全国中学生物理竞赛：静电场：原理与方法

1、 静电场的两大外观表现静电场的两大外观表现对引入电场的任何带电体产生力的作用对引入电场的任何带电体产生力的作用.当带电体在电场中移动时当带电体在电场中移动时, ,电场力做功电场力做功, ,说明电说明电场具有能量场具有能量. . 描述静电场的基本规律描述静电场的基本规律对一个孤立系统，电荷可在系统各部分之间迁移，但其总量保对一个孤立系统，电荷可在系统各部分之间迁移，但其总量保持不变持不变原来为零的始终为零，原来为某一量原来为零的始终为零，原来为某一量Q Q的，则始终的，则始终为为Q Q，此即电荷守恒定律，此即电荷守恒定律 122=kq qFr在真空中的任何静电场中，通过任一闭合曲面的在真空中的任

2、何静电场中，通过任一闭合曲面的电通量等于这闭合曲面所包围的电荷的代数和的电通量等于这闭合曲面所包围的电荷的代数和的0分之一，这就是真空中静电场的高斯定理分之一，这就是真空中静电场的高斯定理0iieq 等效处理方法等效处理方法等效对称替代法等效对称替代法等效电像变换法等效电像变换法 球在第一次与板接触后获得电量为球在第一次与板接触后获得电量为q，说明有量，说明有量值为值为q的正电荷从板上转移到球上，由电荷守恒可的正电荷从板上转移到球上，由电荷守恒可知，此时板上电量为知，此时板上电量为(Q-q),球与板这一系统中的总电量是按比例球与板这一系统中的总电量是按比例分配到球上与板上的分配到球上与板上的q

3、Qq 当多次操作直至最终板上电量又一次为当多次操作直至最终板上电量又一次为Q但不能但不能向与之接触的球迁移时（此时两者等电势），球上电向与之接触的球迁移时（此时两者等电势），球上电量达到最大量达到最大: maxqqQQq maxqqqQQ 一个金属球借助导电薄板从起电机上获得电荷，一个金属球借助导电薄板从起电机上获得电荷，板在每次与球接触后又从起电机上带电至电量为板在每次与球接触后又从起电机上带电至电量为Q如果球在第一如果球在第一次与板接触后带电量为次与板接触后带电量为q，求球可获得的最大电量，求球可获得的最大电量.r2r1mO 2 1 1S 2S MQq21121coscosrkqFkqr

4、22222coscosrkqFkqr 带电球壳内场强为零带电球壳内场强为零!320343krErr r2kQR点电荷点电荷q在两侧场强等值反向在两侧场强等值反向!qEqEq整个带电球内部场强为整个带电球内部场强为0;外表面场强大小为外表面场强大小为设球壳除设球壳除A外其余部分在外其余部分在A处的场强为处的场强为EAA在在A A内侧有内侧有0qAEE 在在A A外侧有外侧有2qAkQEER 22AEkQR 22FkqQR 均匀带电球壳半径为均匀带电球壳半径为R，带正电，电量为，带正电，电量为Q，若在，若在球面上划出很小一块，它所带电量为球面上划出很小一块，它所带电量为q试求球壳的其余部分对它的试

5、求球壳的其余部分对它的作用力作用力 一个半径为一个半径为a的孤立的带电金属丝环，其中心的孤立的带电金属丝环，其中心电势为电势为U0将此环靠近半径为将此环靠近半径为b的接地的球，只有环中心的接地的球，只有环中心O位于球面位于球面上，如图试求球上感应电荷的电量上，如图试求球上感应电荷的电量 O点点O1点电势均为点电势均为0;环上电荷在环上电荷在OO点的总电势为点的总电势为U U0 00iikqUa 球上感应电荷在球上感应电荷在OO1 1点引起的电势点引起的电势U Ub bO1a bOO点点O1点电势均由环上电荷及点电势均由环上电荷及球上感应电荷共同引起！球上感应电荷共同引起！1ibOikQUUb

