公式比较三个模型的经济批量公式比较130RC2Ct1300C2RCRtQ模型一模型一RPP130RC2CtRPP130C2RCQ模型二模型二2211302QCCCCRC221130CCCRC2Ct模型三模型三在模型二和三中，订货时间间隔比模型一时延长了，定货量也增大。Page:47模型四：允许缺货、需生产时间模型四：允许缺货、需生产时间 生产速度生产速度P P

19、t1时间时间库库存存水水平平最高库存最高库存S一年一年t2边生产边销售期边生产边销售期销售期销售期t缺货期缺货期t3Page:48模型四：允许缺货、需生产时间模型四：允许缺货、需生产时间 变量：变量： 最大存储量：最大存储量：S 最大订购量：最大订购量：Q 最大缺货量：最大缺货量：B=Q-S 缺货期：缺货期：0,t2，t1 ; 存储期：存储期：t2,t,t3;Page:49模型四：允许缺货、需生产时间模型四：允许缺货、需生产时间 关系：关系： 缺货量：缺货量：B=Rt1=(P-R)(t2-t1) t1=(P-R)t2/P 存储量：存储量：S=(P-R)(t3-t2)=R(t-t3) (t3-t

20、2)=R(t-t2)/PPage:50模型四：允许缺货、需生产时间模型四：允许缺货、需生产时间 在在0,t时间内的费用：时间内的费用： 存储费存储费=存储量存储量*C1 缺货费缺货费=缺货量缺货量*C2 定购费（装配费）定购费（装配费）=C3Page:51模型四：允许缺货、需生产时间模型四：允许缺货、需生产时间PRPCCCCRC2211302QPRP221130CCCRC2CtPRPCCCCRC2121302SPRPCCCRCC2123102CPage:52价格有折扣的情况价格有折扣的情况 价格-订购量关系如下图所示Page:53价格有折扣存储问题 根据价格-订购量关系图，给出它们的数学关系如

21、下QQKQQQKQQKQK2321211,0,)(Page:54费用分析 平均单位货物费用为QQKCRQQCQC)(21)(31n一个周期内，所需费用为1331212311131,2)(),2)(), 0,2)(QQKQCQRCQCQQQKQCQRCQCQQKQCQRCQCIIIIIIPage:55平均单位货物费用图示Page:56求经济批量的方法 求经济批量的步骤 计算Q0 若Q0Q1，计算 求 得经济批量Q* 若Q1Q0Q2，计算 并由 确定经济批量Q* 若Q2Q0，则经济批量Q*= Q0。130231202)(CRCQQCRCQQC得n各费用曲线的最低点)()()(210QCQCQCII

22、IIII、)(),(),(min210QCQCQCIIIIII)()(20QCQCIIIII、)(),(min20QCQCIIIIIPage:57例 1 某医院药房每年需某种药品1600瓶，每次订购费为5元，每瓶药品每年保管费0.1元，试求每次应订多少瓶？Page:58价格有折扣问题举例解：首先计算n在例1中，假如制药厂提出若一次订购800瓶以上，价格为9.8元/瓶，否则为10元/瓶，应如何订购？800, 8 . 9800,10)(QQQK4002130CRCQPage:59求解（续）由于400800，又 C(400)=16040元/年而 C(800)=15730元/年可以看出 C(800)C

23、(400)所以最佳采购批量是Q=800瓶/次。Page:60再举一例 在上例中，如果R=900瓶/年，C1=2元/瓶.年，C3=100元/次，折扣政策Q900瓶/次，每瓶10元，Q900瓶/次，每瓶9.9元。医院应采取什么存储策略？ 解：计算经济批量 计算C(300)和C(900)(3002/90010020瓶QPage:61计算结果 因为C(300)C(900)，因此应当一年采购三次，每次300瓶，而不是一年采购一次，每次900瓶。9900229009 . 9900900100900)900(96002230010900300100900)300(CCPage:62四个模型的经济批量公式比较

