高数2课件10-3

1、1;.,:21nVVV 分分割割方方法法仍仍然然采采用用定定积积分分的的思思想想( (1 1) )物理问题物理问题：设有非均匀立体占有空间区域设有非均匀立体占有空间区域 ,其上各其上各点点(x,y,z)处的密度为连续函数处的密度为连续函数f (x,y,z),求该物体的质量求该物体的质量. f(x,y,z)yxzO3. 3. 三重积分三重积分;.),( :iiiiiVfM 近近似似( (2 2) ) niiiiiVfM1;),( : :(3)(3)求和求和.),(lim :10 niiiiiVfM 极限极限取取(4)(4)2即即 dvzyxf),(iiiniivf ),(lim10 .叫叫做做体

2、体积积元元素素dv一、三重积分的概念一、三重积分的概念定义定义设设),(zyxf是空间有界闭区域是空间有界闭区域 上的有界函数上的有界函数, ,将闭区域将闭区域 任意分成任意分成 n 个小闭区个小闭区1v , ,2v , ,nv ，其中其中iv 表示第表示第 i个小闭区域，也表示它的个小闭区域，也表示它的体积体积, , 在在每每个个iv上上任任取取一一点点),(iii 作作乘乘积积iiiivf ),( ， 则则称称此此极极限限为为),(zyxf在在闭闭区区域域 上上的的三三重重积积分分，记记为为 dvzyxf),(, , ,),(1 niiiiivf 并并作作和和，存在存在如果极限如果极限 n

3、iiiiivf10),(lim 3, 划划分分来来用用平平行行于于坐坐标标面面的的平平面面在在直直角角坐坐标标系系中中，如如果果.lkjizyxv 则则.积积元元素素叫叫做做直直角角坐坐标标系系中中的的体体其其中中 dxdydz三重积分的物理意义三重积分的物理意义：空间物体的质量空间物体的质量. dvzyxfM),(注注: 三重积分有如二重积分类似的性质三重积分有如二重积分类似的性质,不再重复不再重复.此此外外,当函数当函数f (x,y,z)在区域在区域 上连续时上连续时,三重积分必存三重积分必存在在,以后恒设被积函数连续以后恒设被积函数连续. dxdydzzyxfdvzyxf),(),(dx

4、dydzdv 从而从而41. 在直角坐标系中三重积分的计算在直角坐标系中三重积分的计算二、三重积分的计算二、三重积分的计算xyzo D1z2z2S1S),(1yxzz ),(2yxzz ab)(1xyy )(2xyy ),(yx如图，如图，,Dxoy面面上上的的投投影影为为闭闭区区域域在在闭闭区区域域 ),(:11yxzzS ,),(作直线作直线过点过点Dyx 穿穿出出穿穿入入，从从从从21zz的的函函数数，只只看看作作将将看看作作定定值值，先先将将zzyxfyx),(,),(:22yxzzS 5 ),(),(21),(yxzyxzdzzyxf上上的的二二重重积积分分在在闭闭区区间间计计算算D

5、yxF),(.),(),(),(),(21 DyxzyxzDddzzyxfdyxF ,),()(:21bxaxyyxyD 得得 dvzyxf),(.),()()(),(),(2121 baxyxyyxzyxzdzzyxfdydx注意注意:相交不多于两点情形相交不多于两点情形的边界曲面的边界曲面闭区域闭区域内部的直线与内部的直线与轴且穿过闭区域轴且穿过闭区域这是平行于这是平行于Sz 先先z 后后y 再再x 顺序的积分（三次积分）顺序的积分（三次积分）先一后二法先一后二法 ),(yxF则则6围围成成的的有有界界闭闭区区域域. .平平面面三三个个坐坐标标面面及及计计算算1 :, zyxxyzdxdy

6、dzI1 1例例 .10,10,10:yxzxyx yxxxyzdzdydxI101010 121 10210 xdy)yx( ydx xyxxdyzyxdx101020)21( )1 ( 2)1 (211032210dyyyxxydxx D1x+y =111z=1-x-yOxyz解解.7201)1(241104 dxxx7例例 2 2 化三重积分化三重积分 dxdydzzyxfI),(为三为三次积分，其中积分区域次积分，其中积分区域 为由曲面为由曲面 222yxz 及及22xz 所围成的闭区域所围成的闭区域. 解解由由 22222xzyxz,故故 : 22222221111xzyxxyxx,