6、环上电荷在环上电荷在OO1 1点的总电势为点的总电势为122iOikqUab 0212OUaUab 022aUab 022abUk aQb q点电荷电场点电荷电场SS球面上各处场强大小均为球面上各处场强大小均为2204kqqErr 1222018.85 10C /N m4 k 从该球面穿出的电通量从该球面穿出的电通量 220044eqqESrr e eES 电场线的疏密表示电场的强弱，若场中某面元上有电场线的疏密表示电场的强弱，若场中某面元上有条电场线垂直穿过，则条电场线垂直穿过，则 0eq 根据电场线的性质根据电场线的性质在电场中在电场中没有电荷处电场线是连续的、不没有电荷处电场线是连续的、

7、不相交的，可以肯定包围点电荷相交的，可以肯定包围点电荷q q的的任意封闭曲面任意封闭曲面SS上的电通量也是上的电通量也是 qS 入入出出0e 0q 0eq 根据电场迭加原理，将上述结果推广到任意点电荷根据电场迭加原理，将上述结果推广到任意点电荷系构成的静电场：若闭合曲面包围的电荷的代数和系构成的静电场：若闭合曲面包围的电荷的代数和为为 ,iiq 0ieiq 則則返回返回O rRr 由高斯定理有由高斯定理有 2200440eERR Rr 由高斯定理有由高斯定理有 222044eQRQEkRR RE0rO rRr 由高斯定理有由高斯定理有 330eRQr Rr 由高斯定理有由高斯定理有 22204

8、4eQRQEkRR RE0rR23044eERQRr 3EkQRr ES 由高斯定理有由高斯定理有 0eS 022eES QQ 两面积两面积S、间距间距d平行板电容器当平行板电容器当带电荷量带电荷量Q时，板时，板间电场由电场间电场由电场叠加原理可得为叠加原理可得为0022E 4 kQS 半径为半径为r的圆板，在与其中心的圆板，在与其中心O距离为距离为d处置一处置一点电荷点电荷q，试求板上电通量，试求板上电通量 球冠面上的电通量与圆板的电通量相同！球冠面上的电通量与圆板的电通量相同！qdrR222kqkqERrd 距距q为为R处电场强度大小为处电场强度大小为球冠面积为球冠面积为 2SR Rd 2

9、2ekqR RdR 22012qddr 在相距在相距d的两根平行细长导线上均匀地分布有异种电荷，其线密度的两根平行细长导线上均匀地分布有异种电荷，其线密度为及为及 求在对称平面上与导线所在平面相距为求在对称平面上与导线所在平面相距为x的一点的一点P的电场强度的电场强度 由高斯定理有由高斯定理有 0el 022eERlR l R02ER 2d2dxP 1E 2EPE1222022EEdx 22220/22222pdEddxx 22024pdExd 如图所示，将表面均匀带正电的半球，沿线分成两部分，然后将如图所示，将表面均匀带正电的半球，沿线分成两部分，然后将这两部分移开很远的距离，设分开后的球表

10、面仍均匀带电，试比较点与点电场强这两部分移开很远的距离，设分开后的球表面仍均匀带电，试比较点与点电场强度的大小度的大小 AA A2R2RA E1E23EA23EE ABCDO203414 若正四面体的四个面电势相同，四面体就是一个等势体，若正四面体的四个面电势相同，四面体就是一个等势体，其中心点电势即可确定，现正四面体其中心点电势即可确定，现正四面体ABCD各面静电势均各面静电势均不同，其中心点的电势难以直接确定不同，其中心点的电势难以直接确定. 如图所示，如图所示，正四面体正四面体ABCDABCD各面为导体，但又彼此各面为导体，但又彼此绝缘已知带电后四个面的静电势分别为、和绝缘已知带电后四个