24、四个模型的经济批量公式比较130RC2Ct1300C2RCRtQ模型一模型一RPP130RC2CtRPP130C2RCQ模型二模型二2211302QCCCCRC221130CCCRC2Ct模型三模型三PRPCCCCRC2211302QPRP221130CCCRC2Ct模型四模型四Page:63修正的EOQ模型：库存容量有限 当经济批量Q大于库存容量W时，我们作如下假设: 按经济批量采购，多余部分存储在租用库房，单位租用存储费用CW首先使用租用库房的物品，用完后使用自己库房的物品，用完后再次采购。 存储费用有两部分租用库房存储费自己库房存储费Page:64库存容量有限库存量变化图Page:65库

25、存量有限时库存费用分析 租用库房费用 自己库房费用：也分两部分：tw内的和(tC-tW)内的。RQtRWQtCW,RWQCtWQCCWWW2)(212)(租Page:66自己库房费用 tw时间内的费用： (tC-tW)时间内的费用 自己库房的费用WWtC12/)(1WttCWCWWtC12/)(1WttCWCRWWQC2)2(21Page:67总费用 单位时间总费用RWWQCRWQCCTCW)2(21)(212123WCCQCQCCWRCQWWQCQWQCQRCRtWWQCRtWQCtCCWWWWCCWC)(22)(2)2(21)(21)2(21)(21112321232123Page:68修

26、正EOQ模型的解 由 得 当 说明当租用库房费用太高时，宁愿不租。0dQdCWWCCCWRCQ)(2123*WWQCW2*时，Page:69随机离散需求下的库存模型随机离散需求下的库存模型Page:70随机存储问题 需求是随机的，但分布概率已知，缺货应从概率的意义上来理解。 因为需求随机，因此进货太少，将失去销售机会，进货太多，则因滞销造成损失。 随机存储策略的优劣多数用盈利期望值的大小来衡量，而不是只考虑成本。Page:71随机需求下的库存问题随机需求下的库存问题例例 某商店拟在新年期间出售一批日历画片，每售出一千张可赢利7元，如果在新年期间不能出售，必须削价出售，由于削价，一定可以售完，此

27、时每千张赔损4元，已知市场需求概率见下表，每年只能订货一次，问应订购多少张日历才能使获利最大。需求(千张)012345概率0.050.150.1Page:72分析 我们可以计算出商家不同定购量和不同需求量时的损益值，和风险决策相似，给出损益表 rQ012345期望期望值值0.050.150.100123450-4-8-12-16-20073-1-5-90714106207142117130714212824071421283506.4511.814.413.110.2Page:73损失分析法 商店的损失包括：滞销损失和缺货损失，当rQ，只有缺货损失

28、，因此我们可给出损失表如下。 rQ012345期望期望值值0.050.150.100123450-4-8-12-16-20-70-4-8-12-16-14-70-3-8-12-21-14-70-4-8-28-21-14-70-4-35-28-21-14-70-19.2-12.8-7.45-4.85-6.1-9Page:74分析结果 最大利润期望值法和最小损失期望值的结果一致，都是3千张。 最大利润期望值法与决策分析最大期望效益原则的思路一致，最小损失期望值法与决策分析中最小期望机会损失原则一致。事实上，后一张表是由前一张表各列减去该列最大元素所得。Page:75单期模型

29、（Single Period Model) 单期模型是指为了满足某一规定时期的需要只发生一次订货的情况，用于短时期有需求而在此后就失去价值或过时变质的物品。这类模型通常被称为报童问题。Page:76报童问题 报童问题的假设报童每天售报数量是一个随机变量。报童每售出一份报纸可赚k元，若报纸未售出，每份赔h元。每日售出报纸份数r的概率P(r)是已知的，问报童每日最好准备多少份报纸可使利润最大？Page:77报童问题解：设每日报的需求量为r，报童的订购 量为Q，先计算报童利润期望值。 当rQ时，报童只能售出r份，滞销 (Q-r)份， 因此利润 )(rQhkrPage:78报童利润的数学期望 当需求量