7、 .),(11221122222 xyxxxdzzyxfdydxI 得得 投投影影区区域域 , 122 yx 8例例3 化三重积分化三重积分 dxdydzzyxfI),(为三为三 次积分，其中次积分，其中 积分区域积分区域 为由曲面为由曲面22yxz , 2xy ,1 y, 0 z所围成的空间闭区域所围成的空间闭区域. 1101222),(yxxdzzyxfdydxI.解解 .0, 1, 11:222yxzyxx 如图，如图， 9围围成成; ;由由曲曲面面为为三三次次积积分分. .练练习习：化化三三重重积积分分1,:)1(),(22 zyxzdVzyxfI . 1,11 , 11:2222zy

8、xxyxx .,111112222 yxxxdzzyxfdydxI解解（1）10（2）所所围围成成；及及由由0, 0,422 zyyxxz .40,0, 20:2xzxyx .),(240020 xxdzzyxfdydxI解解（2）1122224121. )(304121;2121:xyxzyxx .)(302224121241212121 yxxxfdzdydxI解解（3）., 0, )(3:)3(2222围成围成柱面柱面由锥面由锥面yyxzyxz 12.1,22围围成成由由计计算算积积分分例例4 4 zyxzdVz ).10 ( ,:222 zzyxDz 102dzzzI 122yxDzd

9、zdI xyzD先二后一法先二后一法先一后二法先一后二法Dz zDzdxdydzI10解解2解解1 111112222yxxxzdzdydx1 zDdxdyzdz10.4 13 x0z yzyxzyxfIddd ),( c1c2z Dz计算三重积分的另一思路计算三重积分的另一思路（对有的问题适用）（对有的问题适用）14 x0z yzyxzyxfIddd ),( c1c2 . 计算三重积分的另一思路计算三重积分的另一思路（对有的问题适用）（对有的问题适用）zDz15 x0z yzyxzyxfIddd ),( c1c2 I = 21dccz zDyxx,y,zfd)d(. 计算三重积分的另一思路计

10、算三重积分的另一思路（对有的问题适用）（对有的问题适用）zDz16x0z yzyxzyxfIddd ),( c1c2计算三重积分的另一思路计算三重积分的另一思路（对有的问题适用）（对有的问题适用）. I = 21dccz zDyxx,y,zfd)d(17先二后一法先二后一法（坐标轴投影法、截面法坐标轴投影法、截面法）的一般步骤：）的一般步骤： (3) 计计算算二二重重积积分分 zDdxdyzyxf),( 其其结结果果为为 z 的的函函数数)(zF； z注注：当：当 面积易求，面积易求，f (x,y,z)=f (z)时，这种方法简便时，这种方法简便.zD(2) 对对,21ccz 用用过过 z 轴

11、轴且且平平行行xoy平平面面的的平平面面去去截截 ，得得截截面面zD; (1) 把把积积分分区区域域 向向某某轴轴（例例如如 z 轴轴）投投影影，得得投投影影区区间间,21cc； (4)最最 后后 计计 算算 定定 积积 分分 21)(ccdzzF 即即 得得 三三 重重 积积 分分 值值 . 18练练习习： 计计算算三三重重积积分分 zdxdydz，其其中中 为为三三个个坐坐标标面面及及平平面面1 zyx所所围围成成的的闭闭区区域域. 解解（一一） zdxdydz,10 zDdxdyzdz zDdxdy原原式式 102)1(21dzzz241 .xozy111zD)1)(1(21zz 19

12、zdxdydz解解（二二） zzydxdyzdz101010 zdyzyzdz1010)1( 102)1(21dzzz241 .xozy11120 xyzozD解解)1()1(222222czbczadxdyzD ),1(22czab ccdzzczab222)1(.1543abc 原式原式21例例 6 6 计计算算三三重重积积分分dxdydzxy 21，其其中中 由由曲曲面面221zxy ，122 zx，1 y所所围围成成.解解 如图如图,先对先对y积分，积分， 再求再求xzD上二重积分上二重积分,:xzD 122 zx,将将 投影到投影到zox平面得平面得 112221zxDydydxdz