11、面的静电势分别为、和, ,求四面体求四面体中心中心点的电势点的电势 0 0 1 4 2 3 进行等效替代进行等效替代：另有同样的三个四个：另有同样的三个四个面的静电势分别为面的静电势分别为1、 2 、 3和和4的正的正四面体，将它们适当地叠在一起，使四个四面体，将它们适当地叠在一起，使四个面的电势均为面的电势均为1+2 +3+4 ，中心点，中心点O共共点，这个叠加而成的四面体是等势体，其点，这个叠加而成的四面体是等势体，其中心中心O点电势点电势40=1+2 +3+4 如图所示，在半径为如图所示，在半径为R、体密度为的均匀带电球体内部挖去半、体密度为的均匀带电球体内部挖去半径为径为r的一个小球，

12、小球球心与大球球心的一个小球，小球球心与大球球心O相距为相距为a，试求点的场强，并证明空腔，试求点的场强，并证明空腔内电场均匀内电场均匀 O r1OAE1EAE2r212EEEA 110Er3 120Err3A 則則带电球内半径为带电球内半径为r处处场强场强320343krErr 220Er3 0a3 aBABP OMABAP处带宽设为处带宽设为l 带面积为带面积为2sin slR 均匀带电球电荷面密度为均匀带电球电荷面密度为P处带上电荷量为处带上电荷量为22sin4 QQlRR P处弧上电荷线密度为处弧上电荷线密度为sin2 QlR 如图所示，在半径为如图所示，在半径为R的细圆环上分布有不能

13、移动的正电荷，的细圆环上分布有不能移动的正电荷，总电量为总电量为Q，AB是它的一条直径，如果要使是它的一条直径，如果要使AB上的场强处处为零，则圆环上的上的场强处处为零，则圆环上的电荷应该如何分布？电荷应该如何分布？ sin4QR 24QR 如图，无限大的接地导体板，在距板如图，无限大的接地导体板，在距板d处的处的A点有点有一个电量为一个电量为Q的正电荷，求板上的感应电荷对点电荷的正电荷，求板上的感应电荷对点电荷Q的作用力的作用力 QA-Q24kQFd 2016Qd 由于导体板接地，板上电势为零，在点电荷由于导体板接地，板上电势为零，在点电荷Q Q的作用下，板的右侧出现感应电荷的作用下，板的右

14、侧出现感应电荷. .由于导体为一等势面，从点电荷由于导体为一等势面，从点电荷Q Q出出发的电场线应处处与导体面正交而终发的电场线应处处与导体面正交而终止，因而导体板右侧电场线分布大致止，因而导体板右侧电场线分布大致如图所示如图所示联想到等量异种电荷的电场：联想到等量异种电荷的电场：导体板上感应电荷对板右侧电场的影响，导体板上感应电荷对板右侧电场的影响，可用与点电荷可用与点电荷Q关于导体面成镜像对称的另关于导体面成镜像对称的另一虚设点电荷一虚设点电荷-Q替代，板上感应电荷对替代，板上感应电荷对Q的的作用亦等效于像电荷作用亦等效于像电荷-Q对对Q发生的作用发生的作用由库仑定律，板上感应电荷对点电荷

15、由库仑定律，板上感应电荷对点电荷Q Q的的作用力大小为作用力大小为ROrPq q 由导体表面感应由导体表面感应电荷总电量在电荷总电量在O点点引起的电势与点引起的电势与点电荷电荷q在在O点引起点引起的电势之和为零的电势之和为零得得 0kqkqdR 根据唯一性原理可知，等效的像电荷量即为根据唯一性原理可知，等效的像电荷量即为Rqqd 像电荷位置，应令其在球面上任意点引起的电势与像电荷位置，应令其在球面上任意点引起的电势与q在同一在同一点电势叠加为零，即满足点电势叠加为零，即满足 22222cos2cos kqkqRdRdRrRr 2222222cos2cos dRrRrR RdRd 2 24232