30、r订购量Q时，利润期望值为 当需求量r订购量Q时，报童只有Q份供销售，因此利润为 kQ，其期望值是1)(QrrkQPQrrprQhkr0)()(Page:79报童问题的盈利总期望值 设最大期望利润的定购量为Q*，所以QrQrQrQrQrrPrQhrkQPrkrPrkQPrprQhkrQC01010)()()()()()()()() 1()() 1()(*QCQCQCQCPage:80最优条件 由第一个条件可得 由第二个条件可得 因此得最优条件0)()(10QrQrrPkrPhhkkrPQr10)(hkkrPQr0)(QrQrrPhkkrP010)()(Page:81报童问题举例 某报同一天的售

31、报数量是随机的，每千张报可获利7元，如果当天买不出，每千张赔4元。根据以前的经验，每天售出报纸数量r的概率为 问每天应进多少张？需求r(千张)012345概率P(r)0.050.150.10Page:82报童问题的最优条件求解 解：因为k=7，h=4，所以 由于 所以 Q*=3（千张），利润期望值最大636.0117 hkk75.0)(,40.0)(3020rrrPrP元4 .1440. 225. 555.11)25. 011 . 0205. 03(425. 037)35. 0325. 021 . 01 (7)3(CPage:83报童问题的最小损失期望值法 报童问题是需

32、求随机离散的存储问题的典型问题，前面已根据最大利润期望值法获得了最优解条件，该条件给出如下 也可用最小损失期望值法得到相同的最优解条件。QrQrrPhkkrP010)()(Page:84最小损失法确定最优解条件 设单位进货过量的单位损失是h，进货不足造成的单位损失为k(一般即为售出一份的利润），那么 当rQ时的缺货损失是QrrPrQh0)()(1)()(QrrPQrkPage:85总损失与边际分析不等式 总的期望损失为 边际分析不等式QrQrrPQrkrPrQhQC01)()()()()() 1()() 1()(*QCQCQCQCPage:86最优解条件 和最大利润期望值法相同的分析可得如下的

33、最优解条件 与最大利润期望值法的最优解条件相同。QrQrrPhkkrP010)()(Page:87再举一例 某店拟销售某商品，该商品进价为50元，售价为70元；但若售不完，必须减价为40元才能售出。已知售货量r服从泊松分布 其中 是平均售货数。问该店应订购该商品多少？解：已知 k=20，h=10，首先计算!)(rerPr6Page:88求解 得比值 因为 ，令 查表得 F(6)=0.606，F(7)=0.744，所以最佳订购量应为7件。 讨论 若k=10元， h=20元，则情况将怎样变化？请讨论其原因。QrrQrrerPQF060!6)()(6667.03020 hkkPage:89报童模型的

34、另一种分析方法 报童订报时，若订得太多，卖不掉就会受到亏损；但若订得太少，由于不够卖就会因缺货而损失可得的利润。 订货逐渐增多，当增加到n件时，第n件的期望盈利（(Expected Profit)第n件的期望损失(Expected Lost)（而第n+1件的期望盈利h， 当需求是随机的时候,要用概率表示平衡点的条件： P*k(1-P)*h 其中P是第n件被卖掉的概率，1-P是第n件卖不掉的概率； 解上式可得解上式可得:Ph/(k+h) 可根据上式来求订货量n。Page:92单期模型单期模型Page:93Page:94单期模型单期模型Page:95单期模型单期模型hkhPage:96单期模型单期模型2.kkhhPage:97需求是随机的报童模型Page:98Page:99Page:100Page:101Page:102Page:103Page:104本章要求本章要求 理解库存问题的基本概念 掌握四个确定性库存模型的分析过程和经济批量公式,以及模型之间经济批量的关系; 了解具有价格折扣的库存问题的分析方法; 掌握具有随机离散需求的报童模型的分析方法.Page:105随机需求情形下的库存分析随机需求情形下的库存分析 特点特点:需求量随机需求量随机备货期随机备货期随机Page:106随机需求的特征随