13、xxz原式原式dzzxdxxxx21221111222 dxzzxxx21032112)3(1 1142)21(31dxxx.4528 思考思考: 若被积函数为若被积函数为 f ( y ) 时时, 如何计算简便如何计算简便? 22xyz例例 7 7 将将 1010022),(yxdzzyxfdydx按按xzy , 的的次次序序积积分分. 解解1D 2D .0, 10:21xzxD .1, 10:222xzxxD 10100),(2dyzyxfdzdxx原原式式 1101222),(xzxxdyzyxfdzdx.23三重积分的定义和计算三重积分的定义和计算在直角坐标系下的体积元素在直角坐标系下的

14、体积元素dxdydzdv （计算时将三重积分化为三次积分）（计算时将三重积分化为三次积分）小 结24;),()(201222 xxdzzyxfdydxA;),()(202212 xxdzzyxfdydxB;),()(201222 xxdzzyxfdydxC.),()(202212 xxdzzyxfdydxD思考题思考题 为为六六个个平平面面0 x，2 x，1 y，42 yx，xz ，2 z围围成成的的区区域域，),(zyxf在在 上上连连续续，则则累累次次积积分分_ dvzyxf),(. 252. 2. 在柱面坐标系下三重积分的计算在柱面坐标系下三重积分的计算,0 r,20 . z的柱面坐标的

15、柱面坐标就叫点就叫点个数个数，则这样的三，则这样的三的极坐标为的极坐标为面上的投影面上的投影在在为空间内一点，并设点为空间内一点，并设点设设MzrrPxoyMzyxM,),( 规定：规定：xyzo),(zyxM),(rPr .,sin,coszzryrx 柱面坐标与直角坐标的关系为柱面坐标与直角坐标的关系为26为常数为常数r为常数为常数z为常数为常数 如图，三个坐标面分别为如图，三个坐标面分别为圆柱面圆柱面；半平面；半平面；平平 面面如图，柱面坐标系中的体积元素为如图，柱面坐标系中的体积元素为dzrdrddv drxyzodzdr rd dxdydzzyxf),(.),sin,cos( dzr

16、drdzrrf ),(zyxM),(rPrzxyzo27xz y0 drrrd d z平面z元素区域由六个坐标面围成：元素区域由六个坐标面围成：半平面半平面 及及 +d ; 半径为半径为r及及 r+dr的园柱面；的园柱面； 平面平面 z及及 z+dz；柱面坐标下的体积元素柱面坐标下的体积元素28xz y0 drrrd d z底面积底面积 ：r drd 元素区域由六个坐标面围成：元素区域由六个坐标面围成：半平面半平面 及及 +d ; 半径为半径为r及及 r+dr的园柱面；的园柱面； 平面平面 z及及 z+dz；dz平面平面z+dz.柱面坐标下的体积元素柱面坐标下的体积元素29xz y0 drrr

17、d d z底面积底面积 ：r drd 元素区域由六个坐标面围成：元素区域由六个坐标面围成：半平面半平面 及及 +d ; 半径为半径为r及及 r+dr的园柱面；的园柱面； 平面平面 z及及 z+dz；dz ),sin,cos(zrrf zrrdddzyxddddV =zrrddd .zyxzyxfddd ),( dV柱面坐标下的体积元素柱面坐标下的体积元素30一般地一般地,当积分区域在坐标面上的投影区域是当积分区域在坐标面上的投影区域是圆圆或者或者扇形扇形域域,被积函数含有式子被积函数含有式子x2+y2时时,用柱用柱坐标计算比较简单坐标计算比较简单(x2+y2=r2).适用范围适用范围:1) 积