16、2cos d rRRrdR d 对任意角位置等式均成立必有对任意角位置等式均成立必有2rRd 22222kRdqkqdrRqFd 如图所示，如图所示，设在一接地导体球的右侧设在一接地导体球的右侧P点，有一点电荷点，有一点电荷q，它与，它与球心的距离为球心的距离为d，球的半径为，球的半径为R，求导体球上的感应电荷为多少？点电荷，求导体球上的感应电荷为多少？点电荷q受到的电受到的电场力为多大？场力为多大？ 半径为半径为R2的导电球壳包围半径为的导电球壳包围半径为R的金属球，金属球的金属球，金属球原来具有电势为原来具有电势为U，如果让球壳接地，则金属球的电势变为多少？，如果让球壳接地，则金属球的电势

17、变为多少？ U金属球上电量设为金属球上电量设为Q1kQUR 由由1URQk球壳接地后设感应电荷的像电荷电球壳接地后设感应电荷的像电荷电量为量为q，由高斯定理，由高斯定理 000Qq 1R UqQk 壳接地后球的电势为壳接地后球的电势为Q与与q引起的引起的电势叠加电势叠加12URUUR 212RRUR Ecqab-qa qb -qEaEbaE bE c像电荷在像电荷在c点引起的场强大小点引起的场强大小 25kqEd 2452525cEkqEd 两个电量两个电量q相等的正点电荷位于一无穷大导体平板相等的正点电荷位于一无穷大导体平板的同一侧，且与板的距离均为的同一侧，且与板的距离均为d，两点电荷之间

18、的距离为，两点电荷之间的距离为2d求在求在两点电荷联线的中点处电场强度的大小与方向两点电荷联线的中点处电场强度的大小与方向 如图，速调管用于甚高频信号的放大速调管如图，速调管用于甚高频信号的放大速调管主要由两个相距为主要由两个相距为b的腔组成，每个腔有一对平行板初始速度为的腔组成，每个腔有一对平行板初始速度为v0的一束电子通过板上的小孔横穿整个系统要放大的高频信号以的一束电子通过板上的小孔横穿整个系统要放大的高频信号以一定的相位差（一个周期对应于一定的相位差（一个周期对应于2相位）分别加在两对电极板上，相位）分别加在两对电极板上，从而在每个腔中产生交变水平电场当输入腔中的电场方向向右时，从而在

19、每个腔中产生交变水平电场当输入腔中的电场方向向右时，进入腔中的电子被减速；反之，电场方向向左时，电子被加速这进入腔中的电子被减速；反之，电场方向向左时，电子被加速这样，从输入腔中射出的电子经过一定的距离后将叠加成短电子样，从输入腔中射出的电子经过一定的距离后将叠加成短电子束如果输出腔位于该短电子束形成处，那么，只要加于其上的电束如果输出腔位于该短电子束形成处，那么，只要加于其上的电压相位选择恰当，输出腔中的电场将从电子束中吸收能量设电压压相位选择恰当，输出腔中的电场将从电子束中吸收能量设电压信号为周期信号为周期T=1.010-9 s，电压，电压V=0.5 V的方波电子束的初始速度的方波电子束的

20、初始速度v0=2.0106 m/s，电子荷质比，电子荷质比e/m=1.761011 C/kg假定间距假定间距a很小，很小，电子渡越腔的时间可忽略不计保留位有效数字，计算：电子渡越腔的时间可忽略不计保留位有效数字，计算：(a)使使电子能叠加成短电子束的距离电子能叠加成短电子束的距离b(b)由相移器提供的所需的输出腔由相移器提供的所需的输出腔与输入腔之间的相位差与输入腔之间的相位差 相移器相移器输入腔输入腔v0aab输出腔输出腔相移器相移器输入腔输入腔v0aab输出腔输出腔 通过输入腔的电子通过输入腔的电子电场向电场向左左时被电场时被电场加速加速电场向电场向右右时被电场时被电场减速减速由动能定理：

