高数1概念性质

1、无穷级数0 = 0+0+0+ = (1 1)+ (1 1)+ = 1 1+ 1 1+ = 1+( 1+1)+( 1+1)+ =1例例1例例2（芝诺悖论芝诺悖论）一个人和乌龟赛跑，乌龟在人前面一个人和乌龟赛跑，乌龟在人前面1000米开始，并规定人的速度是乌龟的米开始，并规定人的速度是乌龟的10倍。倍。人跑了人跑了1000米时，乌龟跑了米时，乌龟跑了100米；人再跑米；人再跑100米时，米时，乌龟跑了乌龟跑了10米米;以此类推以此类推.结论是：人永远追不上乌龟结论是：人永远追不上乌龟.“一尺之棰，日取其半，万世不竭一尺之棰，日取其半，万世不竭”， 解 设龟速V0，则人速10V0，人跑1000米用时

2、100/V0，这时龟走了100米，人跑100米用时10/V0，这时龟走了10米，这10米人又用时10/V0，。总之，人追上龟用时：?.)01. 01 . 0110100(1.01. 01 . 0110100000000 vvvvvvT级数级数 数列极限的另一种表现形式；数列极限的另一种表现形式； 是表示函数，研究函数的性质以及进行数值是表示函数，研究函数的性质以及进行数值计算的一种工具；计算的一种工具； 傅氏级数是通信科学中重要工具。傅氏级数是通信科学中重要工具。内容内容 数项级数，函数项级数，将函数展开成幂级数项级数，函数项级数，将函数展开成幂级数与三角级数的问题。数与三角级数的问题。一、问

3、题的提出一、问题的提出1. 1. 计算圆的面积计算圆的面积R正六边形的面积正六边形的面积正十二边形面积正十二边形面积1a21aa 正正 形的面积形的面积n23 naaa 21naaaA 21即即 n10310003100310331. 2 naaaA212.小球从 1 米高处自由落下, 每次跳起的高度减少一半, 问小球是否会在某时刻停止运动? 说明道理.由自由落体运动方程2g21ts 知g2st 则小球运动的时间为1tT 22t32tg21 2122)2(1 212g1263. 2( s )设 tk 表示第 k 次小球落地的时间 , 二、级数的概念二、级数的概念1. 1. 级数的定义级数的定义

4、: : nnnuuuuu3211(常数项常数项)无穷级数无穷级数一般项一般项部分和数列部分和数列 s1 , s2 , , sn , niinnuuuus121级数的级数的部分和部分和,11us ,212uus ,3213uuus ,21nnuuus 问题：这样的无穷和是如何相加的？结果又怎样？项项2. 2. 级数的收敛与发散级数的收敛与发散: :即即常数项常数项级数收敛级数收敛( (发散发散) )nns lim存在存在( (不存在不存在) )余项余项nnssr 21nnuu 1iinu即即 ssn 误误差差为为nr)0lim( nnr级数收敛级数收敛的 N 定义：例例 写出下列级数写出下列级数

5、的通项，并以的通项，并以 的形式表示。的形式表示。 24534232xxxxx 1nnu解解 将上述级数写成更有规律的形式将上述级数写成更有规律的形式 2423222145342312xxxx故原级数可写成故原级数可写成一般项为一般项为 2111nnnxnnu 12111nnnxnn解解)1( q12 nnaqaqaqasqqan 1)1(,1时时当当 q0lim nnqqasnn 1lim,1时时当当 q nnqlim nnslim级数级数收敛收敛级数级数发散发散时时如如果果1 q,1时时当当 q,1时时当当 q nasn级数级数发散发散 aaaa级级数数变变为为不不存存在在nns lim级

6、数级数发散发散 综上综上 发发散散时时当当收收敛敛时时当当,1,10qqaqnn例例 2 2 判判别别无无穷穷级级数数 )12()12(1531311nn 的的收收敛敛性性. .解解)12)(12(1 nnun),121121(21 nn)12()12(1531311 nnsn)121121(21)5131(21)311(21 nn)1211(21limlim nsnnn),1211(21 n,21 .21, 和和为为级级数数收收敛敛技巧技巧:利用 “拆项相消拆项相消” 求和(2).(2). 判别下列级数的敛散性: 11lnnnn解解:12lnnSnnln) 1ln()2ln3(ln) 1ln