18、分域积分域表面用柱面坐标表示时表面用柱面坐标表示时方程简单方程简单 ;2) 被积函数被积函数用柱面坐标表示时用柱面坐标表示时变量互相分离变量互相分离.31OOxyz例例1. 计算三重积分计算三重积分解解: 在柱面坐标系下在柱面坐标系下h: hz42d hh2022d)4(12 4)41ln()41(4hhh hz h20 20 h202d1 20d ,1ddd22 yxzyxzyx422 )0( hhz所围成所围成 .与平面与平面其中其中 由抛物面由抛物面42 zvdddd原式原式 =32例例2 利用柱面坐标计算三重积分利用柱面坐标计算三重积分, dxdydzz其中其中 所所围围成成的的闭闭区

19、区域域。与与平平面面是是由由曲曲面面 4 22 zyxz解解画画 图图xyzo4xyzo4Ao22 r ),( r dxdydzz . dzddrrz 420202 rdzzrdrd 204222 2drzrr .364 33练习练习 计算三重积分计算三重积分, )(22 dvyx其中其中 是由曲是由曲所所围围成成。与与平平面面面面 )0( 22 HHzyxz解解 将将 向向 xoy 面投影，得面投影，得xyzoHxyzoHxyoHHH H ),( r dvyx )(22. 2 dzddrrr HrHdzdrrd 0320 HdrrHr043)(2 .10 5H 222 :HyxD 34解解

20、zyxyxz342222由由面面的的投投影影，在在求求xoy , 3, 122 yxz 23242030rrzdzrdrdI .413 面的投影域为：面的投影域为：在在即闭区域即闭区域xoy , 322 yx也可采用先二后一的方法计算也可采用先二后一的方法计算 ),( r352axyzO其中其中 为为例例4. 计算三重积分计算三重积分zyxyxzddd22 xyx222 0),0(, 0 yaazz所所解解: 在柱面坐标系下在柱面坐标系下: cos202d dcos342032 a cos20 20 az 0及平面及平面zvdddd 20d azz0dzzddd2 原原式式298a 由柱面由柱

21、面 cos2 围成半圆柱体围成半圆柱体.36解一解一由由 022xzy 绕绕 oz 轴旋转得，轴旋转得，旋旋转转面面方方程程为为,222zyx 如图，如图， 2D1D所所围围立立体体与与为为由由设设82221 zzyx所所围围立立体体与与为为由由22222 zzyx:2D, 422 yx:1D,1622 yx投影区域如图，投影区域如图， 37,)()(21222221 dxdydzyxdxdydzyxIII12822Drdzrrdrd 22222Drdzrrdrd 82402022rdzrrdrd 22202022rdzrrdrd 345 625 33638解二解二旋旋转转面面方方程程为为,2

22、22zyx 2D1D 82422022rrdzrdrdI .8222020 rdzrdrd 解三解三 先二后一法先二后一法390 xz y x y zM(r, , )r Nyxz cos sinr sin sinr cosr3. 3. 在球面坐标系下三重积分的计算在球面坐标系下三重积分的计算的的球球面面坐坐标标叫叫做做点点就就，这这样样的的三三个个数数Mr)( ,r 0.20 ,0 规定：规定：40面面上上的的投投影影，在在为为点点的的角角，这这里里向向线线段段轴轴按按逆逆时时针针方方向向转转到到有有轴轴来来看看自自为为从从正正轴轴正正向向所所夹夹的的角角，与与为为有有向向线线段段距距离离，间

23、间的的与与点点为为原原点点其其中中来来确确定定，次次序序的的数数可可用用三三个个有有一一点点，则则点点为为空空间间内内设设xoyMPOPxzzOMMOMzyxM ),(MP41球面坐标的坐标面球面坐标的坐标面 r =常数常数: =常数常数:球面球面S半半平面平面P动点动点M(r, , )M yz x0 =常数常数:锥面锥面C42 r drd rsin xz y0圆锥面圆锥面 rd 球面r圆锥面圆锥面 +d 球面球面r+d r元素区域由六个坐标面围成：元素区域由六个坐标面围成：d rsin d 球面坐标下的体积元素半平面半平面 及及 +d ； 半径为半径为r及及r+dr的球面；的球面；圆锥面圆锥