21、由动能定理： 2201122tUemvmv 202tUevmv 要形成短电子束，应使后半周期通要形成短电子束，应使后半周期通过输入腔被加速的电子经过一段距过输入腔被加速的电子经过一段距离离b在输出腔在输出腔“追追”上前半周期通上前半周期通过输入腔被减速的电子，从而叠加过输入腔被减速的电子，从而叠加成短电子束，故此应有：成短电子束，故此应有： 2200222bTbUeUevvmm mm24096220022.2721.01.9562.0441010222.04412.9561022UevmTbUeUevvmm b)为使输出腔中的电场从短电子束中吸收能量，应使电为使输出腔中的电场从短电子束中吸收能

22、量，应使电场方向向右，电场力对电子束做负功当输入腔电场方场方向向右，电场力对电子束做负功当输入腔电场方向向右时满足向向右时满足20222bkUeTvm 269202.272 102211.6221.956 101.0 102bkkkUeT vm 0.622232 0.321378 如图所示，如图所示，N个一价正离子和个一价正离子和N个一价负离子交错排列个一价负离子交错排列成一维点阵，相邻离子间的间距为成一维点阵，相邻离子间的间距为a计算这个相互静电作用的点阵计算这个相互静电作用的点阵总静电能（总静电能（N） 除两端处的一些离子外，每个离子与其周围离子的相互作用除两端处的一些离子外，每个离子与其

23、周围离子的相互作用情形都相同，任取一正离子记为情形都相同，任取一正离子记为A0，两侧各对离子依次为，两侧各对离子依次为A-1、A+2212keEa 这是与第这是与第1 对负离子所共有的对负离子所共有的! A0在第在第2对正离子中间位置具有电势能对正离子中间位置具有电势能 2222keEa A0在第在第1对负离子中间位置具有电势能对负离子中间位置具有电势能 A0这是与第这是与第2 对正离子所共有的对正离子所共有的! 221111234keEa 22ln2kea 如图所示，质子加速器使每个质子得到的动能为如图所示，质子加速器使每个质子得到的动能为E很细的质很细的质子束从加速器射向一个远离加速器的半

24、径为子束从加速器射向一个远离加速器的半径为r的金属球，并留在球上球中心并不的金属球，并留在球上球中心并不处在加速器发射出的质子运动方向的直线上，而与该直线的垂直距离为处在加速器发射出的质子运动方向的直线上，而与该直线的垂直距离为d，且，且dr，加速器工作足够长时间后，球能充电到多高的电势？计算中取加速器工作足够长时间后，球能充电到多高的电势？计算中取E=2keV， 设质子初速度为设质子初速度为v0，当金属球充电到电势为，当金属球充电到电势为U时，质子与时，质子与金属球相切而过，设此时速度设为金属球相切而过，设此时速度设为v，由于质子在向球运，由于质子在向球运动时，只受库仑力且力的方向沿球径向，

25、故对球心动时，只受库仑力且力的方向沿球径向，故对球心O，冲，冲量矩为零，质子角动量守恒：量矩为零，质子角动量守恒： U02rmvmvr mv0mvdr022vEvm4EeUE 由动能定理：由动能定理： 15V3400UEe 需要净化空气中的灰尘，但在一般条件下灰尘沉积下来需要净化空气中的灰尘，但在一般条件下灰尘沉积下来是较缓慢的，为此可利用这样一个事实，即灰尘是带电的为模拟净化过程，是较缓慢的，为此可利用这样一个事实，即灰尘是带电的为模拟净化过程，提出两种装置提出两种装置 第一个装置是，将含有灰尘空气的玻璃圆桶（高第一个装置是，将含有灰尘空气的玻璃圆桶（高h1 m，半径，半径R0.1 m，如，