7、2(ln) 1ln( n）n(所以级数发散 ;技巧技巧:利用 “拆项相消拆项相消” 求和23ln34lnnn1ln 例例3.判别级数2211lnnn的敛散性 .解解:211lnn221lnnn nnnln2) 1ln() 1ln(2211lnkSnkn2ln21ln3ln3ln22ln4lnln2) 1ln() 1ln(nnn5ln4ln23ln 2lnnnln) 1ln(2ln)1ln(1n, 2lnlimnnS故原级数收敛 , 其和为.2ln注：我们可以用数列极限研究级数的敛散性，即注：我们可以用数列极限研究级数的敛散性，即级数是数列极限研究的新形式。级数是数列极限研究的新形式。 反之，任

8、取一个数列反之，任取一个数列u1，u2，un，则，则其极限可以化为其极限可以化为 u1+(u2-u1)+(un-un-1)+这样一个级数的敛散问题，即可以用级数敛散的这样一个级数的敛散问题，即可以用级数敛散的方法来研究数列的极限。方法来研究数列的极限。三、基本性质三、基本性质三、基本性质三、基本性质注意注意：作为一种新的运算，级数是一个极限过程，所以应与有作为一种新的运算，级数是一个极限过程，所以应与有限和的运算性质有所区别限和的运算性质有所区别结论结论: : 一般的，一般的，级数的每一项同乘一个不为零级数的每一项同乘一个不为零的常数的常数, ,敛散性不变敛散性不变. . 11nnnnukku

9、三、基本性质三、基本性质证证: 令,1 nkknuS则 nkknuk1 ,nSk nn limSk 这说明 1nnuk收敛 , 其和为 kS . nnSk lim性性质质 2 2 设设两两收收敛敛级级数数 1nnus, , 1nnv, ,则则级级数数 1)(nnnvu收收敛敛, ,其其和和为为 s. .结论结论: : 收敛级数可以逐项相加与逐项相减收敛级数可以逐项相加与逐项相减. . 111)(nnnnnnnvuvu证证: 令,1 nkknuS,1 nkknv 则)(1knkknvu nnS )( nS 这说明级数)(1nnnvu 也收敛, 其和为.S注释注释1 1 两个发散级数逐项逐项相加所

10、得的新级数并不一 定发散, , 例如, , 11)1(nn 1)1(nn 000)1()1(11nnn与都发散, , 但是收敛的. . 2 然而一个收敛级数与一个发散级数逐项和所得的级数必是发散的 只证：只证：去掉级数的有限项不影响级数的敛散性去掉级数的有限项不影响级数的敛散性.即，去掉、增加或者改变前有限项所得级数与原级数有相同的敛散性(当然, , 在收敛时, , 其和数一般是不同的. .) 证证: 将级数的前 k 项去掉,的部分和为 nllknu1 knkSS nknS与,时由于n数敛散性相同. 当级数收敛时, 其和的关系为.kSS 极限状况相同, 故新旧两级所得新级数只证：只证：去掉级数

11、的有限项不影响级数的敛散性去掉级数的有限项不影响级数的敛散性. 1nnu证明证明即：收敛的级数在求和过程中满足结合律 设收敛级数,1 nnuS若按某一规律加括弧,)()(54321uuuuu则新级数的部分和序列 ), 2 , 1(mm为原级数部分和序列 ),2,1(nSn的一个子序列,nnmmS limlimS因此必有例如收敛级数去括号后敛散性不确定收敛级数去括号后敛散性不确定例如例如常用此方法判断级数发散性常用此方法判断级数发散性 1111 1111 0000 0000收敛，但原级数收敛，但原级数发散又如发散又如收敛，原级数收敛，原级数收敛收敛即：收敛级数去括弧后所成的级数不一定收敛即：收敛