24、面 及及 +d 43r drd xz y0d rd 元素区域由六个坐标面围成：元素区域由六个坐标面围成：rsin d .半平面半平面 及及 +d ； 半径为半径为r及及r+dr的球面；的球面；圆锥面圆锥面 及及 +d zyxzyxfddd ),( r 2sin drd d dVdV =球面坐标下的体积元素2 ( sincos , sinsin , cos.nsi)f rrrdr ddr 44 dxdydzzyxf),(2 ( sincos , sinsin , cos.nsi)f rrrdr ddr 球面坐标系中的体积元素为球面坐标系中的体积元素为,sin 2 dddrrdv 如图，如图，rx

25、yzodr dsinr rd d d d sinr再根据再再根据再 中中 r， ， 的关系，化为三次积分。的关系，化为三次积分。一般，先对一般，先对 r 积分，再对积分，再对 ，最后对，最后对 积分。积分。45若若 的边界曲面与球面有关，而被积函数中的边界曲面与球面有关，而被积函数中含有含有 的因子，则以选用球面坐标系的因子，则以选用球面坐标系. 222zyx 一般地一般地,当积分区域在坐标面上的投影区域是当积分区域在坐标面上的投影区域是圆圆或者或者扇形扇形域域,被积函数含有式子被积函数含有式子x2+y2时时,用柱坐标计算比用柱坐标计算比较简单较简单(x2+y2=r2).其余的可考虑选用直角坐

26、标系其余的可考虑选用直角坐标系.46例例1 用球面坐标计算用球面坐标计算. 2 dvz其中其中. 1 :222 zyx解解画画 图。图。确定确定 r， ， 的上下限。的上下限。(3) 得得. 20 (2) 过过 z 轴作半平面，得轴作半平面，得.0 (1) 过原点作过原点作射线，得射线，得. 10 rxyzo dvz2 1024020 sin cosdrrdd 10402 sin cos2drrd 47 02 sin cos52d 0220)(cos cos51dd 20 0 33cos51d 20152d.154 dvz2 10402 sin cos2drrd 48练习练习.求曲面求曲面)0

27、()(32222 azazyx所围立体体积所围立体体积.解解: 由曲面方程可知由曲面方程可知, 立体位于立体位于xOy面上部面上部,cos0:3 ar 利用对称性利用对称性, 所求立体体积为所求立体体积为 vVdrrad3cos02 dcossin32203 a331a 3cos ar ,20 20 20dsin 20d4 yOz面对称面对称, 并与并与xOy面相切面相切, 故在球坐标系下所围立体为故在球坐标系下所围立体为且关于且关于 xOz dddsind2rrv yzxaOr49例例2 计算计算. )( 222 dvzyx其中其中 由曲面由曲面22yxz 和和2222Rzyx 围成。围成。

28、)0( R解解xyzoR .0,40,20 :Rr dddrrr 2 2sin Rdrrdd044020 sin dvzyx )( 222).22(515 R 50若若 的边界曲面与球面有关，而被积函数中含有的边界曲面与球面有关，而被积函数中含有 x2+y2 +z2的因子，则以选用球面坐标系的因子，则以选用球面坐标系. . 一般地一般地, ,当积分区域当积分区域 在坐标面上的投影区域是圆或者扇形在坐标面上的投影区域是圆或者扇形域域, ,被积函数含有式子被积函数含有式子x2+y2时时, ,用柱坐标计算比较简用柱坐标计算比较简单单(x2+y2=r2).51例例 3 3 计计算算 dxdydzyxI

29、)(22，其其中中 是是锥锥面面222zyx ， 与与平平面面az )0( a所所围围的的立立体体. 解解 1 采采用用球球面面坐坐标标 az ,cos ar222zyx ,4 dxdydzyxI)(22drrdda 40cos03420sin da)0cos(51sin255403.105a 52解解 2 采采用用柱柱面面坐坐标标 ,:222ayxD dxdydzyxI)(22 aradzrrdrd2020 adrrar03)(254254aaa .105a 222zyx , rz ,0,20:azrar 53例例 4 4 求求立立体体22222azyx 与与22yxz 公公共共部部分分的的