26、如图示）放在场强图示）放在场强E11104 V/m的电场中，场强方向沿着圆柱形桶的轴向经的电场中，场强方向沿着圆柱形桶的轴向经时间时间t1120 s后，可以观察到容器中所有的灰尘均已沉积在底部后，可以观察到容器中所有的灰尘均已沉积在底部 第二个装置是这样的：沿圆柱桶的轴线紧拉着一根细导线，且将此导线跟高第二个装置是这样的：沿圆柱桶的轴线紧拉着一根细导线，且将此导线跟高压电源相连，电源电压是这样选取的，使在容器壁上场强值恰好等于第一个装压电源相连，电源电压是这样选取的，使在容器壁上场强值恰好等于第一个装置的场强值置的场强值1104 V/m已知在这种情况下场强已知在这种情况下场强E1/r，r为离轴

27、线的距离为离轴线的距离假设尘粒是同种的，其所带电荷量也相等，试确定第二个装置中尘粒沉积到容假设尘粒是同种的，其所带电荷量也相等，试确定第二个装置中尘粒沉积到容器壁所需时间由于空气中的尘粒不多，体电荷可以忽略，认为尘粒沉积过程器壁所需时间由于空气中的尘粒不多，体电荷可以忽略，认为尘粒沉积过程动态平衡，空气阻力与速度成正比，不计重力动态平衡，空气阻力与速度成正比，不计重力 h2R第一个装置中，电场力恒定，故尘粒匀速下降时有第一个装置中，电场力恒定，故尘粒匀速下降时有 11E qkv 111htqvhkE 第二个装置中，在距离轴心第二个装置中，在距离轴心r处尘粒速度设为处尘粒速度设为vr，则，则 1

28、11rrREt E qqkvvrh 1rRhvrt Rn21limnniiRtnv 11limnniRR itnnRh 1211limnniRtihn 12Rth 6s 如图所示，半径相同的两个金属球如图所示，半径相同的两个金属球A、B相距很远，原来不带电，相距很远，原来不带电，C球先与远处电池正极接触，（负极接地），接着与球球先与远处电池正极接触，（负极接地），接着与球A接触，再与接触，再与B球接触；然球接触；然后又与电池正极接触，重复上述过程，反复不已已知后又与电池正极接触，重复上述过程，反复不已已知C球第一次与电池接触后的球第一次与电池接触后的带电量为带电量为q，第一次与，第一次与A球接

29、触后球接触后A球的带电量为球的带电量为Q1，求，求A球与球与B球最后的带电量球最后的带电量Q与与Q；设设 ，至少经过几次与，至少经过几次与C球接触后，球接触后，A球的带电量可达最后带电量球的带电量可达最后带电量的一半？的一半？ 1910Qq CAB 设设A A、B B球半径为球半径为R, ,C球半径为球半径为r, ,C球与球与A A球第球第1 1次接触后有次接触后有11qQQrR qQrR 时 电荷不再从电荷不再从C C球移向球移向A A球，故球，故RQqr C球与球与B球接触最终球接触最终亦有亦有 qQrR 11QqqQQ 由由式及题给条件式及题给条件 19rR 若第次若第次C与与A接触后接

30、触后A又获电量又获电量Q2， 212qQQQrR 則則22910Qq n次次C、A接触后有接触后有 919104.511010nqq n7 次次返回返回11QqqQ = 正点电荷正点电荷1和正点电荷和正点电荷2分别放置在分别放置在A、B两点，两点，两点间相距两点间相距L现以现以L为直径作一半圆，电荷在此半圆上有一电势最为直径作一半圆，电荷在此半圆上有一电势最小的位置小的位置P，设，设PA与与AB的夹角为的夹角为，则，则 （用三角函数（用三角函数表示）表示） 切向场强为切向场强为0位置为位置为电势最小的位置！电势最小的位置！ 1222sincoscossinkQkQLL 321tanQQ 1Q2