12、级数去括弧后所成的级数不一定收敛.但如果去括弧后所成的级数收敛，则原级数但如果去括弧后所成的级数收敛，则原级数（含有括号）收敛。（含有括号）收敛。性质性质4的另的另一种说法。一种说法。0 = 0+0+0+ = (1 1)+ (1 1)+ = 1 1+ 1 1+ = 1+( 1+1)+( 1+1)+ =1有限和的运算律不一定适用于无穷和。有限和的运算律不一定适用于无穷和。例例4.判断级数的敛散性: 141141131131121121解解: 考虑加括号后的级数)()()(1411411311311211211111nnan12nnna2发散 ,从而原级数发散 .nn121四、收敛的必要条件级级数

13、数收收敛敛. 0lim nnu证明证明级数收敛的必要条件级数收敛的必要条件: :1 nnnSSu0limlimlim1 nnnnnnSSu可见: 若级数的一般项不趋于若级数的一般项不趋于0 , 则级数必发散则级数必发散 .注意注意1.1.如果级数的一般项不趋于零如果级数的一般项不趋于零, ,则级数发散则级数发散; ; 常用来判别级数常用来判别级数发散。发散。 1)1(4332211nnn例例如如 发散发散2.2.必要条件不充分必要条件不充分. .?, 0lim但级数是否收敛但级数是否收敛有有 nnu n131211例例如如调调和和级级数数假设调和级数收敛于S , 则0)(lim2nnnSSnn

14、2nnnn21312111但nnSS2矛盾! 所以假设不真 .21例例5. 判断下列级数的敛散性, 若收敛求其和:;!) 1 (1nnnnne解解: (1) 令;231)2(123nnnn.212) 3(1nnn,!nnnnneu 则nnuu1nne)1 (1),2, 1(1n故euuunn11从而,0limnnu这说明级数(1) 发散.111)1 ()1 (nnnne11) 1(! ) 1(nnnnennnne!因nnn23123)2)(1()2(21nnnnn)2)(1(1) 1(121nnnn),2, 1(nnknkkkS123231nkkkkk1)2)(1(1) 1(121进行拆项相消

15、进行拆项相消,41limnnS这说明原级数收敛 ,.41)2)(1(1nnn其和为)2)(1(121121nn(2) 机动 目录 上页 下页 返回 结束 1212)3(nnn32252321nSnn212 nnSS211432212252321nn2121221132121n1212nn21212111211n1212nn121121n1212nn,2122132nnnnSnn21225232132这说明原级数收敛, 其和为 3 ., 3limnnS故(3) 五、小结1 1. .由由定定义义, ,若若ssn, ,则则级级数数收收敛敛; ;2 2. .当当0lim nnu, ,则则级级数数发发散

16、散; ;3 3. .按按基基本本性性质质. .常数项级数的基本概念常数项级数的基本概念基本审敛法基本审敛法思考题思考题 设设 1nnb与与 1nnc都都收收敛敛，且且nnncab ), 2 , 1( n，能能否否推推出出 1nna收收敛敛？思考题解答思考题解答能能由柯西审敛原理即知由柯西审敛原理即知无穷级数收敛性举例：无穷级数收敛性举例：KochKoch雪花雪花. .做法：先给定一个正三角形，然后在每条边上对做法：先给定一个正三角形，然后在每条边上对称的产生边长为原边长的称的产生边长为原边长的1/31/3的小正三角形如此的小正三角形如此类推在每条凸边上都做类似的操作，我们就得到类推在每条凸边上都做类似的操作，我们就得到了面积有限而周长无限的图形了面积有限而周长无限的图形“Koch“Koch雪花雪花”观察雪花分形过程观察雪花分形过程第一次分叉：第一次分叉：;913,3411212AAAPP 面面积积为为周周长长为为依次类推依次类推;43, 311 AP面积为面积为周长为周长为设三角形设三角形播放播放观察雪花分形过程观察雪花分形过程第一次分叉：第一次分叉：;913,3411212AAAPP 面面积积为为周周长长为为依次类推依次类推;43, 311 AP面积为面积为周长为周长为设三角形设