30、立立体体体体积积. 解解1 由二重积分性质知：由二重积分性质知： xyDdxdyyxzyxzV),(),(1222222),(yxayxz 其其中中221yxz 222),(ayxyxDxy ),(2yxz),(1yxz54例例 4 4 求求立立体体22222azyx 与与22yxz 公公共共部部分分的的立立体体体体积积. 解解2 由由锥锥面面和和球球面面围围成成，采采用用球球面面坐坐标标，由由22222azyx ,2ar 22yxz ,4 由由三三重重积积分分的的性性质质知知 dxdydzV, adrrddV202020sin4 4033)2(sin2da.)12(343a xyzoR55围

31、围成成. .与与由由计计算算22222224)(3,5yxzyxzdVzyxI 例例. 20 ,60 ,20:)( r 球球dzzrrdrdIrr 201043222柱柱 )32( 4422322sin42060202 drrrddI球球;43, 10 ,20:)(2rzrr 柱柱解解56补充：利用对称性化简三重积分计算补充：利用对称性化简三重积分计算使用对称性时应注意使用对称性时应注意：、积分区域关于坐标面的对称性；、积分区域关于坐标面的对称性；、被积函数在积分区域上关于变量、被积函数在积分区域上关于变量x，y，z的的一一般般地地，当当积积分分区区域域 关关于于xoy平平面面对对称称，且且被

32、被积积函函数数),(zyxf是是 z 的的奇奇函函数数，则则三三重重积积分分为为零零，若若被被积积函函数数),(zyxf是是 z 的的偶偶函函数数， 则则三三重重积积分分为为 在在xoy平平面面上上方方的的半半个个闭闭区区域域的的三三重重积积分分的的两两倍倍. 奇偶性奇偶性57例例 6 利用对称性简化计算利用对称性简化计算 dxdydzzyxzyxz1)1ln(222222 其中积分区域其中积分区域1| ),(222 zyxzyx. 解解积分域关于积分域关于xoy坐标面对称，坐标面对称，被积函数是被积函数是 的的奇函数奇函数,z. 01)1ln(222222 dxdydzzyxzyxz58解解

33、2)(zyx )(2222zxyzxyzyx 例例 7 7 计计算算 dxdydzzyx2)(其其中中 是是由由抛抛物物面面 22yxz 和和球球面面2222 zyx所所围围成成的的空空间间闭闭区区域域. 其其中中yzxy 是是 y 的的奇奇函函数数, 且且 关关于于zox面面对对称称, 0)(dvyzxy,同同理理 zx是是 x 的的奇奇函函数数, , 0 xzdv 且且 关于关于yoz面对称面对称,59则则 dxdydzzyxI2)(,)(222 dxdydzzyx在在柱柱面面坐坐标标下下：,20 , 10 r,222rzr , 122 yx投影区域投影区域 xyD： 222222010)

34、(rrdzzrrdrdI ).89290(60 计算量大！计算量大！60在在球球面面坐坐标标下下： ,)(222 dxdydzzyxIdxdydzzyx)(22221 20224020sin drrrdd 2sincos0222420sin drrrdd 22222sincossincos rrryxz).89290(60 61 212210310523)2()2(2 dzzzdzzdrrrr zzDDrrdxdyzdzdxdyzdzdzrrdrd22121022102022 dVzdVyxdVzyx222222)()(解法二解法二截面法截面法截面法截面法).89290(60 62围围成成;

35、;由由计计算算: :练练习习1,)(222 zyxzdVzyxI I dVzdVyxdVzyx222222)()(2222()2()xyzxyzxyxzyz 解解？0 zDrdxdyzdzdzrrdrdI2101210202 125)(21031053 dzzdrrr()xzxyyz dV 63作业作业P162 1(2),(3),(4); 4; 5; 7; 8; 9 (2); *10 (2) ; 11 (1), *(4)64内容小结内容小结zyxdddzddddddsin2rr积分区域积分区域多由坐标面多由坐标面被积函数被积函数形式简洁形式简洁, 或或坐标系坐标系 体积元素体积元素 适用情况适用情况直角坐标系直角坐标系柱面坐标系柱面坐标系球面坐标系球面坐标系* * 说明说明: :三重积分也有类似二重积分的三重