31、Q3121tanQQ 电荷均匀分布在半球面上，它在这半球的中心电荷均匀分布在半球面上，它在这半球的中心O处电场强度等于处电场强度等于E0两个平面通过同一条直径，夹角为两个平面通过同一条直径，夹角为，从半球中，从半球中分出一部分球面，如图所示试求所分出的这部分球面上（在分出一部分球面，如图所示试求所分出的这部分球面上（在“小小瓣瓣”上）的电荷在上）的电荷在O处的电场强度处的电场强度E E0E2 0sin2 EE 小小半球面均匀分布电荷半球面均匀分布电荷在在O点引起的场强可视点引起的场强可视为为“小瓣小瓣”球面电荷球面电荷与与“大瓣大瓣”球面电荷球面电荷在在O点引起的电场的矢点引起的电场的矢量和量

32、和.由对称性及半球几何关系可知由对称性及半球几何关系可知E大大与与E小小垂直，如图所示垂直，如图所示: : 有两个异种点电荷，其电量之比为有两个异种点电荷，其电量之比为n，相互间距，相互间距离为离为d试证明它们的电场中电势为零的等势面为一球面，并求此等试证明它们的电场中电势为零的等势面为一球面，并求此等势面的半径及其中心与电量较小电荷的距离势面的半径及其中心与电量较小电荷的距离r Oyx-qnq以小电量电荷所在位置为坐以小电量电荷所在位置为坐标原点，建立直角坐标标原点，建立直角坐标 ,x y 2222kqknqxydxy d-q与与nq在坐标为（在坐标为（x、y）的点电势迭加为零，即有的点电势

33、迭加为零，即有 2222211dndxynn 2,01dn 球心坐标球心坐标球半径球半径21ndrn 半径分别为半径分别为R1和和R2的两个同心半球相对放置，如的两个同心半球相对放置，如图所示，两个半球面均匀带电，电荷密度分别为图所示，两个半球面均匀带电，电荷密度分别为1和和2，试求大的半，试求大的半球面所对应底面圆直径球面所对应底面圆直径AOB上电势的分布上电势的分布 AB大半球面上电荷量为大半球面上电荷量为2112 R 大半球面上电荷在底面引起的电势为整个大半球面上电荷在底面引起的电势为整个大球大球面上电荷引起电势的一半面上电荷引起电势的一半, ,即即211111122kRUk RR 小半

34、球面上电荷量为小半球面上电荷量为2222 R 小半球面上电荷在其底面引起的电势为整个小球小半球面上电荷在其底面引起的电势为整个小球面上电荷引起电势的一半面上电荷引起电势的一半, ,即即222222222kRUk RR 根据电场叠加原根据电场叠加原理理, ,直径直径ABAB上电上电荷分布为荷分布为: : 11222121221222kRRRRrUrRURrRk 小半球面上电荷在球面外引起的电势亦为小半球面上电荷在球面外引起的电势亦为整个小球面上电荷引起电势的一半整个小球面上电荷引起电势的一半,即即222222kRUr 一半径为一半径为R、带电量为、带电量为Q的均匀带电球面，试求其上的表面的均匀带

35、电球面，试求其上的表面张力系数张力系数，定义为面上单位长度线段两侧各向对方施加的作用力定义为面上单位长度线段两侧各向对方施加的作用力 R E2 sin2R TT2sin2SR 222sinsin2424QQqRR 208QER 在球面上取一面元在球面上取一面元面元受力如示面元受力如示0220222sin4s2i28n23eQFRQQR 面元周边所受张力合力大小为面元周边所受张力合力大小为2sinsin22TR 面元处于平衡面元处于平衡, ,则则2220sin232sinsin222QRR 223064QR 返回返回 如图，有如图，有“无限长无限长”均匀带电圆柱面，半径为均匀带电圆柱面，半径为R

36、，电荷面密，电荷面密度为度为，试求其场强，并作，试求其场强，并作E（r）图）图 rR 0e 0eES rR RE02eRl l 2eeESrl 01Rr rE0R0 如图，在一厚度为如图，在一厚度为d的无穷大平板层内均匀地分布有正电荷，的无穷大平板层内均匀地分布有正电荷，其密度为其密度为，求在平板层内及平板层外的电场强度，求在平板层内及平板层外的电场强度E，并作，并作E（r）图）图 dS 2dr 时02eSr 02eESr 2dr 时0eS d 022eESd rE0d/202d 02d 一点电荷一点电荷q位于一立方体中心，立方体边长为位于一立方体中心，立方体边长为a，试问通过，试问通过立方体

37、一面的电通量是多少？如果点电荷移至立方体的一个角上，这时通过立方立方体一面的电通量是多少？如果点电荷移至立方体的一个角上，这时通过立方体每个面的电通量各是多少？体每个面的电通量各是多少？ 点电荷位于立方体中心时，通过立方体一个表面的电通量为点电荷位于立方体中心时，通过立方体一个表面的电通量为 06eq 点电荷位于立方体顶点时，点电荷位于立方体顶点时，通过立方体一个表面的电通量为通过立方体一个表面的电通量为 0614eq 024q 如图，电场线从正电荷如图，电场线从正电荷q1出发，与正点电荷及负点出发，与正点电荷及负点电荷的连线成电荷的连线成角，则该电场线进入负点电荷角，则该电场线进入负点电荷q

38、2的角度的角度是多大？是多大？ +q1q2以点电荷以点电荷+q1与与-q2为中心，为中心，取一半径取一半径r很小的球面，可很小的球面，可视为其上电场线均匀分布，视为其上电场线均匀分布，穿出穿出2角所对的球冠面的角所对的球冠面的电场线应完全穿入电场线应完全穿入2角所角所对的球冠面，两面上电通对的球冠面，两面上电通量相等：量相等： 12220021cos21cos44r rr rqqrr12sinsin22qq -4qq 准确地画出两点电荷准确地画出两点电荷q及及4q的电场线分布示意图的电场线分布示意图. 若若两电荷相距两电荷相距a，场强为零的点在两点电荷连线延长线，场强为零的点在两点电荷连线延长

39、线距距+q为为x远处远处: 2214xxaax 由上题，从由上题，从+q出发，出发，与两电荷连线所成与两电荷连线所成角度在角度在0,之间的之间的电场线进入电场线进入-4q终止终止时与两电荷连线夹时与两电荷连线夹角在角在0,/3之间，之间，如图如图:AO点电势为点电势为0：0rRqqqlrR 由高斯定理知由高斯定理知0rRqqq Rlr RR lQqr rlR rr lQqR qrRl 如图，两个以如图，两个以O为球心的同心金属球壳都接地，半径为球心的同心金属球壳都接地，半径分别是分别是r、R现在离现在离O为为l（rlR）的地方放一个点电荷）的地方放一个点电荷q问两问两个球壳上的感应电荷的电量各

40、是多少？个球壳上的感应电荷的电量各是多少？ . Q+球壳内、外表面感应电荷电量总等于球球壳内、外表面感应电荷电量总等于球壳中心电荷量壳中心电荷量内外感应电荷在球壳中心引起的电势为内外感应电荷在球壳中心引起的电势为kQkQUab 从中心移动极小电量过程中可认为中心点电势不变从中心移动极小电量过程中可认为中心点电势不变,Qqn 取取在第在第i次移动中的元功为次移动中的元功为 11iQQWk ninnab 移动移动Q到无穷远的总功为到无穷远的总功为 111limnniQQWk ninnab 221111limnnikQniabn 2112kQab 如图，两个以如图，两个以O为球心的同心金属球壳都接地，半径为球心的同心金属球壳都接地，半径分别是分别是r、R现在离现在离O为为l（rlR）的地方放一个点电荷）的地方放一个点电荷q问两问两个球壳上的感应电荷的电量各是多少？个球壳上的感应电荷的电量各是多少？ . 返回返回均匀带电金属球表面每一个面元受到整均匀带电金属球表面每一个面元受到整个球面其余部分电荷对它的静电力大小个球面其余部分电荷对它的静电力大小是是 2224ikQQFSRR 则单位面积静电力则单位面积静电力 248FkQPsR 设想另半球对此半球的作用力与压强亦为设想另半球